תן L להיות קבוצה לא ריקה הסגורה תחת שתי פעולות בינאריות הנקראות מפגש והצטרפות, מסומנות ב- ∧ ו- ∨. אז L נקרא סריג אם האקסיומות הבאות מתקיימות כאשר a, b, c הם אלמנטים ב-L:
1) חוק קוממוטטיבי: -
(א) a ∧ b = b ∧ a (ב) a ∨ b = b ∨ a
2) משפט אסוציאטיבי:-
(א) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) חוק הקליטה: -
(א) a ∧ ( a ∨ b) = a (ב) a ∨ ( a ∧ b) = a
שְׁנִיוּת:
הדואל של כל משפט בסריג (L,∧ ,∨ ) מוגדר כהצהרה שמתקבלת על ידי החלפת ∧ ו∨.
לדוגמה , הדואל של a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a הוא a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
היא קאט טימפ עורכת דין
סריג מוגבל:
סריג L נקרא סריג מוגבל אם יש לו את האלמנט הגדול ביותר 1 והאלמנט הקטן ביותר 0.
דוגמא:
- קבוצת הכוח P(S) של קבוצת S בפעולות של חיתוך ואיחוד היא סריג מוגבל שכן ∅ הוא האלמנט הקטן ביותר של P(S) והקבוצה S היא האלמנט הגדול ביותר של P(S).
- קבוצת +ve המספר השלם I+לפי הסדר הרגיל של ≦ אינו סריג מוגבל מכיוון שיש לו אלמנט 1 לפחות אבל האלמנט הגדול ביותר אינו קיים.
תכונות של סריג מוגבל:
אם L הוא סריג מוגבל, אז עבור כל אלמנט a ∈ L, יש לנו את הזהויות הבאות:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= א
- a ∨0=a
- a ∧0=0
מִשׁפָּט: הוכח שכל סריג סופי L = {a1,א2,א3....אנ} מוגבל.
הוכחה: נתנו את הסריג הסופי:
L = {א1,א2,א3....אנ}
לפיכך, האלמנט הגדול ביותר של סריג L הוא a1∨ א2∨ א3∨....∨אנ.
כמו כן, האלמנט הקטן ביותר של הסריג L הוא a1∧ א2∧א3∧....∧אנ.
מאז, היסודות הגדולים והקטנים ביותר קיימים עבור כל סריג סופי. לפיכך, L מוגבל.
סריג משנה:
שקול תת-קבוצה לא ריקה L1של סריג ל' ואז ל'1נקרא תת-סריג של L אם L1עצמו הוא סריג כלומר, הפעולה של L כלומר, a ∨ b ∈ L1ו- a ∧ b ∈ L1בכל פעם ש- ∈ L1ו-b ∈ L1.
דוגמא: שקול את הסריג של כל +ve המספרים השלמים I+תחת פעולת החלוקה. הסריג דנמכל המחלקים של n > 1 הוא תת-סריג של I+.
.06 כשבר
קבע את כל תת-הסריגים של D30המכילים לפחות ארבעה יסודות, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
פִּתָרוֹן: הסריגים המשנה של ד30המכילים לפחות ארבעה אלמנטים הם כדלקמן:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
סריג איזומורפי:
שני סריג ל1ול2נקראים סריג איזומורפי אם יש בידוקציה מ-L1ל-L2כלומר, f: ל1⟶ ל2, כך ש-f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) ו-f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
דוגמא: קבע אם הסריגים המוצגים בתאנה הם איזומורפיים.
פִּתָרוֹן: הסריגים המוצגים בתאנה הם איזומורפיים. שקול את המיפוי f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. לדוגמה f (b ∧ c) = f (a) = 1. כמו כן, אנו יש f (ב) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
סריג הפצה:
סריג L נקרא סריג חלוקתי אם עבור רכיבים a, b ו-c של L, הוא עונה על המאפיינים ההפצתיים הבאים:
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
אם הסריג L אינו עונה על המאפיינים הנ'ל, הוא נקרא סריג לא חלוקתי.
דוגמא:
- ערכת הכוח P (S) של הקבוצה S תחת פעולת הצומת והאיחוד היא פונקציה חלוקתית. מאז,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
וכן, גם a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) עבור כל קבוצות a, b ו-c של P(S). - הסריג המוצג באיור II הוא חלוקה. מכיוון שהוא עונה על מאפייני ההפצה עבור כל השלשות המוסדרות שנלקחו מ-1, 2, 3 ו-4.
סריגים משלימים ומשלימים:
תן L להיות סריג מוגבל עם גבול תחתון o וגבול עליון I. תן a להיות אלמנט אם L. אלמנט x ב-L נקרא משלים של a אם a ∨ x = I ו- a ∧ x = 0
אומרים שסריג L הוא משלים אם L מוגבל ולכל אלמנט ב-L יש משלים.
דוגמא: קבע את המשלים של a ו-c באיור:
פִּתָרוֹן: המשלים של a הוא ד. מאז, a ∨ d = 1 ו- ∧ d = 0
המשלים של c לא קיים. מכיוון שלא קיים אלמנט c כך ש-c ∨ c'=1 ו-c ∧ c'= 0.
סריג מודולרי:
סריג (L, ∧,∨) נקרא סריג מודולרי אם a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c בכל פעם a ≦ c.
מוצר ישיר של סריג:
תן (ל1∨1∧1) ו (ל2∨2∧2) יהיו שני סריג. אז (L, ∧,∨) הוא המכפלה הישירה של סריג, כאשר L = L1x L2שבה הפעולה הבינארית ∨(join) ו∧(נפגשים) על L הן כאלה שעבור כל (a1,ב1) ו (א2,ב2) ב-L.
ציר שרת sql
(א1,ב1)∨( א2,ב2)=(א1∨1א2,ב1∨2ב2)
ו (א1,ב1) ∧ ( א2,ב2)=(א1∧1א2,ב1∧2ב2).
דוגמא: שקול סריג (L, ≦) כפי שמוצג באיור. כאשר L = {1, 2}. קבע את הסריגים (L2, ≦), כאשר L2=L x L.
פִּתָרוֹן: הסריג (L2, ≦) מוצג באיור: