ב-SAT שעוצב מחדש לאחרונה, תוכן מדור המתמטיקה מחולק לארבע קטגוריות על ידי מועצת המכללה: לב האלגברה, פתרון בעיות וניתוח נתונים, דרכון למתמטיקה מתקדמת ונושאים נוספים במתמטיקה. לב האלגברה מהווה את החלק הגדול ביותר של קטע מתמטיקה SAT (33% מהמבחן) , אז אתה צריך להיות מוכן לזה היטב. בפוסט זה, אדון בתוכן ובסוגי השאלות של קטגוריה זו, אעבור על בעיות תרגול ואספק טיפים כיצד להתמודד עם שאלות אלו.
לב האלגברה: סקירה כללית
תוכן מכוסה
בדיוק כפי שהשם מרמז, Heart of Algebra מכסה תוכן אלגברה, אבל איזה תוכן אלגברה ספציפית? שאלות אלו מכסות:
- משוואות לינאריות
- מערכת משוואות
- ערך מוחלט
- גרף משוואות ליניאריות
- אי-שוויון ליניארי ומערכות אי-שוויון
אני אתעמק בכל אחד מתחומי התוכן האלה למטה. אני אסביר בדיוק מה אתה צריך לדעת בכל תחום, ואדריך אותך בכמה בעיות תרגול.
הערה: כל בעיות התרגול במאמר זה נובעות מא מבחן תרגול SAT אמיתי של College Board (מבחן תרגול מס' 1).
אני ממליץ לך לא לקרוא את המאמר הזה עד לאחר ביצוע מבחן תרגול מס' 1 (אז אני לא אקלקל לך את זה!). אם לא ניגשת למבחן תרגול מס' 1, סמן מאמר זה לסימניות וחזור לאחר שסיימת אותו. אם כבר עברת מבחן תרגול מס' 1, אז המשך לקרוא!
כפול למחרוזת java
פירוט שאלות הלב של האלגברה
כפי שציינתי בתחילת המאמר, לב האלגברה מהווה 33% מהקטע במתמטיקה, מה שמצליח 19 שאלות. יהיו שמונה בסעיף 3 (המבחן במתמטיקה ללא מחשבון) ו-11 בסעיף 4 (המבחן במתמטיקה במחשבון).
שאלות הלב של האלגברה משתנות במצגת. מכיוון שיש כל כך הרבה, מועצת המכללה הייתה צריכה לערבב איך הם שואלים אותך את השאלות האלה. תראה שאלות מרובות בחירה ורשת בלב האלגברה. אתה יכול פשוט יוצגו בפניכם משוואה/ות וצריך לפתור או שאולי לקבל תרחיש בעולם האמיתי כבעיית מילים וצריך ליצור משוואה(ות) כדי למצוא את התשובה.
קטע מתמטיקה SAT מציג שאלות לפי סדר קושי (מוגדר לפי כמה זמן לוקח לתלמיד ממוצע לפתור בעיה ואחוז התלמידים שעונים נכון על השאלה). תוכלו לראות שאלות לב אלגברה לאורך המדור : הפשוטים, ה'קלים' יופיעו בתחילת הבחירה המרובה ו-grid-ins בעוד המאתגרים יותר שדורשים ממך ליצור משוואה או משוואות לפתרון יופיעו לקראת הסוף.
אני אתן דוגמאות לכל סוג של שאלה (קל וקשה) כשנלמד על כל תחום תוכן בחלק הבא.
אנחנו בדרך לכיבוש האלגברה!
פירוט אזורי תוכן
משוואות לינאריות
ניתן להציג שאלות במשוואה לינארית בכמה דרכים. שאלות המשוואה הליניארית הקלות יותר יבקשו ממך לפתור משוואה ליניארית שניתנת לך. שאלות המשוואה הליניארית הקשות יותר יבקשו ממך לכתוב משוואה ליניארית שתייצג את המצב הנתון.
אין בעיות תרגול מחשבון
השאלה הזו היא אחת השאלות הפשוטות, הקלות והישירות ביותר של Heart of Algebra שתראה. השאלה רק מבקשת ממך לפתור משוואה לינארית מבלי למקם אותה במצב של עולם אמיתי שידרוש ממך להבין את ההקשר כמו גם את המשוואה.
הסבר תשובה:
מכיוון ש$k=3$, אפשר להחליף 3 במשוואה, מה שנותן ${x-1}/{3}=3$. הכפלת שני הצדדים של ${x-1}/{3}=3$ ב-3 נותן $x-1=9$, ואם תוסיף 1 לכל צד, התוצאה היא $x=10$. D היא התשובה הנכונה.
עֵצָה:
אם נאבקת בשאלה זו, תוכל לפתור אותה גם על ידי חיבור אפשרויות התשובה עבור x ולראות איזו מהן עובדת. חיבור לחשמל יעבוד אבל ייקח לך יותר זמן מאשר פשוט לפתור את המשוואה.
אם אתה פותר את המשוואה כדי למצוא את x, אתה יכול לבדוק שוב את התשובה שלך ואז לחבר אותה לחשמל. אם אתה מחבר את בחירת התשובה שלך עבור x, ושני הצדדים של המשוואה שווים, אתה יודע שיש לך את התשובה הנכונה!
השאלה הבאה היא קצת יותר מאתגר מכיוון שהוא מבקש ממך ליצור משוואה לינארית כדי לייצג את תרחיש העולם האמיתי שהוא מציג.
הסבר תשובה:
ישנן שתי דרכים לגשת לבעיה זו.
גישה 1: המספר הכולל של הודעות שנשלח על ידי ארמנד שווה לקצב שליחת ההודעות שלו (מיליון טקסטים/שעה) כפול 5 השעות שהוא בילה בהודעות טקסט: m טקסטים/שעה × 5 שעות = 5 מיליון דולר טקסטים. באופן דומה, המספר הכולל של ההודעות שנשלח על ידי טיירון שווה לקצב שליחת ההודעות שלו (p טקסטים/שעה) כפול 4 השעות שהוא בילה בהודעות טקסט: p טקסטים/שעה × 4 שעות = p$ טקסטים. המספר הכולל של ההודעות שנשלחו על ידי ארמנד וטיירון שווה לסכום המספר הכולל של ההודעות שנשלחו על ידי ארמנד והמספר הכולל של ההודעות שנשלחו על ידי טיירון: m+4p$. C היא התשובה הנכונה.
