רוצה לבחון את עצמך מול השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT? רוצים לדעת מה הופך את השאלות הללו לקשות כל כך ואיך לפתור אותן בצורה הטובה ביותר? אם אתה מוכן באמת לנעוץ את השיניים שלך במדור המתמטיקה של SAT ולכוון את הכוונת שלך לציון המושלם הזה, אז זה המדריך בשבילך.

ריכזנו את מה שאנחנו מאמינים שהוא 15 השאלות הקשות ביותר עבור ה-SAT הנוכחי , עם אסטרטגיות והסברי תשובות לכל אחד. כל אלו הן שאלות קשות במתמטיקה SAT ממבחני תרגול SAT של מועצת המכללה, מה שאומר שהבנתן היא אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד עבור אלה מכם השואפים לשלמות.

תמונה: סוניה סביליה /ויקימדיה

סקירה קצרה של מתמטיקה SAT

החלק השלישי והרביעי של ה-SAT יהיו תמיד חלקים מתמטיים . תת-סעיף המתמטיקה הראשון (מסומן '3') עושה לֹא לאפשר לך להשתמש במחשבון, בעוד שהסעיף השני במתמטיקה (מסומן כ-'4') עושה לאפשר שימוש במחשבון. עם זאת, אל תדאג יותר מדי לגבי הסעיף ללא מחשבון: אם אסור לך להשתמש במחשבון על שאלה, זה אומר שאתה לא צריך מחשבון כדי לענות עליה.

כל תת-סעיף במתמטיקה מסודר לפי סדר קושי עולה (כאשר ככל שלוקח יותר זמן לפתור בעיה וככל שפחות אנשים עונים עליה נכון, כך זה קשה יותר). בכל תת סעיף, שאלה 1 תהיה 'קלה' ושאלה 15 תיחשב 'קשה'. עם זאת, הקושי העולה מתאפס מקל לקשה בכניסות לרשת.

לפיכך, שאלות בחירה מרובה מסודרות בדרגת קושי עולה (שאלות 1 ו-2 יהיו הקלות ביותר, שאלות 14 ו-15 יהיו הקשות ביותר), אך רמת הקושי מתאפסת עבור קטע הרשת (כלומר, שאלות 16 ו-17 יהיו שוב 'קל' ושאלות 19 ו-20 יהיו קשות מאוד).

עם מעט מאוד יוצאי דופן, אם כן, הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה SAT יתקבצו בסוף מקטעי הבחירה המרובה או במחצית השנייה של שאלות הרשת. עם זאת, בנוסף למיקום שלהם במבחן, לשאלות אלה יש גם כמה מאפיינים משותפים אחרים. בעוד דקה, נסתכל על שאלות לדוגמה וכיצד לפתור אותן, ולאחר מכן ננתח אותן כדי להבין מה משותף לסוגי השאלות הללו.

אבל ראשית: האם אתה צריך להתמקד בשאלות המתמטיקה הקשות ביותר עכשיו?

אם אתה רק התחלת בהכנה ללימודים שלך (או אם פשוט דילגת על השלב הראשון והמכריע הזה), בהחלט עצור ועשה מבחן תרגול מלא כדי לאמוד את רמת הניקוד הנוכחית שלך. עיין במדריך שלנו ל כל מבחני התרגול החינמיים של SAT הזמינים באינטרנט ואז לשבת לעשות מבחן בבת אחת.

הדרך הטובה ביותר להעריך את הרמה הנוכחית שלך היא פשוט לגשת למבחן תרגול ה-SAT כאילו הוא אמיתי, תוך הקפדה על תזמון קפדני ולעבוד ישר עם ההפסקות המותרות בלבד (אנחנו יודעים - כנראה לא הדרך המועדפת עליך לבלות שבת). לאחר שיש לך מושג טוב על הרמה הנוכחית ועל דירוג האחוזון שלך, תוכל להגדיר אבני דרך ויעדים עבור הציון האולטימטיבי שלך במתמטיקה SAT.

אם אתה קולע כרגע בטווח של 200-400 או 400-600 במתמטיקה SAT, ההימור הטוב ביותר שלך הוא קודם כל לעיין במדריך שלנו לשיפור הציון שלך במתמטיקה להיות בעקביות על או מעל 600 לפני שתתחיל בניסיון להתמודד עם הבעיות המתמטיות הקשות ביותר במבחן.

עם זאת, אם אתה כבר מקבל ציון מעל 600 בסעיף המתמטיקה וברצונך לבחון את החוזק שלך עבור ה-SAT האמיתי, אז בהחלט המשך לשאר המדריך הזה. אם אתה מכוון למושלם (או קרוב ל) , אז תצטרך לדעת איך נראות השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT וכיצד לפתור אותן. ולמרבה המזל, זה בדיוק מה שנעשה.

אַזהָרָה: מכיוון שיש מספר מוגבל של מבחני תרגול SAT רשמיים , מומלץ להמתין לקריאת מאמר זה עד שניסית את כל ארבעת מבחני התרגול הרשמיים הראשונים או את רובם (שכן רוב השאלות להלן נלקחו מהמבחנים הללו). אם אתה חושש לקלקל את הבדיקות האלה, הפסק לקרוא את המדריך הזה עכשיו; חזור וקרא אותו לאחר שתסיים אותם.

עכשיו בואו נעבור לרשימת השאלות שלנו (וואו)!

תמונה: נייטקס /DeviantArt

15 השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT

עכשיו כשאתה בטוח שאתה צריך לנסות את השאלות האלה, בוא נצלול ישר פנימה! אספנו עבורך 15 מהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT כדי לנסות להלן, יחד עם הנחיות כיצד לקבל את התשובה (אם אתה המום).

אין מחשבון SAT שאלות מתמטיות

שאלה 1

$$C=5/9(F-32)$$

המשוואה למעלה מראה כיצד הטמפרטורה $F$, הנמדדת במעלות פרנהייט, מתייחסת לטמפרטורה $C$, הנמדדת במעלות צלזיוס. בהתבסס על המשוואה, מה מהבאים חייב להיות נכון?

1. עליית טמפרטורה של מעלה אחת פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של /9$ מעלות צלזיוס.
2. עליית טמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה בטמפרטורה של 1.8 מעלות פרנהייט.
3. עליית טמפרטורה של /9$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס.

א) רק אני
ב) II בלבד
ג) ג' בלבד
ד) I ו-II בלבד

הסבר תשובה: חשבו על המשוואה כמשוואה לקו

$$y=mx+b$$

איפה במקרה הזה

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

אוֹ

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

אתה יכול לראות שהשיפוע של הגרף הוא /{9}$, כלומר עבור עלייה של מעלה אחת פרנהייט, העלייה היא /{9}$ של מעלה אחת צלזיוס.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

לכן, משפט אני נכון. זה שווה ערך לאמירה שעלייה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה של /{5}$ מעלות פרנהייט.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

מכיוון ש-/{5}$ = 1.8, הצהרה II נכונה.

התשובה היחידה שנכונה הן במשפט I והן במשפט II היא ד , אבל אם יש לך זמן ואתה רוצה להיות יסודי לחלוטין, אתה יכול גם לבדוק אם משפט III (עלייה של /{9}$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס) נכונה :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (which is ≠ 1)$$

עלייה של /9$ מעלות פרנהייט מובילה לעלייה של /{81}$, לא מעלה אחת, צלזיוס, ולכן משפט III אינו נכון.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 2

המשוואה${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$נכון לכל הערכים של $x≠2/a$, כאשר $a$ הוא קבוע.

מה הערך של $a$?

א) -16
ב) -3
ג) 3
ד) 16

הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו. הדרך המהירה יותר היא להכפיל כל צד של המשוואה הנתונה ב-$ax-2$ (כדי שתוכל להיפטר מהשבר). כאשר אתה מכפיל כל צד ב-$ax-2$, אתה אמור לקבל:

$x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

לאחר מכן עליך להכפיל את $(-8x-3)$ ו-$(ax-2)$ באמצעות FOIL.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

לאחר מכן, הקטינו בצד ימין של המשוואה

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

מכיוון שהמקדמים של האיבר $x^2$ צריכים להיות שווים משני צדי המשוואה, $−8a = 24$, או $a = −3$.

האפשרות האחרת שהיא ארוכה ומייגעת יותר היא לנסות לחבר את כל אפשרויות התשובה עבור a ולראות איזו בחירת תשובה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים. שוב, זו האפשרות הארוכה יותר, ואני לא ממליץ עליה עבור ה-SAT בפועל מכיוון שהיא תבזבז יותר מדי זמן.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 3

אם x-y = 12$, מה הערך של ${8^x}/{2^y}$?

א) ^{12}$
ב) ^4$
ג) ^2$
ד) לא ניתן לקבוע את הערך מהמידע שניתן.

הסבר תשובה: גישה אחת היא לבטא

$${8^x}/{2^y}$$

כך שהמונה והמכנה באים לידי ביטוי באותו בסיס. מכיוון ש-2 ו-8 הן חזקות של 2, החלפה של ^3$ ב-8 במונה ${8^x}/{2^y}$ נותנת

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

שאפשר לכתוב מחדש

מערך הוספת אלמנטים java

$${2^3x}/{2^y}$$

מכיוון שלמונה ולמכנה של יש בסיס משותף, ניתן לשכתב את הביטוי הזה כ-^(3x−y)$. בשאלה כתוב שx − y = 12$, אז אפשר להחליף את המעריך ב-12, x − y$, כלומר

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

התשובה הסופית היא א.

שאלה 4

נקודות A ו-B שוכנות על מעגל עם רדיוס 1, ולקשת ${AB}↖⌢$ יש אורך של $π/3$. איזה שבר מהיקף המעגל הוא אורך הקשת ${AB}↖⌢$?

הסבר תשובה: כדי להבין את התשובה לשאלה זו, תחילה תצטרך לדעת את הנוסחה למציאת היקף מעגל.

ההיקף, $C$, של מעגל הוא $C = 2πr$, כאשר $r$ הוא רדיוס המעגל. עבור המעגל הנתון עם רדיוס 1, ההיקף הוא $C = 2(π)(1)$, או $C = 2π$.

כדי למצוא איזה חלק מההיקף הוא אורך ${AB}↖⌢$, חלקו את אורך הקשת בהיקף, מה שנותן $π/3 ÷ 2π$. חלוקה זו יכולה להיות מיוצגת על ידי $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

ניתן לשכתב את השבר /6$ גם כ-

רוצה לבחון את עצמך מול השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT? רוצים לדעת מה הופך את השאלות הללו לקשות כל כך ואיך לפתור אותן בצורה הטובה ביותר? אם אתה מוכן באמת לנעוץ את השיניים שלך במדור המתמטיקה של SAT ולכוון את הכוונת שלך לציון המושלם הזה, אז זה המדריך בשבילך.

ריכזנו את מה שאנחנו מאמינים שהוא 15 השאלות הקשות ביותר עבור ה-SAT הנוכחי , עם אסטרטגיות והסברי תשובות לכל אחד. כל אלו הן שאלות קשות במתמטיקה SAT ממבחני תרגול SAT של מועצת המכללה, מה שאומר שהבנתן היא אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד עבור אלה מכם השואפים לשלמות.

תמונה: סוניה סביליה /ויקימדיה

סקירה קצרה של מתמטיקה SAT

החלק השלישי והרביעי של ה-SAT יהיו תמיד חלקים מתמטיים . תת-סעיף המתמטיקה הראשון (מסומן '3') עושה לֹא לאפשר לך להשתמש במחשבון, בעוד שהסעיף השני במתמטיקה (מסומן כ-'4') עושה לאפשר שימוש במחשבון. עם זאת, אל תדאג יותר מדי לגבי הסעיף ללא מחשבון: אם אסור לך להשתמש במחשבון על שאלה, זה אומר שאתה לא צריך מחשבון כדי לענות עליה.

כל תת-סעיף במתמטיקה מסודר לפי סדר קושי עולה (כאשר ככל שלוקח יותר זמן לפתור בעיה וככל שפחות אנשים עונים עליה נכון, כך זה קשה יותר). בכל תת סעיף, שאלה 1 תהיה 'קלה' ושאלה 15 תיחשב 'קשה'. עם זאת, הקושי העולה מתאפס מקל לקשה בכניסות לרשת.

לפיכך, שאלות בחירה מרובה מסודרות בדרגת קושי עולה (שאלות 1 ו-2 יהיו הקלות ביותר, שאלות 14 ו-15 יהיו הקשות ביותר), אך רמת הקושי מתאפסת עבור קטע הרשת (כלומר, שאלות 16 ו-17 יהיו שוב 'קל' ושאלות 19 ו-20 יהיו קשות מאוד).

עם מעט מאוד יוצאי דופן, אם כן, הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה SAT יתקבצו בסוף מקטעי הבחירה המרובה או במחצית השנייה של שאלות הרשת. עם זאת, בנוסף למיקום שלהם במבחן, לשאלות אלה יש גם כמה מאפיינים משותפים אחרים. בעוד דקה, נסתכל על שאלות לדוגמה וכיצד לפתור אותן, ולאחר מכן ננתח אותן כדי להבין מה משותף לסוגי השאלות הללו.

אבל ראשית: האם אתה צריך להתמקד בשאלות המתמטיקה הקשות ביותר עכשיו?

אם אתה רק התחלת בהכנה ללימודים שלך (או אם פשוט דילגת על השלב הראשון והמכריע הזה), בהחלט עצור ועשה מבחן תרגול מלא כדי לאמוד את רמת הניקוד הנוכחית שלך. עיין במדריך שלנו ל כל מבחני התרגול החינמיים של SAT הזמינים באינטרנט ואז לשבת לעשות מבחן בבת אחת.

הדרך הטובה ביותר להעריך את הרמה הנוכחית שלך היא פשוט לגשת למבחן תרגול ה-SAT כאילו הוא אמיתי, תוך הקפדה על תזמון קפדני ולעבוד ישר עם ההפסקות המותרות בלבד (אנחנו יודעים - כנראה לא הדרך המועדפת עליך לבלות שבת). לאחר שיש לך מושג טוב על הרמה הנוכחית ועל דירוג האחוזון שלך, תוכל להגדיר אבני דרך ויעדים עבור הציון האולטימטיבי שלך במתמטיקה SAT.

