חריף, קהה, שווה שוקיים, שווי צלעות... כשזה מגיע למשולשים, ישנם סוגים רבים ושונים, אך רק מעטים לבחירה שהם 'מיוחדים'. למשולשים המיוחדים הללו יש צלעות וזוויות שהן עקביות וניתנות לחיזוי וניתן להשתמש בהן כדי לקצר את דרכך בבעיות הגיאומטריה או הטריגונומטריה שלך. ומשולש 30-60-90 - מבוטא 'שלושים שישים תשעים' - במקרה הוא סוג מאוד מיוחד של משולש.

במדריך זה, נדריך אותך מה זה משולש 30-60-90, מדוע הוא עובד ומתי (ואיך) להשתמש בידע שלך עליו. אז בואו ניגש לזה!

מהו משולש 30-60-90?

משולש 30-60-90 הוא משולש ישר זווית מיוחד (משולש ישר זווית הוא כל משולש המכיל זווית של 90 מעלות) שתמיד יש לו זוויות מעלות של 30 מעלות, 60 מעלות ו-90 מעלות. מכיוון שהוא משולש מיוחד, יש לו גם ערכי אורך צלעות שנמצאים תמיד בקשר עקבי זה עם זה.

יחס המשולש הבסיסי 30-60-90 הוא:

צד מול זווית 30°: $x$

צד מול זווית 60°: $x * √3$

צד מול זווית 90°: x$

לדוגמה, משולש 30-60-90 מעלות יכול להיות בעל אורכי צלעות של:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

תפריט הגדרות טלפון אנדרואיד

(מדוע הרגל הארוכה היא 3? במשולש זה, הרגל הקצרה ביותר ($x$) היא $√3$, אז עבור הרגל הארוכה יותר, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. ו התחתון הוא פי 2 מהרגל הקצרה ביותר, או √3$)

וכולי.

הצלע שממול לזווית 30° היא תמיד הקטנה ביותר , כי 30 מעלות היא הזווית הקטנה ביותר. הצלע שממול לזווית 60 מעלות תהיה האורך האמצעי , כי 60 מעלות היא זווית המעלה הבינונית במשולש זה. ולבסוף, הצלע המנוגדת לזווית 90° תמיד תהיה הצלע הגדולה ביותר (התחתון) כי 90 מעלות היא הזווית הגדולה ביותר.

למרות שהוא עשוי להיראות דומה לסוגים אחרים של משולשים ישרים זוויות, הסיבה לכך שמשולש 30-60-90 הוא כל כך מיוחד היא שאתה צריך רק שלוש פיסות מידע כדי למצוא כל מדידה אחרת. כל עוד אתה יודע את הערך של שתי מדדי זווית ואורך צד אחד (לא משנה באיזו צד), אתה יודע כל מה שאתה צריך לדעת על המשולש שלך.

לדוגמה, נוכל להשתמש בנוסחת המשולש 30-60-90 כדי למלא את כל שאר החסר במידע של המשולשים למטה.

דוגמה 1

אנו יכולים לראות שזהו משולש ישר זווית שבו התחתון הוא פי שניים מאורך אחת הרגליים. זה אומר שזה חייב להיות משולש 30-60-90 והצלע הנתונה הקטנה יותר נמצאת מול 30°.

הרגל הארוכה יותר חייבת, אם כן, להיות מול זווית 60° ולמדוד * √3$, או √3$.

דוגמה 2

abc עם מספרים

אנחנו יכולים לראות שזה חייב להיות משולש 30-60-90 כי אנחנו יכולים לראות שזהו משולש ישר זווית עם מדידה אחת נתונה, 30°. הזווית הלא מסומנת חייבת להיות 60°.

מכיוון ש-18 היא המידה מול זווית 60°, היא חייבת להיות שווה ל$x√3$. הרגל הקצרה ביותר חייבת אז למדוד /√3$.

(שימו לב שאורך הרגל יהיה למעשה /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ מכיוון שמכנה לא יכול להכיל שורש רדיקלי/מרובע).