גישה 2: בחר מספרים ותחבר אותם. לדוגמה, אני הולך לבחור מספרים ולומר שארמנד שולח 3 הודעות טקסט בשעה וטיירון שולח 10 הודעות טקסט בשעה. בהתבסס על המידע הנתון, אם ארמנד שולח הודעות טקסט במשך 5 שעות, ארמנד שלח (3 טקסטים לשעה) (5 שעות) טקסטים או 15 טקסטים; אם טיירון שולח הודעות טקסט למשך 4 שעות, טיירון שלח (10 טקסטים לשעה) (4 שעות) טקסטים או 40 טקסטים. לכן, המספר הכולל של טקסטים שנשלחו על ידי ארמנד וטיירון הוא +40=55$ טקסטים. כעת, אני מחבר את המספרים שבחרתי לאפשרויות התשובה ובודק אם מספר הטקסטים תואם ל-55 טקסטים, אז עבור תשובה C, (3) +4(10)=15+40=55$ טקסטים. לכן, C היא התשובה הנכונה. הערה: עבור שאלה זו, אסטרטגיה זו הייתה איטית יותר, אך עבור שאלות מסובכות יותר, זו יכולה להיות גישה מהירה וקלה יותר.
עֵצָה:
קח את הבעיות האלה צעד אחד בכל פעם. מצא את המספר הכולל של הודעות הטקסט של ארמנד, ואז מצא את המספר הכולל של הודעות הטקסט של טיירון, ולאחר מכן, חבר אותן לביטוי אחד. אל תמהרו לקפוץ לתשובה הסופית. אולי תעשה טעות בדרך.
מערכות משוואות
שאלות מערכת משוואות יוצגו בדרכים דומות כמו שאלות משוואות ליניאריות; למרות זאת, הם יותר קשים כי כעת עליך לבצע שלבים נוספים ו/או ליצור משוואה שנייה.
ה מערכת קלה יותר של שאלות משוואות יבקש ממך לפתור עבור משתנה אחד כאשר נותנים לך שתי משוואות עם שני משתנים.
ה מערכת קשה יותר של שאלות משוואות ידרוש ממך לכתוב מערכת משוואות לייצג את המצב הנתון ולאחר מכן לפתור עבור משתנה אחד באמצעות המשוואות שיצרת.
אין בעיות תרגול מחשבון
השאלה הזו היא ללא ספק המערכות הפשוטות, הקלות והפשוטות ביותר של שאלות משוואות שתראה. הוא מגדיר עבורך את המשוואות, ופשוט מבקש ממך לפתור עבור x.
הסבר תשובה:
הפחתת הצדדים השמאלית והימנית של $x+y=−9$ מהצלעות המתאימות של $x+2y =−25$ נותנת $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , שהוא שווה ערך ל-$y=−16$. החלפת $-16$ ב-$y$ ב-$x+y=-9$ נותנת $x+(-16)=-9$, שזה שווה ערך ל-$x=-9-(-16) =7$. התשובה הנכונה היא 7.
עֵצָה:
חיבור לחשמל עשוי להיות אופציה טובה אם נותנים לך שאלה זו בבחירה מרובה (מה שלא קורה כאן). עם זאת, יכולת גם לחבר את התשובה שלך כדי לבדוק שוב את העבודה שלך!
הנה עוד שאלה די פשוטה של משוואות, אבל היא כן קצת יותר קשה מכיוון שאתה צריך לספק את התשובה גם עבור x וגם עבור y (מה שיוצר יותר פוטנציאל לטעות).
הסבר תשובה:
הוספת x ו-19 לשני הצדדים של y−x=−19$ נותנת $x=2y+19$. לאחר מכן, החלפה של y+19$ ב-x ב-x+4y=−23$ נותנת (2y + 19)+4y=−23$. המשוואה האחרונה הזו שווה ל-y+57=−23$. פתרון y+57=−23$ נותן $y=−8$. לבסוף, החלפה של −8 ב-y ב-y−x=−19$ נותנת (−8)−x=−19$, או $x=3$. לכן, הפתרון $(x, y)$ למערכת המשוואות הנתונה הוא $(3, −8)$.
עֵצָה:
חיבור לחשמל היה גם דרך מהירה לפתור את הבעיה הזו! כאשר מתבקשים לפתור עבור שני המשתנים בשאלה של מערכת משוואות, נסה תמיד לחבר!
להלן א קצת יותר קשה. למרות שקיבלת את המשוואות, אתה עדיין צריך לקבוע מה השאלה שואלת אותך (איזה משתנה אתה צריך לפתור) וזה קצת יותר מאתגר מכיוון שהוא שואל אותך את השאלה באמצעות תרחיש בעולם האמיתי. כמו כן, אתה צריך לפתור את זה באמצעות מתמטיקה מנטלית (שכן זה בקטע ללא מחשבון).
