האם אתה לוקח את SAT או ACT ורוצה לוודא שאתה יודע איך לעבוד עם מערכי נתונים? או אולי אתה מחפש לרענן את הזיכרון שלך לשיעור מתמטיקה בתיכון או במכללה. לא משנה מה המקרה, חשוב שתדעו איך למצוא את הממוצע של מערך נתונים.

נסביר למה משמש הממוצע במתמטיקה, איך לחשב את הממוצע ואיך יכולות להיראות בעיות לגבי הממוצע.

טופולוגיית רשת

מהו ממוצע ולמה הוא משמש?

הממוצע, או הממוצע האריתמטי, הוא הערך הממוצע של קבוצת מספרים. ליתר דיוק, זה המדד של נטייה 'מרכזית' או טיפוסית בקבוצת נתונים נתונה.

מתכוון—לעתים קרובות נקרא פשוט 'ממוצע'-הוא מונח המשמש בסטטיסטיקה וניתוח נתונים. בנוסף, זה לא יוצא דופן לשמוע את המילים 'ממוצע' או 'ממוצע' בשימוש במונחים 'מצב', 'חציון' ו'טווח', שהן שיטות אחרות לחישוב הדפוסים והערכים הנפוצים במערכי נתונים.

בקצרה, להלן ההגדרות של מונחים אלה:

מצב —הערך המופיע בתדירות הגבוהה ביותר בקבוצת נתונים חֲצִיוֹן —הערך האמצעי של מערך נתונים (כאשר מסודר מהערך הנמוך ביותר לגבוה) טווח —ההבדל בין הערכים הגבוהים והקטנים ביותר במערך נתונים

אז מה בדיוק מטרת הממוצע? אם יש לך מערך נתונים עם מגוון רחב של מספרים, לדעת את הממוצע יכול לתת לך תחושה כללית כיצד ניתן להרכיב מספרים אלה למעשה לערך מייצג יחיד.

לדוגמה, אם אתה תלמיד תיכון שמתכונן לקחת את ה-SAT, אולי יעניין אותך לדעת ציון ה-SAT הממוצע הנוכחי . ידיעת הציון הממוצע נותן לך מושג גס כיצד רוב התלמידים שלוקחים את ה-SAT נוטים להבקיע בו.

כיצד למצוא את הממוצע: סקירה כללית

כדי למצוא את הממוצע האריתמטי של מערך נתונים, כל מה שאתה צריך לעשות הוא חבר את כל המספרים במערך הנתונים ולאחר מכן חלק את הסכום במספר הכולל של הערכים.

בואו נסתכל על דוגמה. נניח שקיבלת את קבוצת הנתונים הבאה:

$, 10, 3, 27, 19, 2, 5, 14$$

כדי למצוא את הממוצע, תחילה תצטרך לחבר את כל הערכים במערך הנתונים כך:

$ + 10 + 3 + 27 + 19 + 2 + 5 + 14$$

ציין זאת אינך צריך לארגן מחדש את הערכים כאן (אם כי אתה יכול אם תרצה בכך) ויכול פשוט להוסיף אותם לפי הסדר שבו הם הוצגו לך.

לאחר מכן, רשום את סכום כל הערכים:

$ + 10 + 3 + 27 + 19 + 2 + 5 + 14 = o86$$

השלב האחרון הוא לקחת את הסכום הזה (86) ולחלק אותו במספר הערכים במערך הנתונים. מכיוון שיש שמונה ערכים שונים (6, 10, 3, 27, 19, 2, 5, 14), נחלק 86 ב-8:

$ / 8 = 10.75$$

הממוצע, או הממוצע, עבור קבוצת נתונים זו הוא 10.75.

כיצד לחשב ממוצע: שאלות תרגול

עכשיו שאתה יודע איך למצוא את הממוצע-במילים אחרות,כיצד לחשב את הממוצע של קבוצת נתונים נתונה-אניזה הזמן לבדוק את מה שלמדת. בחלק זה, ניתן לך ארבע שאלות מתמטיות הכוללות מציאת או שימוש בממוצע.

שתי השאלות הראשונות הן שלנו, ואילו שתי השניות הן שאלות SAT/ACT רשמיות; ככאלה, שני אלה ידרשו קצת יותר מחשבה.

גלול מעבר לשאלות לקבלת התשובות וההסברים.

rstrip פיתון

שאלת תרגול 1

מצא את הממוצע של קבוצת המספרים הבאה: 5, 26, 9, 14, 49, 31, 109, 5.

שאלת תרגול 2

ניתנת לך רשימת המספרים הבאה: 4, 4, 2, 11, 6, $X$, 1, 3, 2. הממוצע האריתמטי הוא 4. מה הערך של $X$?

שאלת תרגול 3

לרשימת המספרים 41, 35, 30, $X$,$Y$, 15 יש חציון של 25. מצב רשימת המספרים הוא 15. למספר השלם הקרוב ביותר, מה ממוצע הרשימה?

