אם אתה לומד טריג או חשבון - או מתכונן לכך - תצטרך להכיר את מעגל היחידה. מעגל היחידה הוא כלי חיוני המשמש לפתרון הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית. אבל איך זה עובד? ואיזה מידע אתה צריך לדעת כדי להשתמש בו?

במאמר זה נסביר מהו מעגל היחידה ולמה כדאי לדעת אותו. אנו גם נותנים לך שלושה טיפים שיעזרו לך לזכור כיצד להשתמש במעגל היחידה.

תמונה תכונה: גוסטב /ויקימדיה

מעגל היחידות: מבוא בסיסי

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס 1. משמעות הדבר היא שלכל קו ישר המצויר מנקודת מרכז המעגל לכל נקודה לאורך קצה המעגל, אורך הקו הזה תמיד יהיה שווה ל-1. (זה אומר גם שקוטר המעגל יהיה שווה ל-2, שכן הקוטר שווה פי שניים מאורך הרדיוס.)

בדרך כלל, נקודת המרכז של מעגל היחידה היא המקום שבו ציר x וציר y מצטלבים, או בקואורדינטות (0, 0):

מעגל היחידה, או מעגל הטריג כפי שהוא ידוע גם, שימושי לדעת כי זה מאפשר לנו לחשב בקלות את הקוסינוס, הסינוס והטנגנס של כל זווית בין 0° ל-360° (או 0 ו-2π רדיאנים).

כפי שניתן לראות בתרשים לעיל, על ידי ציור רדיוס בכל זווית (מסומן על ידי ∝ בתמונה), תיצור משולש ישר זווית. במשולש זה, הקוסינוס הוא הקו האופקי, והסינוס הוא הקו האנכי. במילים אחרות, קוסינוס =קואורדינטת x, ו סינוס = קואורדינטת y. (הקו הארוך ביותר של המשולש, או תחתית, הוא הרדיוס ולכן שווה 1.)

למה כל זה חשוב? זכור שאתה יכול לפתור את אורכי הצלעות של משולש באמצעות ה משפט פיתגורס, או $a^2+b^2=c^2$ (בהם א ו ב הם אורכי צלעות המשולש, ו ג הוא אורך התחתון).

אנו יודעים שהקוסינוס של זווית שווה לאורכו של הקו האופקי, הסינוס שווה לאורכו של הישר האנכי, והתחתון שווה ל-1. לכן, אנו יכולים לומר ש הנוסחה עבור כל משולש ישר זווית במעגל היחידה היא כדלקמן:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

מכיוון ש^2=1$, אנו יכולים לפשט את המשוואה הזו כך:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

תהיה מודע ש ערכים אלו יכולים להיות שליליים בהתאם לזווית שנוצרה ובאיזה רביע נופלות קואורדינטות ה-x וה-y (אני אסביר זאת בפירוט רב יותר מאוחר יותר).

להלן סקירה כללית של כל הזוויות העיקריות במעלות וברדיאנים במעגל היחידה:

מעגל יחידה - מעלות

מעגל יחידה - רדיאנים

אבל מה אם לא נוצר משולש? בוא נסתכל על מה קורה כאשר הזווית היא 0°, יוצר קו ישר אופקי לאורך ציר ה-x:

על הקו הזה, קואורדינטת ה-x שווה ל-1 וקואורדינטת ה-y שווה ל-0. אנחנו יודעים ש הקוסינוס שווה לקואורדינטת x, והסינוס שווה לקואורדינטת y, כדי שנוכל לכתוב את זה:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

מה אם הזווית היא 90° ועושה קו אנכי מושלם לאורך ציר ה-y?

כאן, אנו יכולים לראות שקואורדינטת ה-x שווה ל-0 וקואורדינטת ה-y שווה ל-1. זה נותן לנו את הערכים הבאים עבור סינוס וקוסינוס:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

הסלוגן הזה בהחלט חל אם אתה לא חובב מתמטיקה.