הסבר תשובה:
כדי לקבוע את המחיר לקילו בשר בקר כשהוא שווה למחיר לקילו עוף, קבעו את הערך של x (מספר השבועות לאחר 1 ביולי) כאשר שני המחירים היו שווים. המחירים היו שווים כאשר $b=c$; כלומר, כאשר .35+0.25x=1.75+0.40x$. המשוואה האחרונה הזו שווה ל- ב-SAT שעוצב מחדש לאחרונה, תוכן מדור המתמטיקה מחולק לארבע קטגוריות על ידי מועצת המכללה: לב האלגברה, פתרון בעיות וניתוח נתונים, דרכון למתמטיקה מתקדמת ונושאים נוספים במתמטיקה. לב האלגברה מהווה את החלק הגדול ביותר של קטע מתמטיקה SAT (33% מהמבחן) , אז אתה צריך להיות מוכן לזה היטב. בפוסט זה, אדון בתוכן ובסוגי השאלות של קטגוריה זו, אעבור על בעיות תרגול ואספק טיפים כיצד להתמודד עם שאלות אלו. בדיוק כפי שהשם מרמז, Heart of Algebra מכסה תוכן אלגברה, אבל איזה תוכן אלגברה ספציפית? שאלות אלו מכסות: אני אתעמק בכל אחד מתחומי התוכן האלה למטה. אני אסביר בדיוק מה אתה צריך לדעת בכל תחום, ואדריך אותך בכמה בעיות תרגול. הערה: כל בעיות התרגול במאמר זה נובעות מא מבחן תרגול SAT אמיתי של College Board (מבחן תרגול מס' 1). אני ממליץ לך לא לקרוא את המאמר הזה עד לאחר ביצוע מבחן תרגול מס' 1 (אז אני לא אקלקל לך את זה!). אם לא ניגשת למבחן תרגול מס' 1, סמן מאמר זה לסימניות וחזור לאחר שסיימת אותו. אם כבר עברת מבחן תרגול מס' 1, אז המשך לקרוא! כפי שציינתי בתחילת המאמר, לב האלגברה מהווה 33% מהקטע במתמטיקה, מה שמצליח 19 שאלות. יהיו שמונה בסעיף 3 (המבחן במתמטיקה ללא מחשבון) ו-11 בסעיף 4 (המבחן במתמטיקה במחשבון). שאלות הלב של האלגברה משתנות במצגת. מכיוון שיש כל כך הרבה, מועצת המכללה הייתה צריכה לערבב איך הם שואלים אותך את השאלות האלה. תראה שאלות מרובות בחירה ורשת בלב האלגברה. אתה יכול פשוט יוצגו בפניכם משוואה/ות וצריך לפתור או שאולי לקבל תרחיש בעולם האמיתי כבעיית מילים וצריך ליצור משוואה(ות) כדי למצוא את התשובה. קטע מתמטיקה SAT מציג שאלות לפי סדר קושי (מוגדר לפי כמה זמן לוקח לתלמיד ממוצע לפתור בעיה ואחוז התלמידים שעונים נכון על השאלה). תוכלו לראות שאלות לב אלגברה לאורך המדור : הפשוטים, ה'קלים' יופיעו בתחילת הבחירה המרובה ו-grid-ins בעוד המאתגרים יותר שדורשים ממך ליצור משוואה או משוואות לפתרון יופיעו לקראת הסוף. אני אתן דוגמאות לכל סוג של שאלה (קל וקשה) כשנלמד על כל תחום תוכן בחלק הבא. ניתן להציג שאלות במשוואה לינארית בכמה דרכים. שאלות המשוואה הליניארית הקלות יותר יבקשו ממך לפתור משוואה ליניארית שניתנת לך. שאלות המשוואה הליניארית הקשות יותר יבקשו ממך לכתוב משוואה ליניארית שתייצג את המצב הנתון. השאלה הזו היא אחת השאלות הפשוטות, הקלות והישירות ביותר של Heart of Algebra שתראה. השאלה רק מבקשת ממך לפתור משוואה לינארית מבלי למקם אותה במצב של עולם אמיתי שידרוש ממך להבין את ההקשר כמו גם את המשוואה. הסבר תשובה: מכיוון ש$k=3$, אפשר להחליף 3 במשוואה, מה שנותן ${x-1}/{3}=3$. הכפלת שני הצדדים של ${x-1}/{3}=3$ ב-3 נותן $x-1=9$, ואם תוסיף 1 לכל צד, התוצאה היא $x=10$. D היא התשובה הנכונה. עֵצָה: אם נאבקת בשאלה זו, תוכל לפתור אותה גם על ידי חיבור אפשרויות התשובה עבור x ולראות איזו מהן עובדת. חיבור לחשמל יעבוד אבל ייקח לך יותר זמן מאשר פשוט לפתור את המשוואה. אם אתה פותר את המשוואה כדי למצוא את x, אתה יכול לבדוק שוב את התשובה שלך ואז לחבר אותה לחשמל. אם אתה מחבר את בחירת התשובה שלך עבור x, ושני הצדדים של המשוואה שווים, אתה יודע שיש לך את התשובה הנכונה! השאלה הבאה היא קצת יותר מאתגר מכיוון שהוא מבקש ממך ליצור משוואה לינארית כדי לייצג את תרחיש העולם האמיתי שהוא מציג. הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לגשת לבעיה זו. גישה 1: המספר הכולל של הודעות שנשלח על ידי ארמנד שווה לקצב שליחת ההודעות שלו (מיליון טקסטים/שעה) כפול 5 השעות שהוא בילה בהודעות טקסט: m טקסטים/שעה × 5 שעות = 5 מיליון דולר טקסטים. באופן דומה, המספר הכולל של ההודעות שנשלח על ידי טיירון שווה לקצב שליחת ההודעות שלו (p טקסטים/שעה) כפול 4 השעות שהוא בילה בהודעות טקסט: p טקסטים/שעה × 4 שעות = $4p$ טקסטים. המספר הכולל של ההודעות שנשלחו על ידי ארמנד וטיירון שווה לסכום המספר הכולל של ההודעות שנשלחו על ידי ארמנד והמספר הכולל של ההודעות