אם אתה קולע כרגע בטווח של 200-400 או 400-600 במתמטיקה SAT, ההימור הטוב ביותר שלך הוא קודם כל לעיין במדריך שלנו לשיפור הציון שלך במתמטיקה להיות בעקביות על או מעל 600 לפני שתתחיל בניסיון להתמודד עם הבעיות המתמטיות הקשות ביותר במבחן.

עם זאת, אם אתה כבר מקבל ציון מעל 600 בסעיף המתמטיקה וברצונך לבחון את החוזק שלך עבור ה-SAT האמיתי, אז בהחלט המשך לשאר המדריך הזה. אם אתה מכוון למושלם (או קרוב ל) , אז תצטרך לדעת איך נראות השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT וכיצד לפתור אותן. ולמרבה המזל, זה בדיוק מה שנעשה.

אַזהָרָה: מכיוון שיש מספר מוגבל של מבחני תרגול SAT רשמיים , מומלץ להמתין לקריאת מאמר זה עד שניסית את כל ארבעת מבחני התרגול הרשמיים הראשונים או את רובם (שכן רוב השאלות להלן נלקחו מהמבחנים הללו). אם אתה חושש לקלקל את הבדיקות האלה, הפסק לקרוא את המדריך הזה עכשיו; חזור וקרא אותו לאחר שתסיים אותם.

עכשיו בואו נעבור לרשימת השאלות שלנו (וואו)!

תמונה: נייטקס /DeviantArt

15 השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT

עכשיו כשאתה בטוח שאתה צריך לנסות את השאלות האלה, בוא נצלול ישר פנימה! אספנו עבורך 15 מהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT כדי לנסות להלן, יחד עם הנחיות כיצד לקבל את התשובה (אם אתה המום).

אין מחשבון SAT שאלות מתמטיות

שאלה 1

$$C=5/9(F-32)$$

המשוואה למעלה מראה כיצד הטמפרטורה $F$, הנמדדת במעלות פרנהייט, מתייחסת לטמפרטורה $C$, הנמדדת במעלות צלזיוס. בהתבסס על המשוואה, מה מהבאים חייב להיות נכון?

1. עליית טמפרטורה של מעלה אחת פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של $5/9$ מעלות צלזיוס.
2. עליית טמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה בטמפרטורה של 1.8 מעלות פרנהייט.
3. עליית טמפרטורה של $5/9$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס.

א) רק אני
ב) II בלבד
ג) ג' בלבד
ד) I ו-II בלבד

הסבר תשובה: חשבו על המשוואה כמשוואה לקו

$$y=mx+b$$

איפה במקרה הזה

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

אוֹ

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

אתה יכול לראות שהשיפוע של הגרף הוא ${5}/{9}$, כלומר עבור עלייה של מעלה אחת פרנהייט, העלייה היא ${5}/{9}$ של מעלה אחת צלזיוס.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

לכן, משפט אני נכון. זה שווה ערך לאמירה שעלייה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה של ${9}/{5}$ מעלות פרנהייט.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

מכיוון ש-${9}/{5}$ = 1.8, הצהרה II נכונה.

התשובה היחידה שנכונה הן במשפט I והן במשפט II היא ד , אבל אם יש לך זמן ואתה רוצה להיות יסודי לחלוטין, אתה יכול גם לבדוק אם משפט III (עלייה של ${5}/{9}$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס) נכונה :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (which is ≠ 1)$$

עלייה של $5/9$ מעלות פרנהייט מובילה לעלייה של ${25}/{81}$, לא מעלה אחת, צלזיוס, ולכן משפט III אינו נכון.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 2

המשוואה${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$נכון לכל הערכים של $x≠2/a$, כאשר $a$ הוא קבוע.

מה הערך של $a$?

א) -16
ב) -3
ג) 3
ד) 16

הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו. הדרך המהירה יותר היא להכפיל כל צד של המשוואה הנתונה ב-$ax-2$ (כדי שתוכל להיפטר מהשבר). כאשר אתה מכפיל כל צד ב-$ax-2$, אתה אמור לקבל:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

לאחר מכן עליך להכפיל את $(-8x-3)$ ו-$(ax-2)$ באמצעות FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

לאחר מכן, הקטינו בצד ימין של המשוואה

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

מכיוון שהמקדמים של האיבר $x^2$ צריכים להיות שווים משני צדי המשוואה, $−8a = 24$, או $a = −3$.

האפשרות האחרת שהיא ארוכה ומייגעת יותר היא לנסות לחבר את כל אפשרויות התשובה עבור a ולראות איזו בחירת תשובה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים. שוב, זו האפשרות הארוכה יותר, ואני לא ממליץ עליה עבור ה-SAT בפועל מכיוון שהיא תבזבז יותר מדי זמן.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 3

אם $3x-y = 12$, מה הערך של ${8^x}/{2^y}$?

א) $2^{12}$
ב) $4^4$
ג) $8^2$
ד) לא ניתן לקבוע את הערך מהמידע שניתן.

הסבר תשובה: גישה אחת היא לבטא

$${8^x}/{2^y}$$

כך שהמונה והמכנה באים לידי ביטוי באותו בסיס. מכיוון ש-2 ו-8 הן חזקות של 2, החלפה של $2^3$ ב-8 במונה ${8^x}/{2^y}$ נותנת

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

שאפשר לכתוב מחדש

$${2^3x}/{2^y}$$

מכיוון שלמונה ולמכנה של יש בסיס משותף, ניתן לשכתב את הביטוי הזה כ-$2^(3x−y)$. בשאלה כתוב ש$3x − y = 12$, אז אפשר להחליף את המעריך ב-12, $3x − y$, כלומר

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

התשובה הסופית היא א.

שאלה 4

נקודות A ו-B שוכנות על מעגל עם רדיוס 1, ולקשת ${AB}↖⌢$ יש אורך של $π/3$. איזה שבר מהיקף המעגל הוא אורך הקשת ${AB}↖⌢$?

הסבר תשובה: כדי להבין את התשובה לשאלה זו, תחילה תצטרך לדעת את הנוסחה למציאת היקף מעגל.

ההיקף, $C$, של מעגל הוא $C = 2πr$, כאשר $r$ הוא רדיוס המעגל. עבור המעגל הנתון עם רדיוס 1, ההיקף הוא $C = 2(π)(1)$, או $C = 2π$.

כדי למצוא איזה חלק מההיקף הוא אורך ${AB}↖⌢$, חלקו את אורך הקשת בהיקף, מה שנותן $π/3 ÷ 2π$. חלוקה זו יכולה להיות מיוצגת על ידי $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

ניתן לשכתב את השבר $1/6$ גם כ-$0.166$ או $0.167$.

התשובה הסופית היא $1/6$, $0.166$ או $0.167$.

שאלה 5

$${8-i}/{3-2i}$$

אם הביטוי למעלה נכתב מחדש בצורה $a+bi$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים ממשיים, מה הערך של $a$? (הערה: $i=√{-1}$)

הסבר תשובה: כדי לכתוב מחדש ${8-i}/{3-2i}$ בצורה הסטנדרטית $a + bi$, עליך להכפיל את המונה והמכנה של ${8-i}/{3-2i}$ בצמוד , $3 + 2i$. זה שווה

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

מכיוון ש$i^2=-1$, ניתן להקטין את השבר האחרון הזה בפשטות

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

מה שמפשט עוד יותר ל-$2 + i$. לכן, כאשר ${8-i}/{3-2i}$ נכתב מחדש בצורה הסטנדרטית a + bi, הערך של a הוא 2.

התשובה הסופית היא א.

שאלה 6

במשולש $ABC$, המידה של $∠B$ היא 90°, $BC=16$ ו-$AC$=20. משולש $DEF$ דומה למשולש $ABC$, כאשר הקודקודים $D$, $E$ ו-$F$ תואמים לקודקודים $A$, $B$ ו-$C$, בהתאמה, וכל צד של המשולש $ DEF$ הוא $1/3$ אורך הצלע המתאימה במשולש $ABC$. מה הערך של $sinF$?

הסבר תשובה: משולש ABC הוא משולש ישר זווית עם הזווית הישרה שלו ב-B. לכן, $ov {AC}$ הוא התחתון של משולש ישר זווית ABC, ו-$ov {AB}$ ו-$ov {BC}$ הם הרגליים של משולש ישר זווית ABC. לפי משפט פיתגורס,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

מכיוון שמשולש DEF דומה למשולש ABC, כאשר קודקוד F מתאים לקודקוד C, המידה של $זוית ∠ {F}$ שווה למידת $זוית ∠ {C}$. לכן, $sin F = sin C$. מאורכי הצלעות של משולש ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

לכן, $sinF ={3}/{5}$.

התשובה הסופית היא ${3}/{5}$ או 0.6.

שאלות מתמטיות SAT המותרות במחשבון

שאלה 7

הטבלה הלא מלאה למעלה מסכמת את מספר התלמידים שמאליים ותלמידי ימין לפי מגדר עבור תלמידי כיתה ח' בחטיבת הביניים קייזל. יש פי 5 סטודנטיות ימניות מאשר סטודנטיות שמאליות, ויש פי 9 סטודנטים ימניים מאשר סטודנטים שמאליים. אם יש בסך הכל 18 תלמידים שמאליים ו-122 תלמידים ימניים בבית הספר, מה מהבאים הכי קרוב להסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה? (הערה: נניח שאף אחד מתלמידי כיתה ח' אינו ימני וגם שמאלני).

א) 0.410
ב) 0.357
ג) 0.333
ד) 0.250

הסבר תשובה: על מנת לפתור בעיה זו, עליך ליצור שתי משוואות באמצעות שני משתנים ($x$ ו-$y$) והמידע שניתן לך. תן $x$ להיות מספר הסטודנטיות השמאליות ותן $y$ להיות מספר הסטודנטים השמאליים. באמצעות המידע שניתן בבעיה, מספר הסטודנטיות הימניות יהיה $5x$ ומספר הסטודנטים הימניים יהיה $9y$. מכיוון שהמספר הכולל של תלמידים שמאליים הוא 18 והמספר הכולל של תלמידים ימניים הוא 122, מערכת המשוואות שלהלן חייבת להיות נכונה:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

כאשר אתה פותר מערכת משוואות זו, אתה מקבל $x = 10$ ו-$y = 8$. כך, 5*10, או 50, מתוך 122 תלמידות ימניות הן נשים. לכן, ההסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה היא ${50}/{122}$, אשר לאלף הקרוב ביותר הוא 0.410.

התשובה הסופית היא א.

שאלות 8 ו-9

השתמש במידע הבא הן עבור שאלה 7 והן עבור שאלה 8.

אם קונים נכנסים לחנות בקצב ממוצע של $r$ קונים לדקה וכל אחד נשאר בחנות זמן ממוצע של $T$ דקות, יינתן המספר הממוצע של קונים בחנות, $N$, בכל זמן נתון לפי הנוסחה $N=rT$. מערכת יחסים זו ידועה בשם חוק ליטל.

הבעלים של חנות עסקאות טובות מעריך שבשעות הפעילות נכנסים לחנות בממוצע 3 קונים בדקה וכל אחד מהם שוהה בממוצע 15 דקות. בעל החנות משתמש בחוק ליטל כדי להעריך שיש 45 קונים בחנות בכל עת.

שאלה 8

ניתן להחיל את חוק ליטל על כל חלק בחנות, כגון מחלקה מסוימת או קווי הקופה. בעל החנות קובע כי במהלך שעות הפעילות כ-84 קונים בשעה מבצעים רכישה וכל אחד מהקונים הללו מבלה בממוצע 5 דקות בתור לקופה. בכל עת במהלך שעות הפעילות, בערך כמה קונים בממוצע ממתינים בתור לרכישה בחנות עסקאות טובות?

הסבר תשובה: מכיוון שהשאלה קובעת שניתן להחיל את החוק של ליטל על כל חלק בודד בחנות (לדוגמה, רק קו התשלום), אז המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת הוא $N = rT $, כאשר $r$ הוא מספר הקונים הנכנסים לקו התשלום בדקה ו-$T$ הוא מספר הדקות הממוצע שכל קונה מבלה בקו התשלום.

מכיוון ש-84 קונים בשעה מבצעים רכישה, 84 קונים בשעה נכנסים לקו התשלום. עם זאת, יש להמיר את זה למספר הקונים בדקה (כדי לשמש עם $T = 5$). מכיוון שיש 60 דקות בשעה אחת, התעריף הוא ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1.4$ קונים לדקה. שימוש בנוסחה הנתונה עם $r = 1.4$ ו-$T = 5$ תשואות

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

לכן, המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת במהלך שעות העבודה הוא 7.

התשובה הסופית היא 7.

שאלה 9

הבעלים של חנות עסקאות טובות פותח חנות חדשה ברחבי העיר. לגבי החנות החדשה מעריך הבעלים כי בשעות הפעילות עומדים על 90 קונים בממוצע לכלשָׁעָהנכנסים לחנות וכל אחד מהם נשאר בממוצע 12 דקות. מספר הקונים הממוצע בחנות החדשה בכל עת הוא כמה אחוזים פחות ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת? (הערה: התעלם מסמל האחוז בעת הזנת התשובה שלך. לדוגמה, אם התשובה היא 42.1%, הזן 42.1)

הסבר תשובה: לפי המידע המקורי שנמסר, מספר הקונים הממוצע המשוער בחנות המקורית בכל עת (N) הוא 45. בשאלה נכתב כי בחנות החדשה מעריך המנהל כי בממוצע 90 קונים בשעה (60 דקות) נכנסים לחנות, שזה שווה ערך ל-1.5 קונים בדקה (ר). עוד מעריך המנהל שכל קונה שוהה בחנות 12 דקות בממוצע (T). לפיכך, לפי חוק ליטל, יש בממוצע $N = rT = (1.5)(12) = 18$ קונים בחנות החדשה בכל עת. זה

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

אחוז קטן ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת.

התשובה הסופית היא 60.

שאלה 10

במישור $xy$, הנקודה $(p,r)$ נמצאת על הישר עם המשוואה $y=x+b$, כאשר $b$ הוא קבוע. הנקודה עם הקואורדינטות $(2p, 5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$. אם $p≠0$, מה הערך של $r/p$?

א) $2/5$

ב) $3/4$

ג) $4/3$

ד) $5/2$

הסבר תשובה: מכיוון שהנקודה $(p,r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $p$ ב-$x$ ו-$r$ ב-$y$ במשוואה $y=x+b$ נותנת $r=p+b$, או $i b$ = $i r-i p $.