למה כדאי להכיר את מעגל היחידה

כאמור לעיל, מעגל היחידה מועיל מכיוון זה מאפשר לנו לפתור בקלות את הסינוס, הקוסינוס או הטנגנס של כל מעלה או רדיאן. זה שימושי במיוחד להכיר את תרשים מעגלי היחידה אם אתה צריך לפתור ערכי טריג מסוימים עבור שיעורי בית במתמטיקה או אם אתה מתכונן ללמוד חשבון.

אבל איך בדיוק הכרת מעגל היחידה יכולה לעזור לך? נניח שקיבלת את הבעיה הבאה במבחן במתמטיקה - ואתה לֹא מותר להשתמש במחשבון כדי לפתור את זה:

$$sin30°$$

מאיפה מתחילים? בואו נסתכל שוב על תרשים מעגל היחידה - הפעם עם כל הזוויות העיקריות (במעלות וברדיאנים) והקואורדינטות המתאימות להן:

ג'ים.בלק /ויקימדיה

אל תהיי המומה! זכור, כל מה שאתה פותר הוא $sin30°$. על ידי התבוננות בתרשים זה, אנו יכולים לראות זאת קואורדינטת ה-y שווה ל-/2$ ב-30°. ומכיוון שקואורדינטת ה-y שווה לסינוס, התשובה שלנו היא כדלקמן:

$$sin30°=1/2$$

אבל מה אם אתה מקבל בעיה שמשתמשת ברדיאנים במקום מעלות? התהליך לפתרון זה עדיין זהה. נניח, למשל, אתה מקבל בעיה שנראית כך:

$$cos{{3π}/4}$$

שוב, באמצעות התרשים שלמעלה, אנו יכולים לראות שקואורדינטת ה-x (או הקוסינוס) עבור ${3π}/4$ (ששווה ל-135°) היא $-{√2}/2$. כך תיראה התשובה שלנו לבעיה זו אז:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

כל זה די קל אם יש לך את תרשים מעגל היחידה שלמעלה לשימוש כהפניה. אבל ברוב המקרים (אם לא בכל) זה לא יהיה המקרה, ותצפי ממך לענות על שאלות מתמטיקה מסוג זה באמצעות המוח שלך בלבד.

אז איך אפשר לזכור את מעגל היחידה? המשך לקרוא לקבלת הטיפים המובילים שלנו!

כיצד לזכור את מעגל היחידה: 3 טיפים חיוניים

בסעיף זה, אנו נותנים לך את הטיפים המובילים שלנו לזכור את מעגל ההדק, כך שתוכל להשתמש בו בקלות עבור כל בעיה מתמטית הדורשת זאת.

לא הייתי ממליץ לתרגל את מעגל היחידה עם פוסט-IT, אבל, היי, זו התחלה.

#1: שנן זוויות וקואורדינטות נפוצות

כדי להשתמש במעגל היחידה ביעילות, תצטרך שנן את הזוויות הנפוצות ביותר (במעלות וברדיאנים) וכן את קואורדינטות ה-x וה-y המתאימות שלהן.

התרשים שלמעלה הוא תרשים עיגול יחידה מועיל להסתכל עליו, מכיוון שהוא כולל את כל הזוויות העיקריות הן במעלות והן ברדיאנים, בנוסף לנקודות הקואורדינטות המתאימות שלהן לאורך צירי x ו-y.

להלן תרשים המפרט את אותו מידע בצורת טבלה:

דפי שרת java

עכשיו, בזמן שאתה יותר ממוזמן לנסות לשנן את כל הקואורדינטות והזוויות האלה, זהו הרבה של דברים לזכור.

למרבה המזל, יש טריק שאתה יכול להשתמש בו כדי לעזור לך לזכור את החלקים החשובים ביותר של מעגל היחידה.