שנשלחו על ידי טיירון: $5m+4p$. C היא התשובה הנכונה. גישה 2: בחר מספרים ותחבר אותם. לדוגמה, אני הולך לבחור מספרים ולומר שארמנד שולח 3 הודעות טקסט בשעה וטיירון שולח 10 הודעות טקסט בשעה. בהתבסס על המידע הנתון, אם ארמנד שולח הודעות טקסט במשך 5 שעות, ארמנד שלח (3 טקסטים לשעה) (5 שעות) טקסטים או 15 טקסטים; אם טיירון שולח הודעות טקסט למשך 4 שעות, טיירון שלח (10 טקסטים לשעה) (4 שעות) טקסטים או 40 טקסטים. לכן, המספר הכולל של טקסטים שנשלחו על ידי ארמנד וטיירון הוא $15+40=55$ טקסטים. כעת, אני מחבר את המספרים שבחרתי לאפשרויות התשובה ובודק אם מספר הטקסטים תואם ל-55 טקסטים, אז עבור תשובה C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ טקסטים. לכן, C היא התשובה הנכונה. הערה: עבור שאלה זו, אסטרטגיה זו הייתה איטית יותר, אך עבור שאלות מסובכות יותר, זו יכולה להיות גישה מהירה וקלה יותר. עֵצָה: קח את הבעיות האלה צעד אחד בכל פעם. מצא את המספר הכולל של הודעות הטקסט של ארמנד, ואז מצא את המספר הכולל של הודעות הטקסט של טיירון, ולאחר מכן, חבר אותן לביטוי אחד. אל תמהרו לקפוץ לתשובה הסופית. אולי תעשה טעות בדרך. שאלות מערכת משוואות יוצגו בדרכים דומות כמו שאלות משוואות ליניאריות; למרות זאת, הם יותר קשים כי כעת עליך לבצע שלבים נוספים ו/או ליצור משוואה שנייה. ה מערכת קלה יותר של שאלות משוואות יבקש ממך לפתור עבור משתנה אחד כאשר נותנים לך שתי משוואות עם שני משתנים. ה מערכת קשה יותר של שאלות משוואות ידרוש ממך לכתוב מערכת משוואות לייצג את המצב הנתון ולאחר מכן לפתור עבור משתנה אחד באמצעות המשוואות שיצרת. השאלה הזו היא ללא ספק המערכות הפשוטות, הקלות והפשוטות ביותר של שאלות משוואות שתראה. הוא מגדיר עבורך את המשוואות, ופשוט מבקש ממך לפתור עבור x. הסבר תשובה: הפחתת הצדדים השמאלית והימנית של $x+y=−9$ מהצלעות המתאימות של $x+2y =−25$ נותנת $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , שהוא שווה ערך ל-$y=−16$. החלפת $-16$ ב-$y$ ב-$x+y=-9$ נותנת $x+(-16)=-9$, שזה שווה ערך ל-$x=-9-(-16) =7$. התשובה הנכונה היא 7. עֵצָה: חיבור לחשמל עשוי להיות אופציה טובה אם נותנים לך שאלה זו בבחירה מרובה (מה שלא קורה כאן). עם זאת, יכולת גם לחבר את התשובה שלך כדי לבדוק שוב את העבודה שלך! הנה עוד שאלה די פשוטה של משוואות, אבל היא כן קצת יותר קשה מכיוון שאתה צריך לספק את התשובה גם עבור x וגם עבור y (מה שיוצר יותר פוטנציאל לטעות). הסבר תשובה: הוספת x ו-19 לשני הצדדים של $2y−x=−19$ נותנת $x=2y+19$. לאחר מכן, החלפה של $2y+19$ ב-x ב-$3x+4y=−23$ נותנת $3(2y + 19)+4y=−23$. המשוואה האחרונה הזו שווה ל-$10y+57=−23$. פתרון $10y+57=−23$ נותן $y=−8$. לבסוף, החלפה של −8 ב-y ב-$2y−x=−19$ נותנת $2(−8)−x=−19$, או $x=3$. לכן, הפתרון $(x, y)$ למערכת המשוואות הנתונה הוא $(3, −8)$. עֵצָה: חיבור לחשמל היה גם דרך מהירה לפתור את הבעיה הזו! כאשר מתבקשים לפתור עבור שני המשתנים בשאלה של מערכת משוואות, נסה תמיד לחבר! להלן א קצת יותר קשה. למרות שקיבלת את המשוואות, אתה עדיין צריך לקבוע מה השאלה שואלת אותך (איזה משתנה אתה צריך לפתור) וזה קצת יותר מאתגר מכיוון שהוא שואל אותך את השאלה באמצעות תרחיש בעולם האמיתי. כמו כן, אתה צריך לפתור את זה באמצעות מתמטיקה מנטלית (שכן זה בקטע ללא מחשבון). הסבר תשובה: כדי לקבוע את המחיר לקילו בשר בקר כשהוא שווה למחיר לקילו עוף, קבעו את הערך של x (מספר השבועות לאחר 1 ביולי) כאשר שני המחירים היו שווים. המחירים היו שווים כאשר $b=c$; כלומר, כאשר $2.35+0.25x=1.75+0.40x$. המשוואה האחרונה הזו שווה ל-$0.60=0.15x$, ולכן $x={0.6}/{0.15}=4$. לאחר מכן כדי לקבוע $b$, המחיר לקילוגרם של בשר בקר, החליפו 4 ב-$x$ ב-$b=2.35+0.25x$, מה שנותן $b=2.35+0.25(4)=3.35$ דולר לפאונד. לכן, D היא התשובה הנכונה. עֵצָה: קח את הזמן שלך לעבוד על כל שלב. קל לעשות טעות קטנה ולקבל את התשובה השגויה. להלן אחת השאלות הקשות ביותר בלב האלגברה. בהתבסס על תרחיש העולם האמיתי שקיבלת בשאלה, עליך ליצור שתי משוואות ואז לפתור אותן. הסבר תשובה: כדי לקבוע את מספר הסלטים הנמכרים, כתבו ופתרו מערכת של שתי משוואות. תנו ל-$x$ להיות שווה למספר הסלטים שנמכרו ו-$y$ שווה למספר המשקאות