באופן דומה, מכיוון שהנקודה $(2p,5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $2p$ ב-$x$ ו-$5r$ ב-$y$ במשוואה $y=2x+b$ נותנת:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

לאחר מכן, נוכל להגדיר את שתי המשוואות שוות ל-$b$ שוות זו לזו ולפשט:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

לבסוף, כדי למצוא את $r/p$, עלינו לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-$p$ וב-$4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

התשובה הנכונה היא ב , $3/4$.

אם בחרת באפשרויות A ו-D, ייתכן שיצרת את התשובה שלך בצורה שגויה מתוך המקדמים בנקודה $(2p, 5r)$. אם בחרת באפשרות C, ייתכן שבלבלת בין $r$ לבין $p$.

שים לב שבעוד שזה נמצא בקטע המחשבון של ה-SAT, אתה לחלוטין לא צריך את המחשבון שלך כדי לפתור את זה!

שאלה 11

ממגורת תבואה בנויה משני קונוסים עגולים ימניים ומגליל עגול ימני עם מידות פנימיות המיוצגות על ידי האיור שלמעלה. מהבאים, מה הכי קרוב לנפח ממגורת התבואה, במטר מעוקב?

א) 261.8
ב) 785.4
ג) 916.3
ד) 1047.2

הסבר תשובה: את נפח ממגורת התבואה ניתן למצוא על ידי הוספת נפחי כל המוצקים מהם היא מורכבת (גליל ושני קונוסים). הממגורה מורכבת מצילינדר (עם גובה 10 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל) ושני קונוסים (כל אחד בגובה 5 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל). הנוסחאות שניתנו בתחילת קטע מתמטיקה SAT:

נפח של קונוס

$$V={1}/{3}πr^2h$$

נפח של צילינדר

$$V=πr^2h$$

ניתן להשתמש כדי לקבוע את הנפח הכולל של הממגורה. מכיוון שלשני הקונוסים מימדים זהים, הנפח הכולל, במטר מעוקב, של הממגורה ניתן על ידי

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

שזה בערך שווה ל-1,047.2 רגל מעוקב.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 12

אם $x$ הוא הממוצע (ממוצע אריתמטי) של $m$ ו-$9$, $y$ הוא הממוצע של $2m$ ו-$15$, ו-$z$ הוא הממוצע של $3m$ ו-$18$, מה זה הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ במונחים של $m$?

א) $m+6$
ב) $m+7$
ג) 2 מיליון דולר+14 דולר
ד) 3 מיליון דולר + 21 דולר

הסבר תשובה: מכיוון שהממוצע (ממוצע אריתמטי) של שני מספרים שווה לסכום שני המספרים חלקי 2, המשוואות $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$נכון. הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ ניתן על ידי ${x + y + z}/{3}$. החלפת הביטויים ב-m עבור כל משתנה ($x$, $y$, $z$) נותנת

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

ניתן לפשט את השבר הזה ל-$m + 7$.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 13

הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ מתוארת במישור $xy$ למעלה. אם $k$ הוא קבוע כך שלמשוואה $f(x)=k$ יש שלושה פתרונות אמיתיים, איזה מהבאים יכול להיות הערך של $k$?

הסבר תשובה: המשוואה $f(x) = k$ נותנת את הפתרונות למערכת המשוואות

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ו

$$y = k$$

פתרון אמיתי של מערכת של שתי משוואות מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים של שתי המשוואות במישור $xy$.

הגרף של $y = k$ הוא קו אופקי המכיל את הנקודה $(0, k)$ וחוצה את גרף המשוואה המעוקבת שלוש פעמים (שכן יש לו שלושה פתרונות אמיתיים). בהינתן הגרף, הקו האופקי היחיד שיחצה את המשוואה המעוקבת שלוש פעמים הוא הקו עם המשוואה $y = −3$, או $f(x) = −3$. לכן, $k$ הוא $-3$.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 14

$$q={1/2}nv^2$$

ניתן למצוא את הלחץ הדינמי $q$ שנוצר על ידי נוזל שנע במהירות $v$ באמצעות הנוסחה שלמעלה, כאשר $n$ היא הצפיפות הקבועה של הנוזל. מהנדס אווירונאוטיקה משתמש בנוסחה למצוא את הלחץ הדינמי של נוזל שנע במהירות $v$ ואותו נוזל שנע במהירות של 1.5$v$. מה היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר ללחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר?

הסבר תשובה: כדי לפתור בעיה זו, עליך להגדיר משוואות עם משתנים. תן $q_1$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר שנע במהירות $v_1$, ותן $q_2$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר שנע במהירות $v_2$. לאחר מכן

$$v_2 =1.5v_1$$

בהינתן המשוואה $q = {1}/{2}nv^2$, החלפת הלחץ והמהירות הדינמיים של הנוזל המהיר יותר נותנת $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. מכיוון ש-$v_2 =1.5v_1$, ניתן להחליף את הביטוי $1.5v_1$ ב-$v_2$ במשוואה זו, ונותן $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. על ידי ריבוע של $1.5$, אתה יכול לשכתב את המשוואה הקודמת בתור

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

לכן, היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר הוא

$${q2}/{q1} = {2.25 q_1}/{q_1}= 2.25$$

התשובה הסופית היא 2.25 או 9/4.

שאלה 15

עבור פולינום $p(x)$, הערך של $p(3)$ הוא $-2$. איזה מהבאים חייב להיות נכון לגבי $p(x)$?

א) $x-5$ הוא גורם של $p(x)$.
ב) $x-2$ הוא גורם של $p(x)$.
ג) $x+2$ הוא גורם של $p(x)$.
ד) היתרה כאשר $p(x)$ מחולק ב$x-3$ היא $-2$.

הסבר תשובה: אם הפולינום $p(x)$ מחולק בפולינום בצורה $x+k$ (המהווה את כל אפשרויות התשובות האפשריות בשאלה זו), ניתן לכתוב את התוצאה כ

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

כאשר $q(x)$ הוא פולינום ו-$r$ הוא השארית. מכיוון ש$x + k$ הוא פולינום של מדרגה-1 (כלומר הוא כולל רק $x^1$ ולא מעריכים גבוהים יותר), השאר הוא מספר ממשי.

לכן, ניתן לכתוב את $p(x)$ מחדש כ-$p(x) = (x + k)q(x) + r$, כאשר $r$ הוא מספר ממשי.

השאלה קובעת ש$p(3) = -2$, אז זה חייב להיות נכון

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את כל התשובות האפשריות. אם התשובה היא A, B או C, $r$ יהיה $0$, ואילו אם התשובה היא D, $r$ יהיה $-2$.

א. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=1$

ב. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=2$

ג. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)={-2}/{5}$

ד. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

זה יהיה תמיד להיות אמיתי לא משנה מה זה $q(3)$.

מבין אפשרויות התשובה, היחידה ש צריך היה נכון לגבי $p(x)$ הוא D, שהשאר כאשר $p(x)$ מחולק ב-$x-3$ הוא -2.

התשובה הסופית היא ד.

מגיע לך כל התנומות לאחר ריצת השאלות האלה.

מה המשותף לשאלות המתמטיקה הקשות ביותר ב-SAT?

חשוב להבין מה הופך את השאלות הקשות הללו ל'קשות'. על ידי כך, תוכל גם להבין ולפתור שאלות דומות כשאתה רואה אותן ביום המבחן, כמו גם לקבל אסטרטגיה טובה יותר לזיהוי ותיקון שגיאות מתמטיקה קודמות שלך ב-SAT.

בחלק זה, נבחן את המשותף לשאלות הללו וניתן דוגמאות מכל סוג. חלק מהסיבות לכך שהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה הן השאלות הקשות ביותר במתמטיקה היא בגלל שהן:

מס' 1: בדוק כמה מושגים מתמטיים בבת אחת

כאן, עלינו להתמודד עם מספרים ושברים דמיוניים בבת אחת.

סוד ההצלחה: חשבו באיזו מתמטיקה ישימה תוכלו להשתמש כדי לפתור את הבעיה, בצעו צעד אחד בכל פעם ונסה כל טכניקה עד שתמצא אחת שעובדת!

מס' 2: כרוך בהרבה שלבים

זכור: ככל שאתה צריך לנקוט יותר צעדים, כך קל יותר להתבלבל איפשהו לאורך הקו!

עלינו לפתור את הבעיה הזו בשלבים (ביצוע מספר ממוצעים) כדי לפתוח את שאר התשובות באפקט דומינו. זה יכול להיות מבלבל, במיוחד אם אתה לחוץ או שנגמר לך הזמן.

סוד ההצלחה: קח את זה לאט, קח את זה צעד אחר צעד, ובדוק שוב את העבודה שלך כדי שלא תעשה טעויות!

מס' 3: בדוק מושגים שיש לך היכרות מוגבלת איתם

לדוגמה, תלמידים רבים מכירים פחות פונקציות מאשר עם שברים ואחוזים, ולכן רוב שאלות התפקוד נחשבות לבעיות 'קושי גבוה'.

אם אינך יודע את דרכך בפונקציות, זו תהיה בעיה לא פשוטה.

סוד ההצלחה: סקור מושגים מתמטיים שאין לך כל כך בקיאות בהם, כגון פונקציות. אנו ממליצים להשתמש במדריכי הסקירה החינמיים שלנו SAT Math.

מס' 4: מנוסחים בדרכים חריגות או מפותלות

זה יכול להיות קשה להבין בדיוק מהן שאלות מסוימות שואל , הרבה פחות להבין איך לפתור אותם. זה נכון במיוחד כאשר השאלה ממוקמת בסוף הסעיף, ואוזל לכם הזמן.

מכיוון ששאלה זו מספקת כל כך הרבה מידע ללא דיאגרמה, זה יכול להיות קשה להתלבט בזמן המוגבל המותר.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח את מה שמתבקש ממך וצייר תרשים אם זה מועיל לך.

#5: השתמש במשתנים רבים ושונים

עם כל כך הרבה משתנים שונים במשחק, די קל להתבלבל.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח מה שואלים אותך, ושקול אם חיבור מספרים הוא אסטרטגיה טובה לפתור את הבעיה (זה לא יהיה עבור השאלה שלמעלה, אלא עבור שאלות רבות אחרות משתנות SAT).

הטייק אווי

ה-SAT הוא מרתון וככל שתתכוננו אליו טוב יותר, כך תרגישו טוב יותר ביום המבחן. לדעת איך להתמודד עם השאלות הקשות ביותר שהמבחן יכול להטיל עליך יגרום לקחת את ה-SAT האמיתי להיראות הרבה פחות מרתיע.

אם הרגשת שהשאלות האלה קלות, הקפד לא לזלזל בהשפעת האדרנלין והעייפות על יכולתך לפתור בעיות. בזמן שאתה ממשיך ללמוד, הקפד תמיד על הנחיות התזמון הנכונות ונסו לגשת למבחנים מלאים במידת האפשר. זוהי הדרך הטובה ביותר ליצור מחדש את סביבת הבדיקה בפועל, כך שתוכל להתכונן לעסקה האמיתית.

אם הרגשת שהשאלות האלה מאתגרות, הקפד לחזק את הידע שלך במתמטיקה על ידי עיון במדריכי נושא המתמטיקה האישיים שלנו עבור ה-SAT. שם תראה הסברים מפורטים יותר של הנושאים המדוברים וכן פירוט תשובות מפורט יותר.

מה הלאה?

הרגשת שהשאלות האלה קשות יותר ממה שציפית? עיין בכל הנושאים המכוסים בסעיף מתמטיקה SAT ולאחר מכן שים לב אילו קטעים היו קשים במיוחד עבורך. לאחר מכן, עיין במדריכי המתמטיקה האישיים שלנו כדי לעזור לך לחזק כל אחד מהאזורים החלשים הללו.

נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? המדריך שלנו יעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את הציון שלך.

שואפים לציון מושלם? לבדוק המדריך שלנו כיצד להשיג 800 מושלם במדור המתמטיקה SAT , נכתב על ידי קלע מושלם.

רוצה לבחון את עצמך מול השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT? רוצים לדעת מה הופך את השאלות הללו לקשות כל כך ואיך לפתור אותן בצורה הטובה ביותר? אם אתה מוכן באמת לנעוץ את השיניים שלך במדור המתמטיקה של SAT ולכוון את הכוונת שלך לציון המושלם הזה, אז זה המדריך בשבילך.

ריכזנו את מה שאנחנו מאמינים שהוא 15 השאלות הקשות ביותר עבור ה-SAT הנוכחי , עם אסטרטגיות והסברי תשובות לכל אחד. כל אלו הן שאלות קשות במתמטיקה SAT ממבחני תרגול SAT של מועצת המכללה, מה שאומר שהבנתן היא אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד עבור אלה מכם השואפים לשלמות.

תמונה: סוניה סביליה /ויקימדיה

סקירה קצרה של מתמטיקה SAT

החלק השלישי והרביעי של ה-SAT יהיו תמיד חלקים מתמטיים . תת-סעיף המתמטיקה הראשון (מסומן '3') עושה לֹא לאפשר לך להשתמש במחשבון, בעוד שהסעיף השני במתמטיקה (מסומן כ-'4') עושה לאפשר שימוש במחשבון. עם זאת, אל תדאג יותר מדי לגבי הסעיף ללא מחשבון: אם אסור לך להשתמש במחשבון על שאלה, זה אומר שאתה לא צריך מחשבון כדי לענות עליה.

כל תת-סעיף במתמטיקה מסודר לפי סדר קושי עולה (כאשר ככל שלוקח יותר זמן לפתור בעיה וככל שפחות אנשים עונים עליה נכון, כך זה קשה יותר). בכל תת סעיף, שאלה 1 תהיה 'קלה' ושאלה 15 תיחשב 'קשה'. עם זאת, הקושי העולה מתאפס מקל לקשה בכניסות לרשת.

לפיכך, שאלות בחירה מרובה מסודרות בדרגת קושי עולה (שאלות 1 ו-2 יהיו הקלות ביותר, שאלות 14 ו-15 יהיו הקשות ביותר), אך רמת הקושי מתאפסת עבור קטע הרשת (כלומר, שאלות 16 ו-17 יהיו שוב 'קל' ושאלות 19 ו-20 יהיו קשות מאוד).