תסתכל על הקואורדינטות שלמעלה ותבחין בדפוס ברור: כל הנקודות (למעט אלה ב-0°, 90°, 270° ו-360°) החלף בין שלושה ערכים בלבד (בין אם חיובי או שלילי):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

כל ערך מתאים ל קו קצר, בינוני או ארוך גם לקוסינוס וגם לסינוס:

הנה המשמעות של אורכים אלה:

קו אופקי או אנכי קצר= /2$ קו אופקי או אנכי בינוני= ${√2}/2$ קו אופקי או אנכי ארוך= ${√3}/2$

לדוגמה, אם אתה מנסה לפתור $cos{π/3}$, עליך לדעת מיד שהזווית הזו (ששווה ל-60°) מציינת קו אופקי קצר על מעגל היחידה. לָכֵן, קואורדינטת ה-x המתאימה שלה חייבת להיות שווה ל-/2$ (ערך חיובי, שכן $π/3$ יוצר נקודה ברביע הראשון של מערכת הקואורדינטות).

לבסוף, למרות שמועיל לשנן את כל הזוויות בטבלה למעלה, שים לב לכך ללא ספק הזוויות החשובות ביותר שיש לזכור הן הבאות:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

התייחסו לשליליות ולחיוביות שלכם כפי שהייתם מתייחסים לכבלים שעלולים להרוג אתכם אם מתחברים בצורה לא נכונה.

מס' 2: למד מה שלילי ומה חיובי

זה קריטי להיות מסוגל להבחין בין קואורדינטות x ו-y חיוביות ושליליות כדי שתמצא את הערך הנכון לבעיית טריג. כתזכורת, ב האם קואורדינטה במעגל היחידה תהיה חיובית או שלילית תלויה לאיזה רבע (I, II, III, או IV) הנקודה נופלת:

להלן תרשים שמראה אם ​​קואורדינטה תהיה חיובית או שלילית על סמך הרביע שבו נמצא זווית מסוימת (במעלות או ברדיאנים):

לדוגמה, נניח שקיבלת את הבעיה הבאה במבחן במתמטיקה:

$$cos210°$$

עוד לפני שאתה מנסה לפתור את זה, אתה אמור להיות מסוגל לזהות שהתשובה תהיה מספר שלילי מכיוון שהזווית 210° נופלת ברביע III (כאשר הם קואורדינטות x תמיד שלילי).

כעת, בעזרת הטריק שלמדנו בטיפ 1, תוכלו להבין שזווית של 210° יוצרת קו אופקי ארוך. לכן, התשובה שלנו היא כדלקמן:

$$cos210°=-{√3}/2$$

מס' 3: דעו כיצד לפתור את הטנג'נט

לבסוף, חיוני לדעת איך להשתמש בכל המידע הזה על מעגל ההדק והסינוס והקוסינוס כדי להיות מסוגלים לפתור את הטנגנס של זווית.

בטריג, כדי למצוא את הטנגנס של זווית θ (במעלות או ברדיאנים), אתה פשוט מחלקים את הסינוס בקוסינוס:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

לדוגמה, נניח שאתה מנסה לענות על הבעיה הזו:

$$ an300°$$

הצעד הראשון הוא להגדיר משוואה במונחים של סינוס וקוסינוס:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

כעת, כדי לפתור את הטנגנס, עלינו למצוא את הסינוס ו קוסינוס של 300°. אתה אמור להיות מסוגל לזהות במהירות שהזווית של 300° נופלת ברביע הרביעי, כלומר הקוסינוס, או קואורדינטת ה-x, תהיה חיובית, והסינוס, או קואורדינטת ה-y, תהיה שלילית.

אתה גם צריך לדעת את זה מיד הזווית 300° יוצרת קו אופקי קצר וקו אנכי ארוך. לכן, הקוסינוס (הקו האופקי) יהיה שווה ל-/2$, והסינוס (הקו האנכי) יהיה שווה ל-$-{√3}/2$ (ערך y שלילי, מכיוון שנקודה זו נמצאת ברבע IV) .

כעת, כדי למצוא את המשיק, כל מה שאתה עושה הוא לחבר ולפתור:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

הגיע הזמן לגרור את כישורי המתמטיקה שלך!

סט שאלות לתרגול מעגל יחידה

עכשיו כשאתה יודע איך נראה מעגל היחידה וכיצד להשתמש בו, בואו נבדוק את מה שלמדת עם כמה בעיות תרגול.