שנמכרו. מכיוון שמספר הסלטים בתוספת מספר המשקאות שנמכרו שווה ל-209, המשוואה $x+y=209$ חייבת להתקיים. מכיוון שכל סלט עלה 6.50, כל סודה עלתה 2.00, וההכנסה הכוללת הייתה 836.50, המשוואה $6.50x+2.00y=836.50$ חייבת להתקיים גם היא. המשוואה $x+y=209$ שווה ערך ל-$2x+2y=418$, והפחתת כל צד של $2x+2y=418$ מהצד המתאים של $6.50x+2.00y=836.50$ נותן 4.5x=418.50$ $. לכן, מספר הסלטים שנמכרו x היה $x={418.50}/{4.50}=93$. לכן, ב' היא התשובה הנכונה. עֵצָה: קח את הבעיות האלה צעד אחד בכל פעם. כתבו את המשוואה עבור המספר הכולל של הסלטים והמשקאות שנמכרו, ואז חשבו את המשוואה להכנסות, ואז פתרו. אל תמהר או שאתה עלול לעשות טעות. בדרך כלל תהיה רק שאלה אחת של ערך מוחלט במקטע מתמטיקה SAT. השאלה היא בדרך כלל די קלה וישירה, אבל היא מחייבת אותך לדעת את כללי הערך המוחלט כדי לענות עליה נכון. כל דבר שהוא ערך מוחלט יהיה בסוגריים עם סימני ערך מוחלט שנראים כך: || לדוגמה, $|-4|$ או $|x-1|$ ערך מוחלט הוא ייצוג של מרחק לאורך קו מספרים, קדימה או אחורה. זה אומר ש כל מה שנמצא בסימן הערך המוחלט יהפוך לחיובי מכיוון שהוא מייצג מרחק לאורך קו מספרים ואי אפשר לקבל מרחק שלילי. לדוגמה, על קו המספרים לעיל, -2 רחוק מ-0. כל דבר בתוך הערך המוחלט הופך לחיובי. זה גם אומר שלמשוואת ערך מוחלט יהיו תמיד שני פתרונות . לדוגמה, ל-$|x-1|=2$ יהיו שני פתרונות $x-1=2$ ו-$x-1=-2$. לאחר מכן, אתה פותר כל משוואה נפרדת כדי למצוא את שני הפתרונות, $x=3,-1$. כאשר עובדים על בעיות ערך מוחלט, זכור שאתה צריך ליצור שני פתרונות נפרדים, החיובי והשלילי, כפי שעשינו למעלה. הסבר תשובה: אם הערך של $|n−1|+1$ שווה ל-0, אז $|n−1|+1=0$. הפחתת 1 משני הצדדים של המשוואה הזו נותנת $|n−1|=−1$. הביטוי $|n−1|$ בצד שמאל של המשוואה הוא הערך המוחלט של $n−1$, וכפי שציינתי זה עתה, הערך המוחלט לעולם לא יכול להיות מספר שלילי מכיוון שהוא מייצג מרחק. לפיכך, ל-$|n−1|=−1$ אין פתרון. לכן, אין ערכים עבור n שעבורם הערך של $|n−1|+1$ שווה ל-0. D היא התשובה הנכונה. עֵצָה: זכרו את כללי הערך המוחלט (זה תמיד חיובי!). אם אתה זוכר את הכללים, אתה צריך להבין את השאלה נכון! שאלות אלו בודקות את יכולתך לקרוא גרף ולפרש אותו לצורת $y=mx+b$. רענון מהיר, $y=mx+b$ היא משוואת החיתוך של השיפוע של ישר, כאשר m מייצג את השיפוע ו-b מייצג את חיתוך ה-y. בשאלות אלו, בדרך כלל יוצג בפניכם גרף של קו, ותצטרכו לקבוע מה הם השיפוע ו-Y-חתך כדי לכתוב את משוואת הקו. הסבר תשובה: הקשר בין h ו-C מיוצג על ידי כל משוואה של הישר הנתון. חיתוך ה-C של הישר הוא 5. מכיוון שהנקודות $(0, 5)$ ו-$(1, 8)$ שוכנות על הישר, השיפוע של הישר הוא ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. לכן, ניתן לייצג את הקשר בין h ל-C על ידי $C=3h+5$, משוואת השיפוע-חירוט של הישר. C היא התשובה הנכונה. עֵצָה: יש לשנן את צורת חיתוך השיפוע ($y=mx+b$) ואת משוואת השיפוע $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. דע מה המשמעות של כל משתנה במשוואות. אם אתה יודע את כל זה, אתה אמור להיות מסוגל להתמודד עם כל בעיה גרפית של משוואה לינארית שניתנת לך. אלו הם ללא ספק השאלות המאתגרות ביותר בלב האלגברה כי תלמידים רבים נאבקים כאשר משתנים משולבים עם אי שוויון. אם אתה זקוק לרענון מהיר אך מעמיק בנושא אי שוויון, עיין במדריך אי השוויון שלנו. השאלות האלה מופיעים בדרך כלל לקראת הסוף של אפשרויות הבחירה והרשת בכל חלק. שאלות אלו יוצגו כפשוטות שכבר נוצרו באי-שוויון (לא תתבקשו ליצור אי-שוויון וגם לא יוצגו בפניכם תרחיש של עולם אמיתי באמצעות אי-שוויון). למרות שהן מוצגות בצורה פשוטה, השאלות הללו מאתגרות, וקל לטעות, אז קח את הזמן שלך! הסבר תשובה: הפחתת $3x$ והוספת 3 לשני הצדדים של $3x−5≥4x−3$ נותן $−2≥x$. לכן, x הוא פתרון ל-$3x−5≥4x−3$ אם ורק אם x קטן או שווה ל–2 ו-x אינו פתרון ל$3x−5≥4x−3$ אם ורק אם x גדול מ-2. מבין האפשרויות שניתנו, רק −1 גדול מ-2, ולכן, אינו יכול להיות ערך של x. א' היא התשובה הנכונה. אתה יכול גם לנסות לענות על זה על ידי חיבור אפשרויות התשובה ולראות איזו מהן לא עבדה. אם תחבר את A לאי-שוויון, תקבל $3(-1)-5≥4(-1)–3$. אם מפשטים את אי השוויון, תקבל -8≥-7, וזה לא