עם מעט מאוד יוצאי דופן, אם כן, הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה SAT יתקבצו בסוף מקטעי הבחירה המרובה או במחצית השנייה של שאלות הרשת. עם זאת, בנוסף למיקום שלהם במבחן, לשאלות אלה יש גם כמה מאפיינים משותפים אחרים. בעוד דקה, נסתכל על שאלות לדוגמה וכיצד לפתור אותן, ולאחר מכן ננתח אותן כדי להבין מה משותף לסוגי השאלות הללו.

אבל ראשית: האם אתה צריך להתמקד בשאלות המתמטיקה הקשות ביותר עכשיו?

אם אתה רק התחלת בהכנה ללימודים שלך (או אם פשוט דילגת על השלב הראשון והמכריע הזה), בהחלט עצור ועשה מבחן תרגול מלא כדי לאמוד את רמת הניקוד הנוכחית שלך. עיין במדריך שלנו ל כל מבחני התרגול החינמיים של SAT הזמינים באינטרנט ואז לשבת לעשות מבחן בבת אחת.

הדרך הטובה ביותר להעריך את הרמה הנוכחית שלך היא פשוט לגשת למבחן תרגול ה-SAT כאילו הוא אמיתי, תוך הקפדה על תזמון קפדני ולעבוד ישר עם ההפסקות המותרות בלבד (אנחנו יודעים - כנראה לא הדרך המועדפת עליך לבלות שבת). לאחר שיש לך מושג טוב על הרמה הנוכחית ועל דירוג האחוזון שלך, תוכל להגדיר אבני דרך ויעדים עבור הציון האולטימטיבי שלך במתמטיקה SAT.

אם אתה קולע כרגע בטווח של 200-400 או 400-600 במתמטיקה SAT, ההימור הטוב ביותר שלך הוא קודם כל לעיין במדריך שלנו לשיפור הציון שלך במתמטיקה להיות בעקביות על או מעל 600 לפני שתתחיל בניסיון להתמודד עם הבעיות המתמטיות הקשות ביותר במבחן.

עם זאת, אם אתה כבר מקבל ציון מעל 600 בסעיף המתמטיקה וברצונך לבחון את החוזק שלך עבור ה-SAT האמיתי, אז בהחלט המשך לשאר המדריך הזה. אם אתה מכוון למושלם (או קרוב ל) , אז תצטרך לדעת איך נראות השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT וכיצד לפתור אותן. ולמרבה המזל, זה בדיוק מה שנעשה.

אַזהָרָה: מכיוון שיש מספר מוגבל של מבחני תרגול SAT רשמיים , מומלץ להמתין לקריאת מאמר זה עד שניסית את כל ארבעת מבחני התרגול הרשמיים הראשונים או את רובם (שכן רוב השאלות להלן נלקחו מהמבחנים הללו). אם אתה חושש לקלקל את הבדיקות האלה, הפסק לקרוא את המדריך הזה עכשיו; חזור וקרא אותו לאחר שתסיים אותם.

עכשיו בואו נעבור לרשימת השאלות שלנו (וואו)!

תמונה: נייטקס /DeviantArt

15 השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT

עכשיו כשאתה בטוח שאתה צריך לנסות את השאלות האלה, בוא נצלול ישר פנימה! אספנו עבורך 15 מהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT כדי לנסות להלן, יחד עם הנחיות כיצד לקבל את התשובה (אם אתה המום).

אין מחשבון SAT שאלות מתמטיות

שאלה 1

$$C=5/9(F-32)$$

המשוואה למעלה מראה כיצד הטמפרטורה $F$, הנמדדת במעלות פרנהייט, מתייחסת לטמפרטורה $C$, הנמדדת במעלות צלזיוס. בהתבסס על המשוואה, מה מהבאים חייב להיות נכון?

1. עליית טמפרטורה של מעלה אחת פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של $5/9$ מעלות צלזיוס.
2. עליית טמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה בטמפרטורה של 1.8 מעלות פרנהייט.
3. עליית טמפרטורה של $5/9$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס.

א) רק אני
ב) II בלבד
ג) ג' בלבד
ד) I ו-II בלבד

הסבר תשובה: חשבו על המשוואה כמשוואה לקו

$$y=mx+b$$

איפה במקרה הזה

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

אוֹ

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

אתה יכול לראות שהשיפוע של הגרף הוא ${5}/{9}$, כלומר עבור עלייה של מעלה אחת פרנהייט, העלייה היא ${5}/{9}$ של מעלה אחת צלזיוס.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

לכן, משפט אני נכון. זה שווה ערך לאמירה שעלייה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה של ${9}/{5}$ מעלות פרנהייט.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

מכיוון ש-${9}/{5}$ = 1.8, הצהרה II נכונה.

התשובה היחידה שנכונה הן במשפט I והן במשפט II היא ד , אבל אם יש לך זמן ואתה רוצה להיות יסודי לחלוטין, אתה יכול גם לבדוק אם משפט III (עלייה של ${5}/{9}$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס) נכונה :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (which is ≠ 1)$$

עלייה של $5/9$ מעלות פרנהייט מובילה לעלייה של ${25}/{81}$, לא מעלה אחת, צלזיוס, ולכן משפט III אינו נכון.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 2

המשוואה${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$נכון לכל הערכים של $x≠2/a$, כאשר $a$ הוא קבוע.

מה הערך של $a$?

א) -16
ב) -3
ג) 3
ד) 16

הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו. הדרך המהירה יותר היא להכפיל כל צד של המשוואה הנתונה ב-$ax-2$ (כדי שתוכל להיפטר מהשבר). כאשר אתה מכפיל כל צד ב-$ax-2$, אתה אמור לקבל:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

לאחר מכן עליך להכפיל את $(-8x-3)$ ו-$(ax-2)$ באמצעות FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

לאחר מכן, הקטינו בצד ימין של המשוואה

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

מכיוון שהמקדמים של האיבר $x^2$ צריכים להיות שווים משני צדי המשוואה, $−8a = 24$, או $a = −3$.

האפשרות האחרת שהיא ארוכה ומייגעת יותר היא לנסות לחבר את כל אפשרויות התשובה עבור a ולראות איזו בחירת תשובה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים. שוב, זו האפשרות הארוכה יותר, ואני לא ממליץ עליה עבור ה-SAT בפועל מכיוון שהיא תבזבז יותר מדי זמן.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 3

אם $3x-y = 12$, מה הערך של ${8^x}/{2^y}$?

א) $2^{12}$
ב) $4^4$
ג) $8^2$
ד) לא ניתן לקבוע את הערך מהמידע שניתן.

הסבר תשובה: גישה אחת היא לבטא

$${8^x}/{2^y}$$

כך שהמונה והמכנה באים לידי ביטוי באותו בסיס. מכיוון ש-2 ו-8 הן חזקות של 2, החלפה של $2^3$ ב-8 במונה ${8^x}/{2^y}$ נותנת

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

שאפשר לכתוב מחדש

$${2^3x}/{2^y}$$

מכיוון שלמונה ולמכנה של יש בסיס משותף, ניתן לשכתב את הביטוי הזה כ-$2^(3x−y)$. בשאלה כתוב ש$3x − y = 12$, אז אפשר להחליף את המעריך ב-12, $3x − y$, כלומר

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

התשובה הסופית היא א.

שאלה 4

נקודות A ו-B שוכנות על מעגל עם רדיוס 1, ולקשת ${AB}↖⌢$ יש אורך של $π/3$. איזה שבר מהיקף המעגל הוא אורך הקשת ${AB}↖⌢$?

הסבר תשובה: כדי להבין את התשובה לשאלה זו, תחילה תצטרך לדעת את הנוסחה למציאת היקף מעגל.

ההיקף, $C$, של מעגל הוא $C = 2πr$, כאשר $r$ הוא רדיוס המעגל. עבור המעגל הנתון עם רדיוס 1, ההיקף הוא $C = 2(π)(1)$, או $C = 2π$.

כדי למצוא איזה חלק מההיקף הוא אורך ${AB}↖⌢$, חלקו את אורך הקשת בהיקף, מה שנותן $π/3 ÷ 2π$. חלוקה זו יכולה להיות מיוצגת על ידי $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

ניתן לשכתב את השבר $1/6$ גם כ-$0.166$ או $0.167$.

התשובה הסופית היא $1/6$, $0.166$ או $0.167$.

שאלה 5

$${8-i}/{3-2i}$$

אם הביטוי למעלה נכתב מחדש בצורה $a+bi$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים ממשיים, מה הערך של $a$? (הערה: $i=√{-1}$)

הסבר תשובה: כדי לכתוב מחדש ${8-i}/{3-2i}$ בצורה הסטנדרטית $a + bi$, עליך להכפיל את המונה והמכנה של ${8-i}/{3-2i}$ בצמוד , $3 + 2i$. זה שווה

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

מכיוון ש$i^2=-1$, ניתן להקטין את השבר האחרון הזה בפשטות

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

מה שמפשט עוד יותר ל-$2 + i$. לכן, כאשר ${8-i}/{3-2i}$ נכתב מחדש בצורה הסטנדרטית a + bi, הערך של a הוא 2.

התשובה הסופית היא א.

שאלה 6

במשולש $ABC$, המידה של $∠B$ היא 90°, $BC=16$ ו-$AC$=20. משולש $DEF$ דומה למשולש $ABC$, כאשר הקודקודים $D$, $E$ ו-$F$ תואמים לקודקודים $A$, $B$ ו-$C$, בהתאמה, וכל צד של המשולש $ DEF$ הוא $1/3$ אורך הצלע המתאימה במשולש $ABC$. מה הערך של $sinF$?

הסבר תשובה: משולש ABC הוא משולש ישר זווית עם הזווית הישרה שלו ב-B. לכן, $ov {AC}$ הוא התחתון של משולש ישר זווית ABC, ו-$ov {AB}$ ו-$ov {BC}$ הם הרגליים של משולש ישר זווית ABC. לפי משפט פיתגורס,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

מכיוון שמשולש DEF דומה למשולש ABC, כאשר קודקוד F מתאים לקודקוד C, המידה של $זוית ∠ {F}$ שווה למידת $זוית ∠ {C}$. לכן, $sin F = sin C$. מאורכי הצלעות של משולש ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

לכן, $sinF ={3}/{5}$.

התשובה הסופית היא ${3}/{5}$ או 0.6.

שאלות מתמטיות SAT המותרות במחשבון

שאלה 7

הטבלה הלא מלאה למעלה מסכמת את מספר התלמידים שמאליים ותלמידי ימין לפי מגדר עבור תלמידי כיתה ח' בחטיבת הביניים קייזל. יש פי 5 סטודנטיות ימניות מאשר סטודנטיות שמאליות, ויש פי 9 סטודנטים ימניים מאשר סטודנטים שמאליים. אם יש בסך הכל 18 תלמידים שמאליים ו-122 תלמידים ימניים בבית הספר, מה מהבאים הכי קרוב להסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה? (הערה: נניח שאף אחד מתלמידי כיתה ח' אינו ימני וגם שמאלני).

א) 0.410
ב) 0.357
ג) 0.333
ד) 0.250

הסבר תשובה: על מנת לפתור בעיה זו, עליך ליצור שתי משוואות באמצעות שני משתנים ($x$ ו-$y$) והמידע שניתן לך. תן $x$ להיות מספר הסטודנטיות השמאליות ותן $y$ להיות מספר הסטודנטים השמאליים. באמצעות המידע שניתן בבעיה, מספר הסטודנטיות הימניות יהיה $5x$ ומספר הסטודנטים הימניים יהיה $9y$. מכיוון שהמספר הכולל של תלמידים שמאליים הוא 18 והמספר הכולל של תלמידים ימניים הוא 122, מערכת המשוואות שלהלן חייבת להיות נכונה:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

כאשר אתה פותר מערכת משוואות זו, אתה מקבל $x = 10$ ו-$y = 8$. כך, 5*10, או 50, מתוך 122 תלמידות ימניות הן נשים. לכן, ההסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה היא ${50}/{122}$, אשר לאלף הקרוב ביותר הוא 0.410.

התשובה הסופית היא א.

שאלות 8 ו-9

השתמש במידע הבא הן עבור שאלה 7 והן עבור שאלה 8.

אם קונים נכנסים לחנות בקצב ממוצע של $r$ קונים לדקה וכל אחד נשאר בחנות זמן ממוצע של $T$ דקות, יינתן המספר הממוצע של קונים בחנות, $N$, בכל זמן נתון לפי הנוסחה $N=rT$. מערכת יחסים זו ידועה בשם חוק ליטל.

הבעלים של חנות עסקאות טובות מעריך שבשעות הפעילות נכנסים לחנות בממוצע 3 קונים בדקה וכל אחד מהם שוהה בממוצע 15 דקות. בעל החנות משתמש בחוק ליטל כדי להעריך שיש 45 קונים בחנות בכל עת.

שאלה 8

ניתן להחיל את חוק ליטל על כל חלק בחנות, כגון מחלקה מסוימת או קווי הקופה. בעל החנות קובע כי במהלך שעות הפעילות כ-84 קונים בשעה מבצעים רכישה וכל אחד מהקונים הללו מבלה בממוצע 5 דקות בתור לקופה. בכל עת במהלך שעות הפעילות, בערך כמה קונים בממוצע ממתינים בתור לרכישה בחנות עסקאות טובות?

הסבר תשובה: מכיוון שהשאלה קובעת שניתן להחיל את החוק של ליטל על כל חלק בודד בחנות (לדוגמה, רק קו התשלום), אז המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת הוא $N = rT $, כאשר $r$ הוא מספר הקונים הנכנסים לקו התשלום בדקה ו-$T$ הוא מספר הדקות הממוצע שכל קונה מבלה בקו התשלום.

מכיוון ש-84 קונים בשעה מבצעים רכישה, 84 קונים בשעה נכנסים לקו התשלום. עם זאת, יש להמיר את זה למספר הקונים בדקה (כדי לשמש עם $T = 5$). מכיוון שיש 60 דקות בשעה אחת, התעריף הוא ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1.4$ קונים לדקה. שימוש בנוסחה הנתונה עם $r = 1.4$ ו-$T = 5$ תשואות

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

לכן, המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת במהלך שעות העבודה הוא 7.