והתחתון יהיה (18/√3)$

(שים לב, שוב, אתה לא יכול לקבל רדיקל במכנה, אז התשובה הסופית תהיה באמת פי 2 מאורך הרגל של √3$ => √3$).

דוגמה 3

שוב, ניתנות לנו שתי מדידות זווית (90° ו-60°), אז המידה השלישית תהיה 30°. מכיוון שזהו משולש 30-60-90 והתחתון הוא 30, הרגל הקצרה ביותר תהיה שווה ל-15 והרגל הארוכה יותר תהיה שווה ל-15√3.

אין צורך להתייעץ עם כדור שמונה הקסם - הכללים האלה תמיד עובדים.

למה זה עובד: הוכחת משפט משולש 30-60-90

אבל למה המשולש המיוחד הזה עובד כמו שהוא עובד? איך אנחנו יודעים שהכללים האלה חוקיים? בואו נעבור על איך בדיוק עובד משפט המשולש 30-60-90 ונוכיח מדוע אורכי הצלעות הללו תמיד יהיו עקביים.

ראשית, בואו נשכח לשנייה משולשים ישרים ונסתכל על משולש שווה צלעות.

משולש שווה צלעות הוא משולש שכל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות. מכיוון שהזוויות הפנימיות של משולש תמיד מסתכמות ב-180° ו-0/3 = 60$, למשולש שווה צלעות תמיד יהיו שלוש זוויות של 60°.

כעת נרד גובה מהזווית העליונה לבסיס המשולש.

יש לנו עכשיו יצר שתי זוויות ישרות ושני משולשים חופפים (שווים).

איך נדע שהם משולשים שווים? כי ירדנו גובה מא שְׁוֵה צְלָעוֹת משולש, חילקנו את הבסיס בדיוק לשניים. המשולשים החדשים חולקים גם אורך צד אחד (הגובה), ולכל אחד מהם יש אותו אורך תחתית. מכיוון שהם חולקים שלושה אורכי צד משותפים (SSS), זה אומר המשולשים חופפים.

הערה: לא רק שני המשולשים חופפים על בסיס העקרונות של אורכי צד-צד-צד, או SSS, אלא גם מבוססים על מדדי צד-זווית-צד (SAS), זווית-זווית-צד (AAS) וזווית- זווית צד (ASA). בעיקרון? הם בהחלט מתאימים.

כעת, לאחר שהוכחנו את ההתאמה של שני המשולשים החדשים, אנו יכולים לראות שהזוויות העליונות חייבות להיות כל אחת שווה ל-30 מעלות (מכיוון שלכל משולש יש כבר זוויות של 90° ו-60° וחייבות להסתכם ב-180°). זה אומר יצרנו שני משולשים 30-60-90.

ומכיוון שאנו יודעים שאנו חותכים את בסיס המשולש שווה הצלעות לשניים, אנו יכולים לראות שהצלע המנוגדת לזווית 30° (הצלע הקצרה ביותר) של כל אחד מהמשולשים 30-60-90 שלנו היא בדיוק מחצית מאורך התחתון. .

אז הבה נקרא לאורך הצלע המקורי שלנו $x$ ולאורך החצוי שלנו $x/2$.

כעת כל מה שנותר לנו לעשות הוא למצוא את אורך הצלע האמצעית שלנו שחולקים שני המשולשים. לשם כך, אנו יכולים פשוט להשתמש במשפט פיתגורס.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

חסרונות לגבי האינטרנט

$b = {√3x}/2$

אז נשארנו עם: $x/2, {x√3}/2, x$

עכשיו בואו נכפיל כל מידה ב-2, רק כדי להקל על החיים ולהימנע מכל השברים. כך, נשאר לנו:

$x$, $x√3$, x$

אנו יכולים לראות, אם כן, שמשולש 30-60-90 יעשה זאת תמיד יש אורכי צד עקביים של $x$, $x√3$ ו-x$ (או $x/2$, ${√3x}/2$ ו-$x$).