נכון, אז A היא התשובה הנכונה. עֵצָה זכרו את כללי אי השוויון! קח את הזמן שלך לעבוד על כל שלב כדי שלא תעשה טעויות. כמו כן, זכור לנסות לחבר את אפשרויות התשובה כדי למצוא את התשובה הנכונה! בואו נסתכל על דוגמה נוספת. הסבר תשובה: מכיוון ש(0, 0) הוא פתרון למערכת האי-שוויון, החלפת 0 ב-x ו-0 ב-y במערכת הנתונה חייבת לגרום לשני אי-שוויון אמיתיים. לאחר החלפה זו, י<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>ב. לפיכך, a הוא חיובי, ו-b הוא שלילי. לכן, א > ב. בחירה א' נכונה. עֵצָה: התייחסו למערכת אי-שוויון זו עם ארבעה משתנים כפי שהייתם מתייחסים למערכת של אי-שוויון עם שני משתנים. זכור שאם (0,0) הוא פתרון זה אומר שכאשר x=0, y=0. שילבתי את האסטרטגיות לתקוף שאלות אלו לאורך המאמר הזה בקטעי 'טיפ', אבל אסכם אותן כאן כעת. אתה צריך לדעת את כללי האי-שוויון, את כללי הערך המוחלט ואת הנוסחה עבור גרסת היירוט-שיפוע של קו ($y=mx+b$) כדי לענות בצורה נכונה על סוגי שאלות אלגברה. ללא הכללים והנוסחה, השאלות הללו כמעט בלתי אפשריות. אם אתה זקוק לסיוע נוסף עם אחד מהמושגים, עיין במדריכים המעמיקים שלנו למשוואות ליניאריות, מערכות משוואות, ערך מוחלט, צורת יירוט-שיפוע ואי-שוויון ליניארי ומערכות אי-שוויון. בשאלות מרובות הברירה, כדאי בדוק תמיד אם אתה יכול לחבר את אפשרויות התשובות למשוואות הנתונות או לאי השוויון כדי למצוא את התשובה הנכונה . לפעמים גישה זו תהיה הרבה יותר פשוטה מאשר לנסות לפתור את המשוואה. גם אם אתה מגלה שחיבור תשובות מאט אותך, אתה צריך, לפחות, לשקול להשתמש בו כדי לבדוק את העבודה שלך. חבר את בחירת התשובה שמצאת ובדוק אם היא מביאה למשוואה מאוזנת או לאי שוויון נכונים. אם כן, אתה יודע שיש לך את התשובה הנכונה! אם חיבור תשובות אינו אפשרי, חיבור מספרים הוא לעתים קרובות אפשרות כמו בשאלה 2 למעלה. כאשר אתה בוחר מספרים לחיבור, באופן כללי, אני לא ממליץ להשתמש ב-1, 0 או 1 (כיוון שהם יכולים לגרום לתשובות שגויות), והקפד לקרוא את השאלה כדי לראות אילו מספרים עליך לבחור. לדוגמה, בשאלה 2, המספרים ייצגו את מספר הודעות הטקסט שנשלחו, לכן אין להשתמש במספר שלילי כדי לייצג את מספר הודעות הטקסט מכיוון שאי אפשר לשלוח מספר שלילי של הודעות טקסט. לגבי אי שוויון זה חשוב במיוחד, לעתים קרובות השאלה תאמר 'הדבר הבא נכון עבור כל $x>0$.' אם זה המקרה, אתה לא יכול לחבר 0 או -5; אתה יכול לחבר רק מספרים גדולים מ-0 מכיוון שזה הפרמטר שנקבע על ידי השאלה. לשאלות הלב של האלגברה, אתה צריך לקחת את הזמן שלך לעבוד על כל שלב. שאלות אלו יכולות לכלול 5, 10, 15 שלבים, ואתה צריך לקחת את הזמן כדי לוודא שאתה לא עושה טעות קטנה בשלב 3 שתגרום לתשובה לא נכונה. אתה יודע את הדברים שלך, אז אל תיתן לטעויות קטנות לעלות לך בנקודות! עכשיו כשאתה יודע למה לצפות בשאלות הלב של האלגברה, ודא שאתה מוכן כל שאר נושאי המתמטיקה תראה ב-SAT. כל מדריכי המתמטיקה שלנו יעבירו אותך דרך אסטרטגיות ובעיות תרגול עבור כל הנושאים המכוסים בסעיף המתמטיקה, ממספרים שלמים ועד יחסים, עיגולים ועד מצולעים (ועוד!). מרגישים חרדה לקראת יום המבחן? ודא שאתה יודע בדיוק מה לעשות והביא כדי להקל על דעתך ולהרגיע את העצבים שלך לפני שהגיע הזמן לקחת את ה-SAT שלך. נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? אל תסתכל רחוק יותר מהמדריך שלנו שיעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את ציון ה-SAT שלך במתמטיקה. דייגים כדי לקבל ציון מושלם? בדוק שלנו מדריך להשגת 800 מושלם , נכתב על ידי קלע מושלם.לב האלגברה: סקירה כללית
תוכן מכוסה
פירוט שאלות הלב של האלגברה
אנחנו בדרך לכיבוש האלגברה! פירוט אזורי תוכן
משוואות לינאריות
אין בעיות תרגול מחשבון
מערכות משוואות
אין בעיות תרגול מחשבון
בעיית תרגול מחשבון
ערך מוחלט
בעיית תרגול מחשבון
גרף משוואות ליניאריות
בעיית תרגול מחשבון
אי-שוויון ליניארי ומערכות של אי-שוויון ליניארי
מחשבון בעיות תרגול
4 אסטרטגיות מפתח ללב האלגברה
אסטרטגיה מס' 1: שנן את הכללים והנוסחה
אסטרטגיה מס' 2: חיבור תשובות
חבר את זה! חבר את זה!אסטרטגיה מס' 3: חיבור מספרים
אסטרטגיה מס' 4: עבודה צעד אחד בכל פעם
מה הלאה?
עֵצָה:
קח את הזמן שלך לעבוד על כל שלב. קל לעשות טעות קטנה ולקבל את התשובה השגויה.