שאלות

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

תשובות

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

תשובה הסברים

#1: $sin45°$

עם בעיה זו, ישנן שתי פיסות מידע שאתה אמור להיות מסוגל לזהות מיד:

התשובה תהיה חיובית,מכיוון שהזווית 45° נמצאת ברבע I, והסינוס של זווית שווה לקואורדינטת ה-y

• הזווית 45° יוצרת קו אנכי באורך בינוני (בשבילם)

מכיוון ש-45° מציין קו חיובי באורך בינוני, התשובה הנכונה היא ${√2}/2$.

אם אינך בטוח כיצד להבין זאת, צייר תרשים שיעזור לך לקבוע אם אורך הקו יהיה קצר, בינוני או ארוך.

#2: $cos240°$

כמו בעיה מס' 1 לעיל, ישנן שתי פיסות מידע שאתה אמור להיות מסוגל לתפוס במהירות עם הבעיה הזו:

התשובה תהיה שלילית,מכיוון שהזווית 240° נמצאת ברביע III, והקוסינוס של זווית שווה לקואורדינטת ה-x

• הזווית 240° יוצרת קו אופקי קצר (לקוסינוס)

מכיוון ש-240 מעלות מציינת קו שלילי וקצר, התשובה הנכונה היא $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

בניגוד לבעיות לעיל, בעיה זו משתמשת רדיאנים במקום מעלות. למרות שזה עשוי לגרום לבעיה להיראות מסובכת יותר לפתרון, במציאות היא משתמשת באותם שלבים בסיסיים כמו שתי הבעיות האחרות.

ראשית, עליך להכיר בכך שהזווית ${5π}/3$ נמצאת ברביע IV, כך שקואורדינטת ה-x, או הקוסינוס, תהיה מספר חיובי. אתה גם אמור לדעת את זה${5π}/3$יוצר קו אופקי קצר.

זה נותן לך מספיק מידע כדי לקבוע זאת ה תשובה היא /2$.

#4: $ an{2π}/3$

בעיה זו עוסקת בטנג'נס במקום בסינוס או בקוסינוס, מה שאומר שהיא תדרוש קצת יותר מתמטיקה מצדנו. ראשית, נזכיר הנוסחה הבסיסית למציאת משיק:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

עכשיו, בואו ניקח את התואר שקיבלנו - ${2π}/3$- ותחבר אותו למשוואה הזו:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

כעת אתה אמור להיות מסוגל לפתור את הסינוס והקוסינוס בנפרד באמצעות מה ששיננת על מעגל היחידה. מכיוון שהזווית ${2π}/3$ נמצאת ברביע II, קואורדינטת ה-x (או הקוסינוס) תהיה שלילית, וקואורדינטת ה-y (או הסינוס) תהיה חיובית.

לאחר מכן, אתה אמור להיות מסוגל לקבוע על סמך הזווית בלבד שהקו האופקי הוא שורה קצרה, והקו האנכי הוא תור ארוך. המשמעות היא שהקוסינוס שווה ל-$-1/2$, והסינוס שווה ל-${√3}/2$.

כעת, לאחר שהבנו את הערכים הללו, כל שעלינו לעשות הוא לחבר אותם למשוואה הראשונית שלנו ולפתור את המשיק:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

מה הלאה?

אם אתה לוקח את ה-SAT או ה-ACT בקרוב, תצטרך לדעת כמה טריגים כדי שתוכל להצליח בקטע המתמטיקה. עיין במדריכים המומחים שלנו כדי להפעיל את ה-SAT וה-ACT כדי שתוכל ללמוד בדיוק את מה שתצטרך לדעת ליום המבחן!

מלבד שינון מעגל היחידה, מומלץ ללמוד כיצד לחבר מספרים וכיצד לחבר תשובות . קרא את המדריכים שלנו כדי ללמוד הכל על שתי האסטרטגיות השימושיות הללו, בהן תוכל להשתמש בכל מבחן במתמטיקה - כולל SAT ו-ACT!