התשובה הסופית היא 7.

שאלה 9

הבעלים של חנות עסקאות טובות פותח חנות חדשה ברחבי העיר. לגבי החנות החדשה מעריך הבעלים כי בשעות הפעילות עומדים על 90 קונים בממוצע לכלשָׁעָהנכנסים לחנות וכל אחד מהם נשאר בממוצע 12 דקות. מספר הקונים הממוצע בחנות החדשה בכל עת הוא כמה אחוזים פחות ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת? (הערה: התעלם מסמל האחוז בעת הזנת התשובה שלך. לדוגמה, אם התשובה היא 42.1%, הזן 42.1)

הסבר תשובה: לפי המידע המקורי שנמסר, מספר הקונים הממוצע המשוער בחנות המקורית בכל עת (N) הוא 45. בשאלה נכתב כי בחנות החדשה מעריך המנהל כי בממוצע 90 קונים בשעה (60 דקות) נכנסים לחנות, שזה שווה ערך ל-1.5 קונים בדקה (ר). עוד מעריך המנהל שכל קונה שוהה בחנות 12 דקות בממוצע (T). לפיכך, לפי חוק ליטל, יש בממוצע $N = rT = (1.5)(12) = 18$ קונים בחנות החדשה בכל עת. זה

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

אחוז קטן ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת.

התשובה הסופית היא 60.

שאלה 10

במישור $xy$, הנקודה $(p,r)$ נמצאת על הישר עם המשוואה $y=x+b$, כאשר $b$ הוא קבוע. הנקודה עם הקואורדינטות $(2p, 5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$. אם $p≠0$, מה הערך של $r/p$?

א) $2/5$

ב) $3/4$

ג) $4/3$

ד) $5/2$

הסבר תשובה: מכיוון שהנקודה $(p,r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $p$ ב-$x$ ו-$r$ ב-$y$ במשוואה $y=x+b$ נותנת $r=p+b$, או $i b$ = $i r-i p $.

באופן דומה, מכיוון שהנקודה $(2p,5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $2p$ ב-$x$ ו-$5r$ ב-$y$ במשוואה $y=2x+b$ נותנת:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

לאחר מכן, נוכל להגדיר את שתי המשוואות שוות ל-$b$ שוות זו לזו ולפשט:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

לבסוף, כדי למצוא את $r/p$, עלינו לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-$p$ וב-$4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

התשובה הנכונה היא ב , $3/4$.

אם בחרת באפשרויות A ו-D, ייתכן שיצרת את התשובה שלך בצורה שגויה מתוך המקדמים בנקודה $(2p, 5r)$. אם בחרת באפשרות C, ייתכן שבלבלת בין $r$ לבין $p$.

שים לב שבעוד שזה נמצא בקטע המחשבון של ה-SAT, אתה לחלוטין לא צריך את המחשבון שלך כדי לפתור את זה!

שאלה 11

ממגורת תבואה בנויה משני קונוסים עגולים ימניים ומגליל עגול ימני עם מידות פנימיות המיוצגות על ידי האיור שלמעלה. מהבאים, מה הכי קרוב לנפח ממגורת התבואה, במטר מעוקב?

א) 261.8
ב) 785.4
ג) 916.3
ד) 1047.2

הסבר תשובה: את נפח ממגורת התבואה ניתן למצוא על ידי הוספת נפחי כל המוצקים מהם היא מורכבת (גליל ושני קונוסים). הממגורה מורכבת מצילינדר (עם גובה 10 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל) ושני קונוסים (כל אחד בגובה 5 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל). הנוסחאות שניתנו בתחילת קטע מתמטיקה SAT:

נפח של קונוס

$$V={1}/{3}πr^2h$$

נפח של צילינדר

$$V=πr^2h$$

ניתן להשתמש כדי לקבוע את הנפח הכולל של הממגורה. מכיוון שלשני הקונוסים מימדים זהים, הנפח הכולל, במטר מעוקב, של הממגורה ניתן על ידי

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

שזה בערך שווה ל-1,047.2 רגל מעוקב.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 12

אם $x$ הוא הממוצע (ממוצע אריתמטי) של $m$ ו-$9$, $y$ הוא הממוצע של $2m$ ו-$15$, ו-$z$ הוא הממוצע של $3m$ ו-$18$, מה זה הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ במונחים של $m$?

א) $m+6$
ב) $m+7$
ג) 2 מיליון דולר+14 דולר
ד) 3 מיליון דולר + 21 דולר

הסבר תשובה: מכיוון שהממוצע (ממוצע אריתמטי) של שני מספרים שווה לסכום שני המספרים חלקי 2, המשוואות $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$נכון. הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ ניתן על ידי ${x + y + z}/{3}$. החלפת הביטויים ב-m עבור כל משתנה ($x$, $y$, $z$) נותנת

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

ניתן לפשט את השבר הזה ל-$m + 7$.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 13

הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ מתוארת במישור $xy$ למעלה. אם $k$ הוא קבוע כך שלמשוואה $f(x)=k$ יש שלושה פתרונות אמיתיים, איזה מהבאים יכול להיות הערך של $k$?

הסבר תשובה: המשוואה $f(x) = k$ נותנת את הפתרונות למערכת המשוואות

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ו

$$y = k$$

פתרון אמיתי של מערכת של שתי משוואות מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים של שתי המשוואות במישור $xy$.

הגרף של $y = k$ הוא קו אופקי המכיל את הנקודה $(0, k)$ וחוצה את גרף המשוואה המעוקבת שלוש פעמים (שכן יש לו שלושה פתרונות אמיתיים). בהינתן הגרף, הקו האופקי היחיד שיחצה את המשוואה המעוקבת שלוש פעמים הוא הקו עם המשוואה $y = −3$, או $f(x) = −3$. לכן, $k$ הוא $-3$.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 14

$$q={1/2}nv^2$$

ניתן למצוא את הלחץ הדינמי $q$ שנוצר על ידי נוזל שנע במהירות $v$ באמצעות הנוסחה שלמעלה, כאשר $n$ היא הצפיפות הקבועה של הנוזל. מהנדס אווירונאוטיקה משתמש בנוסחה למצוא את הלחץ הדינמי של נוזל שנע במהירות $v$ ואותו נוזל שנע במהירות של 1.5$v$. מה היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר ללחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר?

הסבר תשובה: כדי לפתור בעיה זו, עליך להגדיר משוואות עם משתנים. תן $q_1$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר שנע במהירות $v_1$, ותן $q_2$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר שנע במהירות $v_2$. לאחר מכן

$$v_2 =1.5v_1$$

בהינתן המשוואה $q = {1}/{2}nv^2$, החלפת הלחץ והמהירות הדינמיים של הנוזל המהיר יותר נותנת $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. מכיוון ש-$v_2 =1.5v_1$, ניתן להחליף את הביטוי $1.5v_1$ ב-$v_2$ במשוואה זו, ונותן $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. על ידי ריבוע של $1.5$, אתה יכול לשכתב את המשוואה הקודמת בתור

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

לכן, היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר הוא

$${q2}/{q1} = {2.25 q_1}/{q_1}= 2.25$$

התשובה הסופית היא 2.25 או 9/4.

שאלה 15

עבור פולינום $p(x)$, הערך של $p(3)$ הוא $-2$. איזה מהבאים חייב להיות נכון לגבי $p(x)$?

א) $x-5$ הוא גורם של $p(x)$.
ב) $x-2$ הוא גורם של $p(x)$.
ג) $x+2$ הוא גורם של $p(x)$.
ד) היתרה כאשר $p(x)$ מחולק ב$x-3$ היא $-2$.

הסבר תשובה: אם הפולינום $p(x)$ מחולק בפולינום בצורה $x+k$ (המהווה את כל אפשרויות התשובות האפשריות בשאלה זו), ניתן לכתוב את התוצאה כ

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

כאשר $q(x)$ הוא פולינום ו-$r$ הוא השארית. מכיוון ש$x + k$ הוא פולינום של מדרגה-1 (כלומר הוא כולל רק $x^1$ ולא מעריכים גבוהים יותר), השאר הוא מספר ממשי.

לכן, ניתן לכתוב את $p(x)$ מחדש כ-$p(x) = (x + k)q(x) + r$, כאשר $r$ הוא מספר ממשי.

השאלה קובעת ש$p(3) = -2$, אז זה חייב להיות נכון

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את כל התשובות האפשריות. אם התשובה היא A, B או C, $r$ יהיה $0$, ואילו אם התשובה היא D, $r$ יהיה $-2$.

א. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=1$

ב. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=2$

ג. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)={-2}/{5}$

ד. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

זה יהיה תמיד להיות אמיתי לא משנה מה זה $q(3)$.

מבין אפשרויות התשובה, היחידה ש צריך היה נכון לגבי $p(x)$ הוא D, שהשאר כאשר $p(x)$ מחולק ב-$x-3$ הוא -2.

התשובה הסופית היא ד.

מגיע לך כל התנומות לאחר ריצת השאלות האלה.

מה המשותף לשאלות המתמטיקה הקשות ביותר ב-SAT?

חשוב להבין מה הופך את השאלות הקשות הללו ל'קשות'. על ידי כך, תוכל גם להבין ולפתור שאלות דומות כשאתה רואה אותן ביום המבחן, כמו גם לקבל אסטרטגיה טובה יותר לזיהוי ותיקון שגיאות מתמטיקה קודמות שלך ב-SAT.

בחלק זה, נבחן את המשותף לשאלות הללו וניתן דוגמאות מכל סוג. חלק מהסיבות לכך שהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה הן השאלות הקשות ביותר במתמטיקה היא בגלל שהן:

מס' 1: בדוק כמה מושגים מתמטיים בבת אחת

כאן, עלינו להתמודד עם מספרים ושברים דמיוניים בבת אחת.

סוד ההצלחה: חשבו באיזו מתמטיקה ישימה תוכלו להשתמש כדי לפתור את הבעיה, בצעו צעד אחד בכל פעם ונסה כל טכניקה עד שתמצא אחת שעובדת!

מס' 2: כרוך בהרבה שלבים

זכור: ככל שאתה צריך לנקוט יותר צעדים, כך קל יותר להתבלבל איפשהו לאורך הקו!

עלינו לפתור את הבעיה הזו בשלבים (ביצוע מספר ממוצעים) כדי לפתוח את שאר התשובות באפקט דומינו. זה יכול להיות מבלבל, במיוחד אם אתה לחוץ או שנגמר לך הזמן.

סוד ההצלחה: קח את זה לאט, קח את זה צעד אחר צעד, ובדוק שוב את העבודה שלך כדי שלא תעשה טעויות!

מס' 3: בדוק מושגים שיש לך היכרות מוגבלת איתם

לדוגמה, תלמידים רבים מכירים פחות פונקציות מאשר עם שברים ואחוזים, ולכן רוב שאלות התפקוד נחשבות לבעיות 'קושי גבוה'.

אם אינך יודע את דרכך בפונקציות, זו תהיה בעיה לא פשוטה.

סוד ההצלחה: סקור מושגים מתמטיים שאין לך כל כך בקיאות בהם, כגון פונקציות. אנו ממליצים להשתמש במדריכי הסקירה החינמיים שלנו SAT Math.

מס' 4: מנוסחים בדרכים חריגות או מפותלות

זה יכול להיות קשה להבין בדיוק מהן שאלות מסוימות שואל , הרבה פחות להבין איך לפתור אותם. זה נכון במיוחד כאשר השאלה ממוקמת בסוף הסעיף, ואוזל לכם הזמן.

מכיוון ששאלה זו מספקת כל כך הרבה מידע ללא דיאגרמה, זה יכול להיות קשה להתלבט בזמן המוגבל המותר.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח את מה שמתבקש ממך וצייר תרשים אם זה מועיל לך.

#5: השתמש במשתנים רבים ושונים

עם כל כך הרבה משתנים שונים במשחק, די קל להתבלבל.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח מה שואלים אותך, ושקול אם חיבור מספרים הוא אסטרטגיה טובה לפתור את הבעיה (זה לא יהיה עבור השאלה שלמעלה, אלא עבור שאלות רבות אחרות משתנות SAT).

הטייק אווי

ה-SAT הוא מרתון וככל שתתכוננו אליו טוב יותר, כך תרגישו טוב יותר ביום המבחן. לדעת איך להתמודד עם השאלות הקשות ביותר שהמבחן יכול להטיל עליך יגרום לקחת את ה-SAT האמיתי להיראות הרבה פחות מרתיע.

אם הרגשת שהשאלות האלה קלות, הקפד לא לזלזל בהשפעת האדרנלין והעייפות על יכולתך לפתור בעיות. בזמן שאתה ממשיך ללמוד, הקפד תמיד על הנחיות התזמון הנכונות ונסו לגשת למבחנים מלאים במידת האפשר. זוהי הדרך הטובה ביותר ליצור מחדש את סביבת הבדיקה בפועל, כך שתוכל להתכונן לעסקה האמיתית.

אם הרגשת שהשאלות האלה מאתגרות, הקפד לחזק את הידע שלך במתמטיקה על ידי עיון במדריכי נושא המתמטיקה האישיים שלנו עבור ה-SAT. שם תראה הסברים מפורטים יותר של הנושאים המדוברים וכן פירוט תשובות מפורט יותר.

מה הלאה?

הרגשת שהשאלות האלה קשות יותר ממה שציפית? עיין בכל הנושאים המכוסים בסעיף מתמטיקה SAT ולאחר מכן שים לב אילו קטעים היו קשים במיוחד עבורך. לאחר מכן, עיין במדריכי המתמטיקה האישיים שלנו כדי לעזור לך לחזק כל אחד מהאזורים החלשים הללו.

נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? המדריך שלנו יעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את הציון שלך.

שואפים לציון מושלם? לבדוק המדריך שלנו כיצד להשיג 800 מושלם במדור המתמטיקה SAT , נכתב על ידי קלע מושלם.

התשובה הסופית היא /6$,

רוצה לבחון את עצמך מול השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT? רוצים לדעת מה הופך את השאלות הללו לקשות כל כך ואיך לפתור אותן בצורה הטובה ביותר? אם אתה מוכן באמת לנעוץ את השיניים שלך במדור המתמטיקה של SAT ולכוון את הכוונת שלך לציון המושלם הזה, אז זה המדריך בשבילך.