למזלנו, אנו יכולים להוכיח שכללי משולש 30-60-90 נכונים ללא כל...זה.

מתי להשתמש בכללי משולש 30-60-90

הכרת חוקי המשולש 30-60-90 תוכל לחסוך לך זמן ואנרגיה על מספר רב של בעיות מתמטיות שונות, כלומר מגוון רחב של בעיות גיאומטריה וטריגונומטריה.

עיצוב תאריך למחרוזת

גֵאוֹמֶטרִיָה

הבנה נכונה של משולשי 30-60-90 תאפשר לך לפתור שאלות גיאומטריה שאי אפשר יהיה לפתור בלי להכיר את כללי היחס הללו, או לכל הפחות, ייקח זמן ומאמץ לא מבוטל כדי לפתור את 'הדרך הארוכה'.

עם יחסי המשולש המיוחדים, אתה יכול להבין גבהים חסרים של משולשים או אורכי רגליים (מבלי צורך להשתמש במשפט פיתגורס), למצוא את השטח של משולש באמצעות מידע חסר גובה או אורך בסיס, ולחשב היקפים במהירות.

בכל פעם שאתה צריך מהירות כדי לענות על שאלה, זכירת קיצורי דרך כמו כללי ה-30-60-90 שלך תהיה שימושית.

טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה

שינון והבנת יחס המשולש 30-60-90 יאפשרו לך גם לפתור בעיות טריגונומטריה רבות ללא צורך במחשבון או צורך לקירוב את התשובות שלך בצורה עשרונית.

למשולש 30-60-90 יש סינוסים, קוסינוסים וטנג'ים פשוטים למדי לכל זווית (והמידות הללו תמיד יהיו עקביות).

סינוס של 30° תמיד יהיה /2$.

קוסינוס של 60° תמיד יהיה /2$.

למרות ששאר הסינוסים, הקוסינוסים והטנג'נסים פשוטים למדי, אלו הם השניים שהכי קל לשנן אותם וסביר להניח שהם יופיעו במבחנים. אז ידיעת הכללים האלה תאפשר לך למצוא את מדידות הטריגונומטריה האלה במהירות האפשרית.

טיפים לזכור את כללי 30-60-90

אתה יודע שכללי היחס של 30-60-90 הם שימושיים, אבל איך שומרים את המידע בראש? לזכור את כללי המשולש 30-60-90 זה עניין של לזכור את היחס של 1: √3 : 2, ולדעת שאורך הצלע הקצר ביותר הוא תמיד מול הזווית הקצרה ביותר (30°) ואורך הצלע הארוך ביותר הוא תמיד מול הזווית הגדולה ביותר (90 מעלות).

יש אנשים שמשננים את היחס על ידי חשיבה, ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, מכיוון שבדרך כלל קל לזכור את הרצף '1, 2, 3'. אמצעי הזהירות היחיד בשימוש בטכניקה זו הוא לזכור שהצד הארוך ביותר הוא למעשה ה-x$, לֹא את $x$ כפול $√3$.

דרך נוספת לזכור את היחסים שלך היא ל השתמש במשחקי מילים זכרוני ביחס 1: שורש 3: 2 בסדר הנכון שלהם. לדוגמה, 'ג'קי מיטשל הרחיקה את לו גריג ו'ניצחה גם את רותי'': אחת, שורש שלוש, שתיים. (וזה עובדה אמיתית בהיסטוריה של בייסבול!)

שחקו עם מכשירי הזיכרון שלכם אם אלה לא מושכים אתכם - שירו ​​את היחס לשיר, מצאו ביטויים משלכם 'אחד, שורש שלוש, שניים', או העלו שיר יחס. אתה אפילו יכול פשוט לזכור שמשולש 30-60-90 הוא חצי שווה צלעות ולהבין את המידות משם אם אתה לא אוהב לשנן אותן.