1. עשרים
2. 25
3. 26
4. 27
5. 30

מקור: 2018-19 הרשמי ACT Practice Test

שאלת תרגול 4

בשמורת פרימטים, הגיל הממוצע של כל הפרימטים הזכרים הוא 15 שנים, והגיל הממוצע של כל הפרימטים הוא 19 שנים. מה מהבאים חייב להיות נכון לגבי הגיל הממוצע $m$ של הקבוצה המשולבת של פרימטים זכרים ונקבות בשמורת הפרימטים?

1. $m = 17$
2. $m > 17$
3. מיליון דולר<17$

מָקוֹר: מועצת המכללה

איך למצוא את הממוצע: תשובות + הסברים

לאחר שניסית את ארבע שאלות התרגול לעיל, הגיע הזמן להשוות את התשובות שלך ולראות אם אתה מבין לא רק כיצד למצוא את ממוצע הנתונים אלא גם כיצד להשתמש במה שאתה יודע על הממוצע כדי לגשת בצורה יעילה יותר לכל שאלה במתמטיקה שעוסקים בממוצעים.

להלן התשובות לארבע שאלות התרגול לעיל:

• שאלת תרגול 1: 31
• שאלת תרגול 2: 3
• שאלת תרגול 3: ג' 26
• שאלת תרגול 4: ד. 15$

המשיכו לקרוא כדי לראות את הסבר התשובה לכל שאלה.

שאלת תרגול 1 תשובה הסבר

מצא את הממוצע של קבוצת המספרים הבאה: 5, 26, 9, 14, 49, 31, 109, 5.

זו שאלה פשוטה שפשוט מבקשת ממך לחשב את הממוצע האריתמטי של מערך נתונים נתון.

ראשון, חבר את כל המספרים במערך הנתונים (זכור כי אינך צריך לסדר אותם לפי הסדר מהנמוך לגבוה—עשה זאת רק אם אתה מנסה למצוא את החציון):

$ + 26 + 9 + 14 + 49 + 31 + 109 + 5 = o248$$

לאחר מכן, קח את הסכום הזה ו חלקו אותו במספר הערכים במערך הנתונים. כאן, יש שמונה ערכים בסך הכל, אז נחלק את 248 ב-8:

$8 / 8 = 31$$

התשובה הממוצעת והנכונה היא 31.

שאלת תרגול 2 תשובה הסבר

ניתנת לך רשימת המספרים הבאה: 4, 4, 2, 11, 6, $X$, 1, 3, 2. הממוצע האריתמטי הוא 4. מה הערך של $X$?

לשאלה זו, אתה בעצם עובד אחורה: אתה כבר יודע את הממוצע ועכשיו עליך להשתמש בידע הזה כדי לעזור לך לפתור את הערך החסר, $X$, במערך הנתונים.

זכור שכדי למצוא את הממוצע, אתה מחבר את כל המספרים בקבוצה ולאחר מכן מחלק את הסכום במספר הכולל של הערכים.

מכיוון שאנו יודעים שהממוצע הוא 4, נתחיל בהכפלת 4 במספר הערכים (יש כאן תשעה מספרים נפרדים, כולל $X$):

$ * 9 = 36$$

זה נותן לנו את סכום מערך הנתונים (36). כעת, השאלה הופכת לבעיית אלגברה, שבה כל שעלינו לעשות הוא לפשט ולפתור עבור $X$:

$ + 4 + 2 + 11 + 6 + X + 1 + 3 + 2 = 36$$

$ + X = 36$$

$$X = 3$$

התשובה הנכונה היא 3.

תרגול מביא לשלמות!

שאלת תרגול 3 תשובה הסבר

1. עשרים
2. 25
3. 26
4. 27
5. 30

הבעיה המתמטית המסובכת למראה מגיעה ממבחן תרגול רשמי של ACT, כך שתוכל לצפות שהיא תהיה קצת פחות ישירה מהבעיה הממוצעת האריתמטית האופיינית שלך.

כאן, אנו מקבלים מערך נתונים עם שני ערכים לא ידועים:

41, 35, 30, $X$, $Y$, 15

ניתנו לנו גם שתי פיסות מידע קריטיות:

• המצב הוא 15
• החציון הוא 25

כדי לפתור את הממוצע של מערך הנתונים הזה, נצטרך להשתמש בכל המידע שנמסר לנו וגם נעשה צריך לדעת מה המצב והחציון.

להזכירך, המצב הוא הערך המופיע בתדירות הגבוהה ביותר במערך נתונים, בעוד שהחציון הוא הערך האמצעי במערך נתונים (כאשר כל הערכים מסודרים מהנמוך לגבוה ביותר).