ריכזנו את מה שאנחנו מאמינים שהוא 15 השאלות הקשות ביותר עבור ה-SAT הנוכחי , עם אסטרטגיות והסברי תשובות לכל אחד. כל אלו הן שאלות קשות במתמטיקה SAT ממבחני תרגול SAT של מועצת המכללה, מה שאומר שהבנתן היא אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד עבור אלה מכם השואפים לשלמות.

תמונה: סוניה סביליה /ויקימדיה

סקירה קצרה של מתמטיקה SAT

החלק השלישי והרביעי של ה-SAT יהיו תמיד חלקים מתמטיים . תת-סעיף המתמטיקה הראשון (מסומן '3') עושה לֹא לאפשר לך להשתמש במחשבון, בעוד שהסעיף השני במתמטיקה (מסומן כ-'4') עושה לאפשר שימוש במחשבון. עם זאת, אל תדאג יותר מדי לגבי הסעיף ללא מחשבון: אם אסור לך להשתמש במחשבון על שאלה, זה אומר שאתה לא צריך מחשבון כדי לענות עליה.

כל תת-סעיף במתמטיקה מסודר לפי סדר קושי עולה (כאשר ככל שלוקח יותר זמן לפתור בעיה וככל שפחות אנשים עונים עליה נכון, כך זה קשה יותר). בכל תת סעיף, שאלה 1 תהיה 'קלה' ושאלה 15 תיחשב 'קשה'. עם זאת, הקושי העולה מתאפס מקל לקשה בכניסות לרשת.

לפיכך, שאלות בחירה מרובה מסודרות בדרגת קושי עולה (שאלות 1 ו-2 יהיו הקלות ביותר, שאלות 14 ו-15 יהיו הקשות ביותר), אך רמת הקושי מתאפסת עבור קטע הרשת (כלומר, שאלות 16 ו-17 יהיו שוב 'קל' ושאלות 19 ו-20 יהיו קשות מאוד).

עם מעט מאוד יוצאי דופן, אם כן, הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה SAT יתקבצו בסוף מקטעי הבחירה המרובה או במחצית השנייה של שאלות הרשת. עם זאת, בנוסף למיקום שלהם במבחן, לשאלות אלה יש גם כמה מאפיינים משותפים אחרים. בעוד דקה, נסתכל על שאלות לדוגמה וכיצד לפתור אותן, ולאחר מכן ננתח אותן כדי להבין מה משותף לסוגי השאלות הללו.

אבל ראשית: האם אתה צריך להתמקד בשאלות המתמטיקה הקשות ביותר עכשיו?

אם אתה רק התחלת בהכנה ללימודים שלך (או אם פשוט דילגת על השלב הראשון והמכריע הזה), בהחלט עצור ועשה מבחן תרגול מלא כדי לאמוד את רמת הניקוד הנוכחית שלך. עיין במדריך שלנו ל כל מבחני התרגול החינמיים של SAT הזמינים באינטרנט ואז לשבת לעשות מבחן בבת אחת.

הדרך הטובה ביותר להעריך את הרמה הנוכחית שלך היא פשוט לגשת למבחן תרגול ה-SAT כאילו הוא אמיתי, תוך הקפדה על תזמון קפדני ולעבוד ישר עם ההפסקות המותרות בלבד (אנחנו יודעים - כנראה לא הדרך המועדפת עליך לבלות שבת). לאחר שיש לך מושג טוב על הרמה הנוכחית ועל דירוג האחוזון שלך, תוכל להגדיר אבני דרך ויעדים עבור הציון האולטימטיבי שלך במתמטיקה SAT.

אם אתה קולע כרגע בטווח של 200-400 או 400-600 במתמטיקה SAT, ההימור הטוב ביותר שלך הוא קודם כל לעיין במדריך שלנו לשיפור הציון שלך במתמטיקה להיות בעקביות על או מעל 600 לפני שתתחיל בניסיון להתמודד עם הבעיות המתמטיות הקשות ביותר במבחן.

עם זאת, אם אתה כבר מקבל ציון מעל 600 בסעיף המתמטיקה וברצונך לבחון את החוזק שלך עבור ה-SAT האמיתי, אז בהחלט המשך לשאר המדריך הזה. אם אתה מכוון למושלם (או קרוב ל) , אז תצטרך לדעת איך נראות השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT וכיצד לפתור אותן. ולמרבה המזל, זה בדיוק מה שנעשה.

אַזהָרָה: מכיוון שיש מספר מוגבל של מבחני תרגול SAT רשמיים , מומלץ להמתין לקריאת מאמר זה עד שניסית את כל ארבעת מבחני התרגול הרשמיים הראשונים או את רובם (שכן רוב השאלות להלן נלקחו מהמבחנים הללו). אם אתה חושש לקלקל את הבדיקות האלה, הפסק לקרוא את המדריך הזה עכשיו; חזור וקרא אותו לאחר שתסיים אותם.

עכשיו בואו נעבור לרשימת השאלות שלנו (וואו)!

תמונה: נייטקס /DeviantArt

15 השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT

עכשיו כשאתה בטוח שאתה צריך לנסות את השאלות האלה, בוא נצלול ישר פנימה! אספנו עבורך 15 מהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT כדי לנסות להלן, יחד עם הנחיות כיצד לקבל את התשובה (אם אתה המום).

אין מחשבון SAT שאלות מתמטיות

שאלה 1

$$C=5/9(F-32)$$

המשוואה למעלה מראה כיצד הטמפרטורה $F$, הנמדדת במעלות פרנהייט, מתייחסת לטמפרטורה $C$, הנמדדת במעלות צלזיוס. בהתבסס על המשוואה, מה מהבאים חייב להיות נכון?

1. עליית טמפרטורה של מעלה אחת פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של $5/9$ מעלות צלזיוס.
2. עליית טמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה בטמפרטורה של 1.8 מעלות פרנהייט.
3. עליית טמפרטורה של $5/9$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס.

א) רק אני
ב) II בלבד
ג) ג' בלבד
ד) I ו-II בלבד

הסבר תשובה: חשבו על המשוואה כמשוואה לקו

$$y=mx+b$$

איפה במקרה הזה

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

אוֹ

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

אתה יכול לראות שהשיפוע של הגרף הוא ${5}/{9}$, כלומר עבור עלייה של מעלה אחת פרנהייט, העלייה היא ${5}/{9}$ של מעלה אחת צלזיוס.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

לכן, משפט אני נכון. זה שווה ערך לאמירה שעלייה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה של ${9}/{5}$ מעלות פרנהייט.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

מכיוון ש-${9}/{5}$ = 1.8, הצהרה II נכונה.

התשובה היחידה שנכונה הן במשפט I והן במשפט II היא ד , אבל אם יש לך זמן ואתה רוצה להיות יסודי לחלוטין, אתה יכול גם לבדוק אם משפט III (עלייה של ${5}/{9}$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס) נכונה :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (which is ≠ 1)$$

עלייה של $5/9$ מעלות פרנהייט מובילה לעלייה של ${25}/{81}$, לא מעלה אחת, צלזיוס, ולכן משפט III אינו נכון.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 2

המשוואה${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$נכון לכל הערכים של $x≠2/a$, כאשר $a$ הוא קבוע.

מה הערך של $a$?

א) -16
ב) -3
ג) 3
ד) 16

הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו. הדרך המהירה יותר היא להכפיל כל צד של המשוואה הנתונה ב-$ax-2$ (כדי שתוכל להיפטר מהשבר). כאשר אתה מכפיל כל צד ב-$ax-2$, אתה אמור לקבל:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

לאחר מכן עליך להכפיל את $(-8x-3)$ ו-$(ax-2)$ באמצעות FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

לאחר מכן, הקטינו בצד ימין של המשוואה

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

מכיוון שהמקדמים של האיבר $x^2$ צריכים להיות שווים משני צדי המשוואה, $−8a = 24$, או $a = −3$.

האפשרות האחרת שהיא ארוכה ומייגעת יותר היא לנסות לחבר את כל אפשרויות התשובה עבור a ולראות איזו בחירת תשובה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים. שוב, זו האפשרות הארוכה יותר, ואני לא ממליץ עליה עבור ה-SAT בפועל מכיוון שהיא תבזבז יותר מדי זמן.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 3

אם $3x-y = 12$, מה הערך של ${8^x}/{2^y}$?

א) $2^{12}$
ב) $4^4$
ג) $8^2$
ד) לא ניתן לקבוע את הערך מהמידע שניתן.

הסבר תשובה: גישה אחת היא לבטא

$${8^x}/{2^y}$$

כך שהמונה והמכנה באים לידי ביטוי באותו בסיס. מכיוון ש-2 ו-8 הן חזקות של 2, החלפה של $2^3$ ב-8 במונה ${8^x}/{2^y}$ נותנת

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

שאפשר לכתוב מחדש

$${2^3x}/{2^y}$$

מכיוון שלמונה ולמכנה של יש בסיס משותף, ניתן לשכתב את הביטוי הזה כ-$2^(3x−y)$. בשאלה כתוב ש$3x − y = 12$, אז אפשר להחליף את המעריך ב-12, $3x − y$, כלומר

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

התשובה הסופית היא א.

שאלה 4

נקודות A ו-B שוכנות על מעגל עם רדיוס 1, ולקשת ${AB}↖⌢$ יש אורך של $π/3$. איזה שבר מהיקף המעגל הוא אורך הקשת ${AB}↖⌢$?

הסבר תשובה: כדי להבין את התשובה לשאלה זו, תחילה תצטרך לדעת את הנוסחה למציאת היקף מעגל.

ההיקף, $C$, של מעגל הוא $C = 2πr$, כאשר $r$ הוא רדיוס המעגל. עבור המעגל הנתון עם רדיוס 1, ההיקף הוא $C = 2(π)(1)$, או $C = 2π$.

כדי למצוא איזה חלק מההיקף הוא אורך ${AB}↖⌢$, חלקו את אורך הקשת בהיקף, מה שנותן $π/3 ÷ 2π$. חלוקה זו יכולה להיות מיוצגת על ידי $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

ניתן לשכתב את השבר $1/6$ גם כ-$0.166$ או $0.167$.

התשובה הסופית היא $1/6$, $0.166$ או $0.167$.

שאלה 5

$${8-i}/{3-2i}$$

אם הביטוי למעלה נכתב מחדש בצורה $a+bi$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים ממשיים, מה הערך של $a$? (הערה: $i=√{-1}$)

הסבר תשובה: כדי לכתוב מחדש ${8-i}/{3-2i}$ בצורה הסטנדרטית $a + bi$, עליך להכפיל את המונה והמכנה של ${8-i}/{3-2i}$ בצמוד , $3 + 2i$. זה שווה

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

מכיוון ש$i^2=-1$, ניתן להקטין את השבר האחרון הזה בפשטות

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

מה שמפשט עוד יותר ל-$2 + i$. לכן, כאשר ${8-i}/{3-2i}$ נכתב מחדש בצורה הסטנדרטית a + bi, הערך של a הוא 2.

התשובה הסופית היא א.

שאלה 6

במשולש $ABC$, המידה של $∠B$ היא 90°, $BC=16$ ו-$AC$=20. משולש $DEF$ דומה למשולש $ABC$, כאשר הקודקודים $D$, $E$ ו-$F$ תואמים לקודקודים $A$, $B$ ו-$C$, בהתאמה, וכל צד של המשולש $ DEF$ הוא $1/3$ אורך הצלע המתאימה במשולש $ABC$. מה הערך של $sinF$?

הסבר תשובה: משולש ABC הוא משולש ישר זווית עם הזווית הישרה שלו ב-B. לכן, $ov {AC}$ הוא התחתון של משולש ישר זווית ABC, ו-$ov {AB}$ ו-$ov {BC}$ הם הרגליים של משולש ישר זווית ABC. לפי משפט פיתגורס,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

מכיוון שמשולש DEF דומה למשולש ABC, כאשר קודקוד F מתאים לקודקוד C, המידה של $זוית ∠ {F}$ שווה למידת $זוית ∠ {C}$. לכן, $sin F = sin C$. מאורכי הצלעות של משולש ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

לכן, $sinF ={3}/{5}$.

התשובה הסופית היא ${3}/{5}$ או 0.6.

שאלות מתמטיות SAT המותרות במחשבון

שאלה 7

הטבלה הלא מלאה למעלה מסכמת את מספר התלמידים שמאליים ותלמידי ימין לפי מגדר עבור תלמידי כיתה ח' בחטיבת הביניים קייזל. יש פי 5 סטודנטיות ימניות מאשר סטודנטיות שמאליות, ויש פי 9 סטודנטים ימניים מאשר סטודנטים שמאליים. אם יש בסך הכל 18 תלמידים שמאליים ו-122 תלמידים ימניים בבית הספר, מה מהבאים הכי קרוב להסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה? (הערה: נניח שאף אחד מתלמידי כיתה ח' אינו ימני וגם שמאלני).

א) 0.410
ב) 0.357
ג) 0.333
ד) 0.250

הסבר תשובה: על מנת לפתור בעיה זו, עליך ליצור שתי משוואות באמצעות שני משתנים ($x$ ו-$y$) והמידע שניתן לך. תן $x$ להיות מספר הסטודנטיות השמאליות ותן $y$ להיות מספר הסטודנטים השמאליים. באמצעות המידע שניתן בבעיה, מספר הסטודנטיות הימניות יהיה $5x$ ומספר הסטודנטים הימניים יהיה $9y$. מכיוון שהמספר הכולל של תלמידים שמאליים הוא 18 והמספר הכולל של תלמידים ימניים הוא 122, מערכת המשוואות שלהלן חייבת להיות נכונה:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

כאשר אתה פותר מערכת משוואות זו, אתה מקבל $x = 10$ ו-$y = 8$. כך, 5*10, או 50, מתוך 122 תלמידות ימניות הן נשים. לכן, ההסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה היא ${50}/{122}$, אשר לאלף הקרוב ביותר הוא 0.410.

התשובה הסופית היא א.

שאלות 8 ו-9

השתמש במידע הבא הן עבור שאלה 7 והן עבור שאלה 8.

אם קונים נכנסים לחנות בקצב ממוצע של $r$ קונים לדקה וכל אחד נשאר בחנות זמן ממוצע של $T$ דקות, יינתן המספר הממוצע של קונים בחנות, $N$, בכל זמן נתון לפי הנוסחה $N=rT$. מערכת יחסים זו ידועה בשם חוק ליטל.