בעיית תרגול מחשבון
להלן אחת השאלות הקשות ביותר בלב האלגברה. בהתבסס על תרחיש העולם האמיתי שקיבלת בשאלה, עליך ליצור שתי משוואות ואז לפתור אותן.
isletter java
פונקציות מחרוזות ב-java
הסבר תשובה:
כדי לקבוע את מספר הסלטים הנמכרים, כתבו ופתרו מערכת של שתי משוואות. תנו ל-$x$ להיות שווה למספר הסלטים שנמכרו ו-$y$ שווה למספר המשקאות שנמכרו. מכיוון שמספר הסלטים בתוספת מספר המשקאות שנמכרו שווה ל-209, המשוואה $x+y=209$ חייבת להתקיים. מכיוון שכל סלט עלה 6.50, כל סודה עלתה 2.00, וההכנסה הכוללת הייתה 836.50, המשוואה .50x+2.00y=836.50$ חייבת להתקיים גם היא. המשוואה $x+y=209$ שווה ערך ל-x+2y=418$, והפחתת כל צד של x+2y=418$ מהצד המתאים של .50x+2.00y=836.50$ נותן 4.5x=418.50$ $. לכן, מספר הסלטים שנמכרו x היה $x={418.50}/{4.50}=93$. לכן, ב' היא התשובה הנכונה.
עֵצָה:
קח את הבעיות האלה צעד אחד בכל פעם. כתבו את המשוואה עבור המספר הכולל של הסלטים והמשקאות שנמכרו, ואז חשבו את המשוואה להכנסות, ואז פתרו. אל תמהר או שאתה עלול לעשות טעות.
ערך מוחלט
בדרך כלל תהיה רק שאלה אחת של ערך מוחלט במקטע מתמטיקה SAT. השאלה היא בדרך כלל די קלה וישירה, אבל היא מחייבת אותך לדעת את כללי הערך המוחלט כדי לענות עליה נכון. כל דבר שהוא ערך מוחלט יהיה בסוגריים עם סימני ערך מוחלט שנראים כך: || לדוגמה, $|-4|$ או $|x-1|$
ערך מוחלט הוא ייצוג של מרחק לאורך קו מספרים, קדימה או אחורה.
זה אומר ש כל מה שנמצא בסימן הערך המוחלט יהפוך לחיובי מכיוון שהוא מייצג מרחק לאורך קו מספרים ואי אפשר לקבל מרחק שלילי. לדוגמה, על קו המספרים לעיל, -2 רחוק מ-0. כל דבר בתוך הערך המוחלט הופך לחיובי.
זה גם אומר שלמשוואת ערך מוחלט יהיו תמיד שני פתרונות . לדוגמה, ל-$|x-1|=2$ יהיו שני פתרונות $x-1=2$ ו-$x-1=-2$. לאחר מכן, אתה פותר כל משוואה נפרדת כדי למצוא את שני הפתרונות, $x=3,-1$.
כאשר עובדים על בעיות ערך מוחלט, זכור שאתה צריך ליצור שני פתרונות נפרדים, החיובי והשלילי, כפי שעשינו למעלה.
בעיית תרגול מחשבון
הסבר תשובה:
אם הערך של $|n−1|+1$ שווה ל-0, אז $|n−1|+1=0$. הפחתת 1 משני הצדדים של המשוואה הזו נותנת $|n−1|=−1$. הביטוי $|n−1|$ בצד שמאל של המשוואה הוא הערך המוחלט של $n−1$, וכפי שציינתי זה עתה, הערך המוחלט לעולם לא יכול להיות מספר שלילי מכיוון שהוא מייצג מרחק. לפיכך, ל-$|n−1|=−1$ אין פתרון. לכן, אין ערכים עבור n שעבורם הערך של $|n−1|+1$ שווה ל-0. D היא התשובה הנכונה.
עֵצָה:
זכרו את כללי הערך המוחלט (זה תמיד חיובי!). אם אתה זוכר את הכללים, אתה צריך להבין את השאלה נכון!
גרף משוואות ליניאריות
שאלות אלו בודקות את יכולתך לקרוא גרף ולפרש אותו לצורת $y=mx+b$. רענון מהיר, $y=mx+b$ היא משוואת החיתוך של השיפוע של ישר, כאשר m מייצג את השיפוע ו-b מייצג את חיתוך ה-y.
בשאלות אלו, בדרך כלל יוצג בפניכם גרף של קו, ותצטרכו לקבוע מה הם השיפוע ו-Y-חתך כדי לכתוב את משוואת הקו.
בעיית תרגול מחשבון
הסבר תשובה:
הקשר בין h ו-C מיוצג על ידי כל משוואה של הישר הנתון. חיתוך ה-C של הישר הוא 5. מכיוון שהנקודות $(0, 5)$ ו-$(1, 8)$ שוכנות על הישר, השיפוע של הישר הוא ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. לכן, ניתן לייצג את הקשר בין h ל-C על ידי $C=3h+5$, משוואת השיפוע-חירוט של הישר. C היא התשובה הנכונה.
עֵצָה:
יש לשנן את צורת חיתוך השיפוע ($y=mx+b$) ואת משוואת השיפוע $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. דע מה המשמעות של כל משתנה במשוואות. אם אתה יודע את כל זה, אתה אמור להיות מסוגל להתמודד עם כל בעיה גרפית של משוואה לינארית שניתנת לך.
אי-שוויון ליניארי ומערכות של אי-שוויון ליניארי
אלו הם ללא ספק השאלות המאתגרות ביותר בלב האלגברה כי תלמידים רבים נאבקים כאשר משתנים משולבים עם אי שוויון. אם אתה זקוק לרענון מהיר אך מעמיק בנושא אי שוויון, עיין במדריך אי השוויון שלנו.
השאלות האלה מופיעים בדרך כלל לקראת הסוף של אפשרויות הבחירה והרשת בכל חלק. שאלות אלו יוצגו כפשוטות שכבר נוצרו באי-שוויון (לא תתבקשו ליצור אי-שוויון וגם לא יוצגו בפניכם תרחיש של עולם אמיתי באמצעות אי-שוויון). למרות שהן מוצגות בצורה פשוטה, השאלות הללו מאתגרות, וקל לטעות, אז קח את הזמן שלך!