מכיוון שהמצב הוא 15, זה חייב לומר זאת הערך 15 מופיע לפחות פעמיים במערך הנתונים (במילים אחרות, יותר פעמים מכל ערך אחר שמופיע). כתוצאה מכך, אנו יכולים לומר להחליף $X$ או $Y$ ב-15:

41, 35, 30, $X$,15,15

נאמר לנו גם שהחציון הוא 25. כדי למצוא את החציון, תחילה עליך לסדר מחדש את מערך הנתונים בסדר מהערך הנמוך ביותר לערך הגבוה ביותר.

מספר אקראי בין 1 ל-10

מכיוון שהחציון הוא יותר מ-15 אך פחות מ-30, אנחנו צריכים לשים $X$ בין שני הערכים הללו. הנה מה שאנו מקבלים כאשר אנו מסדרים מחדש את הערכים שלנו מהנמוך לגבוה:

15, 15, $X$, 30, 35, 41

ישנם שישה ערכים בסך הכל, (כולל $X$) כלומר החציון יהיה המספר בְּדִיוּק באמצע הדרך בין הערך השלישי והרביעי במערך הנתונים. בקצרה, 25 (החציון) חייב להגיע באמצע הדרך בין $X$ ל-30.

משמעות הדבר היא ש-$X$ חייב להיות שווה ל-20, מכיוון שזה יציב אותו במרחק של 5 מ-20 ו-5 מ-30 (או באמצע הדרך בין שני הערכים).

כעת יש לנו מערך נתונים שלם ללא ערכים לא ידועים:

15,15, 20, 30, 35, 41

כל שעלינו לעשות כעת הוא להשתמש בערכים אלה כדי לפתור את הממוצע. התחל על ידי הוספת כולם:

15+15+20+30+35+41=156

לבסוף, חלק את הסכום במספר הערכים במערך הנתונים (שזה שישה):

156/6=26

התשובה הנכונה היא C. 26.

שאלת תרגול 4 תשובה הסבר

בשמורת פרימטים, הגיל הממוצע של כל הפרימטים הזכרים הוא 15 שנים, והגיל הממוצע של כל הפרימטים הוא 19 שנים. מה מהבאים חייב להיות נכון לגבי הגיל הממוצע $m$ של הקבוצה המשולבת של פרימטים זכרים ונקבות בשמורת הפרימטים?

1. $m = 17$
2. $m > 17$
3. מיליון דולר<17$

בעיית תרגול זו היא שאלה רשמית לתרגול SAT מתמטיקה מאתר מועצת המכללה .

עבור השאלה המתמטית הזו, לא מצפים ממך לפתור את הממוצע אלא עליך להשתמש במה שאתה יודע על שני אמצעים כדי להסביר מה יכול להיות הממוצע של הקבוצה הגדולה יותר. ספציפית, שואלים אותנו כיצד נוכל להשתמש בשני האמצעים הללו כדי לבטא, במונחים אלגבריים, את הגיל הממוצע ( $i m$ ) ל שניהם פרימטים זכרים ונקבות.

הנה מה שאנחנו יודעים: ראשית, הגיל הממוצע של כל הפרימטים הזכרים הוא 15 שנים. שנית, הגיל הממוצע של כל הפרימטים הוא 19 שנים. זה אומר שבאופן כללי, הפרימטים הנקבים הם מבוגרים יותר מאשר הפרימטים הזכרים.

מכיוון שהגיל הממוצע של פרימטים זכרים (15) נמוך מזה של פרימטים נקבות (19), אנו יודעים ש הגיל הממוצע עבור שתי הקבוצות אינו יכול לעלות באופן הגיוני על 19 שנים.

באופן דומה, מכיוון שהגיל הממוצע של פרימטים נקבות גבוה מזה של פרימטים זכרים, אנו יודעים זאת הגיל הממוצע של שניהם אינו יכול לרדת באופן הגיוני מתחת ל-15 שנים.

לכן נותרנו עם ההבנה שהגיל הממוצע של הפרימטים הזכרים והנקבות יחד חייב להיות גדול יותר מ-15 שנים (הגיל הממוצע של הזכרים) אבל גם פחות מ 19 שנים (הגיל הממוצע של הנקבות).

רציונל זה יכול להיכתב כאי השוויון הבא:

15 דולר

התשובה הנכונה היא ד' 15< $i m$ <19.

גודל גופן לטקס

מה הלאה?

כדי ללמוד עוד יותר על מערכי נתונים, עיין במדריך שלנו לאסטרטגיות הטובות ביותר לממוצע, חציון ומצב במתמטיקה SAT.

לוקח את SAT או ACT בקרוב? אז אתה בהחלט רוצה לדעת על איזה סוג של מתמטיקה אתה הולך להיבחן. לבדוק המדריכים המעמיקים שלנו לקטע SAT Math וקטע ACT Math כדי להתחיל.

מהן הנוסחאות המתמטיות החשובות ביותר לדעת עבור ה-SAT וה-ACT? קבל סקירה כללית של 28 נוסחאות SAT הקריטיות ו 31 נוסחאות ה-ACT הקריטיות אתה צריך לדעת.