הבעלים של חנות עסקאות טובות מעריך שבשעות הפעילות נכנסים לחנות בממוצע 3 קונים בדקה וכל אחד מהם שוהה בממוצע 15 דקות. בעל החנות משתמש בחוק ליטל כדי להעריך שיש 45 קונים בחנות בכל עת.

שאלה 8

ניתן להחיל את חוק ליטל על כל חלק בחנות, כגון מחלקה מסוימת או קווי הקופה. בעל החנות קובע כי במהלך שעות הפעילות כ-84 קונים בשעה מבצעים רכישה וכל אחד מהקונים הללו מבלה בממוצע 5 דקות בתור לקופה. בכל עת במהלך שעות הפעילות, בערך כמה קונים בממוצע ממתינים בתור לרכישה בחנות עסקאות טובות?

הסבר תשובה: מכיוון שהשאלה קובעת שניתן להחיל את החוק של ליטל על כל חלק בודד בחנות (לדוגמה, רק קו התשלום), אז המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת הוא $N = rT $, כאשר $r$ הוא מספר הקונים הנכנסים לקו התשלום בדקה ו-$T$ הוא מספר הדקות הממוצע שכל קונה מבלה בקו התשלום.

מכיוון ש-84 קונים בשעה מבצעים רכישה, 84 קונים בשעה נכנסים לקו התשלום. עם זאת, יש להמיר את זה למספר הקונים בדקה (כדי לשמש עם $T = 5$). מכיוון שיש 60 דקות בשעה אחת, התעריף הוא ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1.4$ קונים לדקה. שימוש בנוסחה הנתונה עם $r = 1.4$ ו-$T = 5$ תשואות

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

לכן, המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת במהלך שעות העבודה הוא 7.

התשובה הסופית היא 7.

שאלה 9

הבעלים של חנות עסקאות טובות פותח חנות חדשה ברחבי העיר. לגבי החנות החדשה מעריך הבעלים כי בשעות הפעילות עומדים על 90 קונים בממוצע לכלשָׁעָהנכנסים לחנות וכל אחד מהם נשאר בממוצע 12 דקות. מספר הקונים הממוצע בחנות החדשה בכל עת הוא כמה אחוזים פחות ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת? (הערה: התעלם מסמל האחוז בעת הזנת התשובה שלך. לדוגמה, אם התשובה היא 42.1%, הזן 42.1)

הסבר תשובה: לפי המידע המקורי שנמסר, מספר הקונים הממוצע המשוער בחנות המקורית בכל עת (N) הוא 45. בשאלה נכתב כי בחנות החדשה מעריך המנהל כי בממוצע 90 קונים בשעה (60 דקות) נכנסים לחנות, שזה שווה ערך ל-1.5 קונים בדקה (ר). עוד מעריך המנהל שכל קונה שוהה בחנות 12 דקות בממוצע (T). לפיכך, לפי חוק ליטל, יש בממוצע $N = rT = (1.5)(12) = 18$ קונים בחנות החדשה בכל עת. זה

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

אחוז קטן ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת.

התשובה הסופית היא 60.

שאלה 10

במישור $xy$, הנקודה $(p,r)$ נמצאת על הישר עם המשוואה $y=x+b$, כאשר $b$ הוא קבוע. הנקודה עם הקואורדינטות $(2p, 5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$. אם $p≠0$, מה הערך של $r/p$?

א) $2/5$

ב) $3/4$

ג) $4/3$

ד) $5/2$

הסבר תשובה: מכיוון שהנקודה $(p,r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $p$ ב-$x$ ו-$r$ ב-$y$ במשוואה $y=x+b$ נותנת $r=p+b$, או $i b$ = $i r-i p $.

באופן דומה, מכיוון שהנקודה $(2p,5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $2p$ ב-$x$ ו-$5r$ ב-$y$ במשוואה $y=2x+b$ נותנת:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

לאחר מכן, נוכל להגדיר את שתי המשוואות שוות ל-$b$ שוות זו לזו ולפשט:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

לבסוף, כדי למצוא את $r/p$, עלינו לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-$p$ וב-$4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

התשובה הנכונה היא ב , $3/4$.

אם בחרת באפשרויות A ו-D, ייתכן שיצרת את התשובה שלך בצורה שגויה מתוך המקדמים בנקודה $(2p, 5r)$. אם בחרת באפשרות C, ייתכן שבלבלת בין $r$ לבין $p$.

שים לב שבעוד שזה נמצא בקטע המחשבון של ה-SAT, אתה לחלוטין לא צריך את המחשבון שלך כדי לפתור את זה!

שאלה 11

ממגורת תבואה בנויה משני קונוסים עגולים ימניים ומגליל עגול ימני עם מידות פנימיות המיוצגות על ידי האיור שלמעלה. מהבאים, מה הכי קרוב לנפח ממגורת התבואה, במטר מעוקב?

א) 261.8
ב) 785.4
ג) 916.3
ד) 1047.2

הסבר תשובה: את נפח ממגורת התבואה ניתן למצוא על ידי הוספת נפחי כל המוצקים מהם היא מורכבת (גליל ושני קונוסים). הממגורה מורכבת מצילינדר (עם גובה 10 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל) ושני קונוסים (כל אחד בגובה 5 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל). הנוסחאות שניתנו בתחילת קטע מתמטיקה SAT:

נפח של קונוס

$$V={1}/{3}πr^2h$$

נפח של צילינדר

$$V=πr^2h$$

ניתן להשתמש כדי לקבוע את הנפח הכולל של הממגורה. מכיוון שלשני הקונוסים מימדים זהים, הנפח הכולל, במטר מעוקב, של הממגורה ניתן על ידי

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

שזה בערך שווה ל-1,047.2 רגל מעוקב.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 12

אם $x$ הוא הממוצע (ממוצע אריתמטי) של $m$ ו-$9$, $y$ הוא הממוצע של $2m$ ו-$15$, ו-$z$ הוא הממוצע של $3m$ ו-$18$, מה זה הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ במונחים של $m$?

א) $m+6$
ב) $m+7$
ג) 2 מיליון דולר+14 דולר
ד) 3 מיליון דולר + 21 דולר

הסבר תשובה: מכיוון שהממוצע (ממוצע אריתמטי) של שני מספרים שווה לסכום שני המספרים חלקי 2, המשוואות $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$נכון. הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ ניתן על ידי ${x + y + z}/{3}$. החלפת הביטויים ב-m עבור כל משתנה ($x$, $y$, $z$) נותנת

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

ניתן לפשט את השבר הזה ל-$m + 7$.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 13

הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ מתוארת במישור $xy$ למעלה. אם $k$ הוא קבוע כך שלמשוואה $f(x)=k$ יש שלושה פתרונות אמיתיים, איזה מהבאים יכול להיות הערך של $k$?

הסבר תשובה: המשוואה $f(x) = k$ נותנת את הפתרונות למערכת המשוואות

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ו

$$y = k$$

פתרון אמיתי של מערכת של שתי משוואות מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים של שתי המשוואות במישור $xy$.

הגרף של $y = k$ הוא קו אופקי המכיל את הנקודה $(0, k)$ וחוצה את גרף המשוואה המעוקבת שלוש פעמים (שכן יש לו שלושה פתרונות אמיתיים). בהינתן הגרף, הקו האופקי היחיד שיחצה את המשוואה המעוקבת שלוש פעמים הוא הקו עם המשוואה $y = −3$, או $f(x) = −3$. לכן, $k$ הוא $-3$.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 14

$$q={1/2}nv^2$$

ניתן למצוא את הלחץ הדינמי $q$ שנוצר על ידי נוזל שנע במהירות $v$ באמצעות הנוסחה שלמעלה, כאשר $n$ היא הצפיפות הקבועה של הנוזל. מהנדס אווירונאוטיקה משתמש בנוסחה למצוא את הלחץ הדינמי של נוזל שנע במהירות $v$ ואותו נוזל שנע במהירות של 1.5$v$. מה היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר ללחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר?

הסבר תשובה: כדי לפתור בעיה זו, עליך להגדיר משוואות עם משתנים. תן $q_1$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר שנע במהירות $v_1$, ותן $q_2$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר שנע במהירות $v_2$. לאחר מכן

$$v_2 =1.5v_1$$

בהינתן המשוואה $q = {1}/{2}nv^2$, החלפת הלחץ והמהירות הדינמיים של הנוזל המהיר יותר נותנת $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. מכיוון ש-$v_2 =1.5v_1$, ניתן להחליף את הביטוי $1.5v_1$ ב-$v_2$ במשוואה זו, ונותן $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. על ידי ריבוע של $1.5$, אתה יכול לשכתב את המשוואה הקודמת בתור

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

לכן, היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר הוא

$${q2}/{q1} = {2.25 q_1}/{q_1}= 2.25$$

התשובה הסופית היא 2.25 או 9/4.

שאלה 15

עבור פולינום $p(x)$, הערך של $p(3)$ הוא $-2$. איזה מהבאים חייב להיות נכון לגבי $p(x)$?

א) $x-5$ הוא גורם של $p(x)$.
ב) $x-2$ הוא גורם של $p(x)$.
ג) $x+2$ הוא גורם של $p(x)$.
ד) היתרה כאשר $p(x)$ מחולק ב$x-3$ היא $-2$.

הסבר תשובה: אם הפולינום $p(x)$ מחולק בפולינום בצורה $x+k$ (המהווה את כל אפשרויות התשובות האפשריות בשאלה זו), ניתן לכתוב את התוצאה כ

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

כאשר $q(x)$ הוא פולינום ו-$r$ הוא השארית. מכיוון ש$x + k$ הוא פולינום של מדרגה-1 (כלומר הוא כולל רק $x^1$ ולא מעריכים גבוהים יותר), השאר הוא מספר ממשי.

לכן, ניתן לכתוב את $p(x)$ מחדש כ-$p(x) = (x + k)q(x) + r$, כאשר $r$ הוא מספר ממשי.

השאלה קובעת ש$p(3) = -2$, אז זה חייב להיות נכון

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את כל התשובות האפשריות. אם התשובה היא A, B או C, $r$ יהיה $0$, ואילו אם התשובה היא D, $r$ יהיה $-2$.

א. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=1$

ב. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=2$

ג. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)={-2}/{5}$

ד. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

זה יהיה תמיד להיות אמיתי לא משנה מה זה $q(3)$.

מבין אפשרויות התשובה, היחידה ש צריך היה נכון לגבי $p(x)$ הוא D, שהשאר כאשר $p(x)$ מחולק ב-$x-3$ הוא -2.

התשובה הסופית היא ד.

מגיע לך כל התנומות לאחר ריצת השאלות האלה.

מה המשותף לשאלות המתמטיקה הקשות ביותר ב-SAT?

חשוב להבין מה הופך את השאלות הקשות הללו ל'קשות'. על ידי כך, תוכל גם להבין ולפתור שאלות דומות כשאתה רואה אותן ביום המבחן, כמו גם לקבל אסטרטגיה טובה יותר לזיהוי ותיקון שגיאות מתמטיקה קודמות שלך ב-SAT.

בחלק זה, נבחן את המשותף לשאלות הללו וניתן דוגמאות מכל סוג. חלק מהסיבות לכך שהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה הן השאלות הקשות ביותר במתמטיקה היא בגלל שהן:

מס' 1: בדוק כמה מושגים מתמטיים בבת אחת

כאן, עלינו להתמודד עם מספרים ושברים דמיוניים בבת אחת.

סוד ההצלחה: חשבו באיזו מתמטיקה ישימה תוכלו להשתמש כדי לפתור את הבעיה, בצעו צעד אחד בכל פעם ונסה כל טכניקה עד שתמצא אחת שעובדת!

מס' 2: כרוך בהרבה שלבים

זכור: ככל שאתה צריך לנקוט יותר צעדים, כך קל יותר להתבלבל איפשהו לאורך הקו!

עלינו לפתור את הבעיה הזו בשלבים (ביצוע מספר ממוצעים) כדי לפתוח את שאר התשובות באפקט דומינו. זה יכול להיות מבלבל, במיוחד אם אתה לחוץ או שנגמר לך הזמן.

סוד ההצלחה: קח את זה לאט, קח את זה צעד אחר צעד, ובדוק שוב את העבודה שלך כדי שלא תעשה טעויות!

מס' 3: בדוק מושגים שיש לך היכרות מוגבלת איתם

לדוגמה, תלמידים רבים מכירים פחות פונקציות מאשר עם שברים ואחוזים, ולכן רוב שאלות התפקוד נחשבות לבעיות 'קושי גבוה'.

אם אינך יודע את דרכך בפונקציות, זו תהיה בעיה לא פשוטה.

סוד ההצלחה: סקור מושגים מתמטיים שאין לך כל כך בקיאות בהם, כגון פונקציות. אנו ממליצים להשתמש במדריכי הסקירה החינמיים שלנו SAT Math.

מס' 4: מנוסחים בדרכים חריגות או מפותלות

זה יכול להיות קשה להבין בדיוק מהן שאלות מסוימות שואל , הרבה פחות להבין איך לפתור אותם. זה נכון במיוחד כאשר השאלה ממוקמת בסוף הסעיף, ואוזל לכם הזמן.

מכיוון ששאלה זו מספקת כל כך הרבה מידע ללא דיאגרמה, זה יכול להיות קשה להתלבט בזמן המוגבל המותר.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח את מה שמתבקש ממך וצייר תרשים אם זה מועיל לך.

#5: השתמש במשתנים רבים ושונים

עם כל כך הרבה משתנים שונים במשחק, די קל להתבלבל.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח מה שואלים אותך, ושקול אם חיבור מספרים הוא אסטרטגיה טובה לפתור את הבעיה (זה לא יהיה עבור השאלה שלמעלה, אלא עבור שאלות רבות אחרות משתנות SAT).

הטייק אווי

ה-SAT הוא מרתון וככל שתתכוננו אליו טוב יותר, כך תרגישו טוב יותר ביום המבחן. לדעת איך להתמודד עם השאלות הקשות ביותר שהמבחן יכול להטיל עליך יגרום לקחת את ה-SAT האמיתי להיראות הרבה פחות מרתיע.