מחשבון בעיות תרגול
הסבר תשובה:
הפחתת x$ והוספת 3 לשני הצדדים של x−5≥4x−3$ נותן $−2≥x$. לכן, x הוא פתרון ל-x−5≥4x−3$ אם ורק אם x קטן או שווה ל–2 ו-x אינו פתרון לx−5≥4x−3$ אם ורק אם x גדול מ-2. מבין האפשרויות שניתנו, רק −1 גדול מ-2, ולכן, אינו יכול להיות ערך של x. א' היא התשובה הנכונה.
אתה יכול גם לנסות לענות על זה על ידי חיבור אפשרויות התשובה ולראות איזו מהן לא עבדה. אם תחבר את A לאי-שוויון, תקבל (-1)-5≥4(-1)–3$. אם מפשטים את אי השוויון, תקבל -8≥-7, וזה לא נכון, אז A היא התשובה הנכונה.
ב-java regex
עֵצָה
זכרו את כללי אי השוויון! קח את הזמן שלך לעבוד על כל שלב כדי שלא תעשה טעויות. כמו כן, זכור לנסות לחבר את אפשרויות התשובה כדי למצוא את התשובה הנכונה!
בואו נסתכל על דוגמה נוספת.
הסבר תשובה:
מכיוון ש(0, 0) הוא פתרון למערכת האי-שוויון, החלפת 0 ב-x ו-0 ב-y במערכת הנתונה חייבת לגרום לשני אי-שוויון אמיתיים. לאחר החלפה זו, י<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>ב. לפיכך, a הוא חיובי, ו-b הוא שלילי. לכן, א > ב. בחירה א' נכונה.
עֵצָה:
התייחסו למערכת אי-שוויון זו עם ארבעה משתנים כפי שהייתם מתייחסים למערכת של אי-שוויון עם שני משתנים. זכור שאם (0,0) הוא פתרון זה אומר שכאשר x=0, y=0.
4 אסטרטגיות מפתח ללב האלגברה
שילבתי את האסטרטגיות לתקוף שאלות אלו לאורך המאמר הזה בקטעי 'טיפ', אבל אסכם אותן כאן כעת.
אסטרטגיה מס' 1: שנן את הכללים והנוסחה
אתה צריך לדעת את כללי האי-שוויון, את כללי הערך המוחלט ואת הנוסחה עבור גרסת היירוט-שיפוע של קו ($y=mx+b$) כדי לענות בצורה נכונה על סוגי שאלות אלגברה. ללא הכללים והנוסחה, השאלות הללו כמעט בלתי אפשריות.
אם אתה זקוק לסיוע נוסף עם אחד מהמושגים, עיין במדריכים המעמיקים שלנו למשוואות ליניאריות, מערכות משוואות, ערך מוחלט, צורת יירוט-שיפוע ואי-שוויון ליניארי ומערכות אי-שוויון.
אסטרטגיה מס' 2: חיבור תשובות
בשאלות מרובות הברירה, כדאי בדוק תמיד אם אתה יכול לחבר את אפשרויות התשובות למשוואות הנתונות או לאי השוויון כדי למצוא את התשובה הנכונה . לפעמים גישה זו תהיה הרבה יותר פשוטה מאשר לנסות לפתור את המשוואה.
גם אם אתה מגלה שחיבור תשובות מאט אותך, אתה צריך, לפחות, לשקול להשתמש בו כדי לבדוק את העבודה שלך. חבר את בחירת התשובה שמצאת ובדוק אם היא מביאה למשוואה מאוזנת או לאי שוויון נכונים. אם כן, אתה יודע שיש לך את התשובה הנכונה!
חבר את זה! חבר את זה!
אסטרטגיה מס' 3: חיבור מספרים
אם חיבור תשובות אינו אפשרי, חיבור מספרים הוא לעתים קרובות אפשרות כמו בשאלה 2 למעלה. כאשר אתה בוחר מספרים לחיבור, באופן כללי, אני לא ממליץ להשתמש ב-1, 0 או 1 (כיוון שהם יכולים לגרום לתשובות שגויות), והקפד לקרוא את השאלה כדי לראות אילו מספרים עליך לבחור. לדוגמה, בשאלה 2, המספרים ייצגו את מספר הודעות הטקסט שנשלחו, לכן אין להשתמש במספר שלילי כדי לייצג את מספר הודעות הטקסט מכיוון שאי אפשר לשלוח מספר שלילי של הודעות טקסט.
לגבי אי שוויון זה חשוב במיוחד, לעתים קרובות השאלה תאמר 'הדבר הבא נכון עבור כל $x>0$.' אם זה המקרה, אתה לא יכול לחבר 0 או -5; אתה יכול לחבר רק מספרים גדולים מ-0 מכיוון שזה הפרמטר שנקבע על ידי השאלה.
אסטרטגיה מס' 4: עבודה צעד אחד בכל פעם
לשאלות הלב של האלגברה, אתה צריך לקחת את הזמן שלך לעבוד על כל שלב. שאלות אלו יכולות לכלול 5, 10, 15 שלבים, ואתה צריך לקחת את הזמן כדי לוודא שאתה לא עושה טעות קטנה בשלב 3 שתגרום לתשובה לא נכונה. אתה יודע את הדברים שלך, אז אל תיתן לטעויות קטנות לעלות לך בנקודות!
מה הלאה?
עכשיו כשאתה יודע למה לצפות בשאלות הלב של האלגברה, ודא שאתה מוכן כל שאר נושאי המתמטיקה תראה ב-SAT. כל מדריכי המתמטיקה שלנו יעבירו אותך דרך אסטרטגיות ובעיות תרגול עבור כל הנושאים המכוסים בסעיף המתמטיקה, ממספרים שלמים ועד יחסים, עיגולים ועד מצולעים (ועוד!).
מרגישים חרדה לקראת יום המבחן? ודא שאתה יודע בדיוק מה לעשות והביא כדי להקל על דעתך ולהרגיע את העצבים שלך לפני שהגיע הזמן לקחת את ה-SAT שלך.
נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? אל תסתכל רחוק יותר מהמדריך שלנו שיעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את ציון ה-SAT שלך במתמטיקה.
דייגים כדי לקבל ציון מושלם? בדוק שלנו מדריך להשגת 800 מושלם , נכתב על ידי קלע מושלם.