עם זאת, הגיוני לך לזכור את כללי ה-30-60-90 האלה, שמור על היחסים האלה לשאלות העתידיות שלך בנושא גיאומטריה וטריגונומטריה.

שינון הוא החבר שלך, אבל אתה יכול לגרום לזה לקרות.

דוגמה 30-60-90 שאלות

כעת, לאחר שבדקנו את האיך והסיבות של 30-60-90 משולשים, בואו נעבור על כמה בעיות תרגול.

גֵאוֹמֶטרִיָה

פועל בניין משעין סולם בגובה 40 רגל אל דופן הבניין בזווית של 30 מעלות מהקרקע. הקרקע מישורית וצד המבנה מאונך לקרקע. עד כמה הסולם מגיע עד הבניין עד לרגל הקרובה?

מבלי להכיר את כללי המשולש המיוחדים שלנו 30-60-90, נצטרך להשתמש בטריגונומטריה ובמחשבון כדי למצוא את הפתרון לבעיה זו, מכיוון שיש לנו רק מדידת צד אחת של משולש. אבל בגלל שאנחנו יודעים שזה א מיוחד משולש, נוכל למצוא את התשובה תוך שניות.

אם הבניין והקרקע מאונכים זה לזה, פירוש הדבר שהבניין והקרקע יוצרים זווית ישרה (90°). זה גם מובן מאליו שהסולם פוגש את הקרקע בזווית של 30 מעלות. לכן אנו יכולים לראות שהזווית הנותרת חייבת להיות 60°, מה שהופך את זה למשולש 30-60-90.

נגזרות חלקיות בלטקס

כעת אנו יודעים שה-hypotenuse (הצד הארוך ביותר) של 30-60-90 זה הוא 40 רגל, מה שאומר שהצד הקצר ביותר יהיה חצי מהאורך הזה. (זכור שהצד הארוך ביותר הוא תמיד פעמיים - x$ - ארוך מהצד הקצר ביותר.) מכיוון שהצד הקצר ביותר הוא מול זווית 30°, והזווית הזו היא מידת המעלות של הסולם מהקרקע, זה אומר ש החלק העליון של הסולם פוגע בבניין במרחק של 20 רגל מהקרקע.

התשובה הסופית שלנו היא 20 רגל.

טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה

אם, במשולש ישר זווית, sin Θ = /2$ ואורך הרגל הקצר ביותר הוא 8. מה אורך הצלע החסרה שאינה התחתון?

מכיוון שאתה מכיר את חוקי ה-30-60-90 שלך, אתה יכול לפתור בעיה זו ללא צורך במשפט פיתגורס או במחשבון.

אמרו לנו שזה משולש ישר זווית, ואנו יודעים מכללי המשולש הישר זווית המיוחדים שלנו שסינוס 30° = /2$. הזווית החסרה חייבת להיות 60 מעלות, מה שהופך את זה למשולש של 30-60-90.

ומכיוון שזהו משולש 30-60-90, ונאמר לנו שהצלע הקצרה ביותר היא 8, התחתון חייב להיות 16 והצלע החסרה חייבת להיות * √3$, או √3$.

התשובה הסופית שלנו היא 8√3.

הטייק אווי

זוכר את כללים למשולשים 30-60-90 יעזרו לך לקצר את דרכך במגוון בעיות מתמטיקה . אבל זכור שלמרות שהכרת הכללים האלה היא כלי שימושי לשמירה בחגורה, אתה עדיין יכול לפתור את רוב הבעיות בלעדיהם.

עקוב אחר הכללים של $x$, $x√3$, x$ ו-30-60-90 בכל דרך שנראית לך הגיונית ונסה לשמור אותם ישרים אם אתה יכול, אבל אל תיבהל אם דעתך ריק כשמגיע זמן הקראנץ'. כך או כך, יש לך את זה.

ואם אתה צריך עוד תרגול, קדימה בדוק את זה חידון משולשים 30-60-90 . ביצוע מבחן שמח!