אם הרגשת שהשאלות האלה קלות, הקפד לא לזלזל בהשפעת האדרנלין והעייפות על יכולתך לפתור בעיות. בזמן שאתה ממשיך ללמוד, הקפד תמיד על הנחיות התזמון הנכונות ונסו לגשת למבחנים מלאים במידת האפשר. זוהי הדרך הטובה ביותר ליצור מחדש את סביבת הבדיקה בפועל, כך שתוכל להתכונן לעסקה האמיתית.

אם הרגשת שהשאלות האלה מאתגרות, הקפד לחזק את הידע שלך במתמטיקה על ידי עיון במדריכי נושא המתמטיקה האישיים שלנו עבור ה-SAT. שם תראה הסברים מפורטים יותר של הנושאים המדוברים וכן פירוט תשובות מפורט יותר.

מה הלאה?

הרגשת שהשאלות האלה קשות יותר ממה שציפית? עיין בכל הנושאים המכוסים בסעיף מתמטיקה SAT ולאחר מכן שים לב אילו קטעים היו קשים במיוחד עבורך. לאחר מכן, עיין במדריכי המתמטיקה האישיים שלנו כדי לעזור לך לחזק כל אחד מהאזורים החלשים הללו.

נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? המדריך שלנו יעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את הציון שלך.

שואפים לציון מושלם? לבדוק המדריך שלנו כיצד להשיג 800 מושלם במדור המתמטיקה SAT , נכתב על ידי קלע מושלם.

רוצה לבחון את עצמך מול השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT? רוצים לדעת מה הופך את השאלות הללו לקשות כל כך ואיך לפתור אותן בצורה הטובה ביותר? אם אתה מוכן באמת לנעוץ את השיניים שלך במדור המתמטיקה של SAT ולכוון את הכוונת שלך לציון המושלם הזה, אז זה המדריך בשבילך.

ריכזנו את מה שאנחנו מאמינים שהוא 15 השאלות הקשות ביותר עבור ה-SAT הנוכחי , עם אסטרטגיות והסברי תשובות לכל אחד. כל אלו הן שאלות קשות במתמטיקה SAT ממבחני תרגול SAT של מועצת המכללה, מה שאומר שהבנתן היא אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד עבור אלה מכם השואפים לשלמות.

תמונה: סוניה סביליה /ויקימדיה

סקירה קצרה של מתמטיקה SAT

החלק השלישי והרביעי של ה-SAT יהיו תמיד חלקים מתמטיים . תת-סעיף המתמטיקה הראשון (מסומן '3') עושה לֹא לאפשר לך להשתמש במחשבון, בעוד שהסעיף השני במתמטיקה (מסומן כ-'4') עושה לאפשר שימוש במחשבון. עם זאת, אל תדאג יותר מדי לגבי הסעיף ללא מחשבון: אם אסור לך להשתמש במחשבון על שאלה, זה אומר שאתה לא צריך מחשבון כדי לענות עליה.

כל תת-סעיף במתמטיקה מסודר לפי סדר קושי עולה (כאשר ככל שלוקח יותר זמן לפתור בעיה וככל שפחות אנשים עונים עליה נכון, כך זה קשה יותר). בכל תת סעיף, שאלה 1 תהיה 'קלה' ושאלה 15 תיחשב 'קשה'. עם זאת, הקושי העולה מתאפס מקל לקשה בכניסות לרשת.

לפיכך, שאלות בחירה מרובה מסודרות בדרגת קושי עולה (שאלות 1 ו-2 יהיו הקלות ביותר, שאלות 14 ו-15 יהיו הקשות ביותר), אך רמת הקושי מתאפסת עבור קטע הרשת (כלומר, שאלות 16 ו-17 יהיו שוב 'קל' ושאלות 19 ו-20 יהיו קשות מאוד).

עם מעט מאוד יוצאי דופן, אם כן, הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה SAT יתקבצו בסוף מקטעי הבחירה המרובה או במחצית השנייה של שאלות הרשת. עם זאת, בנוסף למיקום שלהם במבחן, לשאלות אלה יש גם כמה מאפיינים משותפים אחרים. בעוד דקה, נסתכל על שאלות לדוגמה וכיצד לפתור אותן, ולאחר מכן ננתח אותן כדי להבין מה משותף לסוגי השאלות הללו.

אבל ראשית: האם אתה צריך להתמקד בשאלות המתמטיקה הקשות ביותר עכשיו?

אם אתה רק התחלת בהכנה ללימודים שלך (או אם פשוט דילגת על השלב הראשון והמכריע הזה), בהחלט עצור ועשה מבחן תרגול מלא כדי לאמוד את רמת הניקוד הנוכחית שלך. עיין במדריך שלנו ל כל מבחני התרגול החינמיים של SAT הזמינים באינטרנט ואז לשבת לעשות מבחן בבת אחת.

הדרך הטובה ביותר להעריך את הרמה הנוכחית שלך היא פשוט לגשת למבחן תרגול ה-SAT כאילו הוא אמיתי, תוך הקפדה על תזמון קפדני ולעבוד ישר עם ההפסקות המותרות בלבד (אנחנו יודעים - כנראה לא הדרך המועדפת עליך לבלות שבת). לאחר שיש לך מושג טוב על הרמה הנוכחית ועל דירוג האחוזון שלך, תוכל להגדיר אבני דרך ויעדים עבור הציון האולטימטיבי שלך במתמטיקה SAT.

אם אתה קולע כרגע בטווח של 200-400 או 400-600 במתמטיקה SAT, ההימור הטוב ביותר שלך הוא קודם כל לעיין במדריך שלנו לשיפור הציון שלך במתמטיקה להיות בעקביות על או מעל 600 לפני שתתחיל בניסיון להתמודד עם הבעיות המתמטיות הקשות ביותר במבחן.

עם זאת, אם אתה כבר מקבל ציון מעל 600 בסעיף המתמטיקה וברצונך לבחון את החוזק שלך עבור ה-SAT האמיתי, אז בהחלט המשך לשאר המדריך הזה. אם אתה מכוון למושלם (או קרוב ל) , אז תצטרך לדעת איך נראות השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT וכיצד לפתור אותן. ולמרבה המזל, זה בדיוק מה שנעשה.

אַזהָרָה: מכיוון שיש מספר מוגבל של מבחני תרגול SAT רשמיים , מומלץ להמתין לקריאת מאמר זה עד שניסית את כל ארבעת מבחני התרגול הרשמיים הראשונים או את רובם (שכן רוב השאלות להלן נלקחו מהמבחנים הללו). אם אתה חושש לקלקל את הבדיקות האלה, הפסק לקרוא את המדריך הזה עכשיו; חזור וקרא אותו לאחר שתסיים אותם.

עכשיו בואו נעבור לרשימת השאלות שלנו (וואו)!

תמונה: נייטקס /DeviantArt

15 השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT

עכשיו כשאתה בטוח שאתה צריך לנסות את השאלות האלה, בוא נצלול ישר פנימה! אספנו עבורך 15 מהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT כדי לנסות להלן, יחד עם הנחיות כיצד לקבל את התשובה (אם אתה המום).

אין מחשבון SAT שאלות מתמטיות

שאלה 1

$$C=5/9(F-32)$$

המשוואה למעלה מראה כיצד הטמפרטורה $F$, הנמדדת במעלות פרנהייט, מתייחסת לטמפרטורה $C$, הנמדדת במעלות צלזיוס. בהתבסס על המשוואה, מה מהבאים חייב להיות נכון?

1. עליית טמפרטורה של מעלה אחת פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של $5/9$ מעלות צלזיוס.
2. עליית טמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה בטמפרטורה של 1.8 מעלות פרנהייט.
3. עליית טמפרטורה של $5/9$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס.

א) רק אני
ב) II בלבד
ג) ג' בלבד
ד) I ו-II בלבד

הסבר תשובה: חשבו על המשוואה כמשוואה לקו

$$y=mx+b$$

איפה במקרה הזה

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

אוֹ

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

אתה יכול לראות שהשיפוע של הגרף הוא ${5}/{9}$, כלומר עבור עלייה של מעלה אחת פרנהייט, העלייה היא ${5}/{9}$ של מעלה אחת צלזיוס.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

לכן, משפט אני נכון. זה שווה ערך לאמירה שעלייה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה של ${9}/{5}$ מעלות פרנהייט.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

מכיוון ש-${9}/{5}$ = 1.8, הצהרה II נכונה.

התשובה היחידה שנכונה הן במשפט I והן במשפט II היא ד , אבל אם יש לך זמן ואתה רוצה להיות יסודי לחלוטין, אתה יכול גם לבדוק אם משפט III (עלייה של ${5}/{9}$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס) נכונה :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (which is ≠ 1)$$

עלייה של $5/9$ מעלות פרנהייט מובילה לעלייה של ${25}/{81}$, לא מעלה אחת, צלזיוס, ולכן משפט III אינו נכון.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 2

המשוואה${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$נכון לכל הערכים של $x≠2/a$, כאשר $a$ הוא קבוע.

מה הערך של $a$?

א) -16
ב) -3
ג) 3
ד) 16

הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו. הדרך המהירה יותר היא להכפיל כל צד של המשוואה הנתונה ב-$ax-2$ (כדי שתוכל להיפטר מהשבר). כאשר אתה מכפיל כל צד ב-$ax-2$, אתה אמור לקבל:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

לאחר מכן עליך להכפיל את $(-8x-3)$ ו-$(ax-2)$ באמצעות FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

לאחר מכן, הקטינו בצד ימין של המשוואה

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

מכיוון שהמקדמים של האיבר $x^2$ צריכים להיות שווים משני צדי המשוואה, $−8a = 24$, או $a = −3$.

האפשרות האחרת שהיא ארוכה ומייגעת יותר היא לנסות לחבר את כל אפשרויות התשובה עבור a ולראות איזו בחירת תשובה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים. שוב, זו האפשרות הארוכה יותר, ואני לא ממליץ עליה עבור ה-SAT בפועל מכיוון שהיא תבזבז יותר מדי זמן.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 3

אם $3x-y = 12$, מה הערך של ${8^x}/{2^y}$?

א) $2^{12}$
ב) $4^4$
ג) $8^2$
ד) לא ניתן לקבוע את הערך מהמידע שניתן.

הסבר תשובה: גישה אחת היא לבטא

$${8^x}/{2^y}$$

כך שהמונה והמכנה באים לידי ביטוי באותו בסיס. מכיוון ש-2 ו-8 הן חזקות של 2, החלפה של $2^3$ ב-8 במונה ${8^x}/{2^y}$ נותנת

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

שאפשר לכתוב מחדש

$${2^3x}/{2^y}$$

מכיוון שלמונה ולמכנה של יש בסיס משותף, ניתן לשכתב את הביטוי הזה כ-$2^(3x−y)$. בשאלה כתוב ש$3x − y = 12$, אז אפשר להחליף את המעריך ב-12, $3x − y$, כלומר

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

התשובה הסופית היא א.

שאלה 4

נקודות A ו-B שוכנות על מעגל עם רדיוס 1, ולקשת ${AB}↖⌢$ יש אורך של $π/3$. איזה שבר מהיקף המעגל הוא אורך הקשת ${AB}↖⌢$?

הסבר תשובה: כדי להבין את התשובה לשאלה זו, תחילה תצטרך לדעת את הנוסחה למציאת היקף מעגל.

ההיקף, $C$, של מעגל הוא $C = 2πr$, כאשר $r$ הוא רדיוס המעגל. עבור המעגל הנתון עם רדיוס 1, ההיקף הוא $C = 2(π)(1)$, או $C = 2π$.

כדי למצוא איזה חלק מההיקף הוא אורך ${AB}↖⌢$, חלקו את אורך הקשת בהיקף, מה שנותן $π/3 ÷ 2π$. חלוקה זו יכולה להיות מיוצגת על ידי $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

ניתן לשכתב את השבר $1/6$ גם כ-$0.166$ או $0.167$.

התשובה הסופית היא $1/6$, $0.166$ או $0.167$.

שאלה 5

$${8-i}/{3-2i}$$

אם הביטוי למעלה נכתב מחדש בצורה $a+bi$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים ממשיים, מה הערך של $a$? (הערה: $i=√{-1}$)

הסבר תשובה: כדי לכתוב מחדש ${8-i}/{3-2i}$ בצורה הסטנדרטית $a + bi$, עליך להכפיל את המונה והמכנה של ${8-i}/{3-2i}$ בצמוד , $3 + 2i$. זה שווה

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

מכיוון ש$i^2=-1$, ניתן להקטין את השבר האחרון הזה בפשטות

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

מה שמפשט עוד יותר ל-$2 + i$. לכן, כאשר ${8-i}/{3-2i}$ נכתב מחדש בצורה הסטנדרטית a + bi, הערך של a הוא 2.

התשובה הסופית היא א.

שאלה 6

במשולש $ABC$, המידה של $∠B$ היא 90°, $BC=16$ ו-$AC$=20. משולש $DEF$ דומה למשולש $ABC$, כאשר הקודקודים $D$, $E$ ו-$F$ תואמים לקודקודים $A$, $B$ ו-$C$, בהתאמה, וכל צד של המשולש $ DEF$ הוא $1/3$ אורך הצלע המתאימה במשולש $ABC$. מה הערך של $sinF$?

הסבר תשובה: משולש ABC הוא משולש ישר זווית עם הזווית הישרה שלו ב-B. לכן, $ov {AC}$ הוא התחתון של משולש ישר זווית ABC, ו-$ov {AB}$ ו-$ov {BC}$ הם הרגליים של משולש ישר זווית ABC. לפי משפט פיתגורס,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

מכיוון שמשולש DEF דומה למשולש ABC, כאשר קודקוד F מתאים לקודקוד C, המידה של $זוית ∠ {F}$ שווה למידת $זוית ∠ {C}$. לכן, $sin F = sin C$. מאורכי הצלעות של משולש ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

לכן, $sinF ={3}/{5}$.

התשובה הסופית היא ${3}/{5}$ או 0.6.

שאלות מתמטיות SAT המותרות במחשבון

שאלה 7

הטבלה הלא מלאה למעלה מסכמת את מספר התלמידים שמאליים ותלמידי ימין לפי מגדר עבור תלמידי כיתה ח' בחטיבת הביניים קייזל. יש פי 5 סטודנטיות ימניות מאשר סטודנטיות שמאליות, ויש פי 9 סטודנטים ימניים מאשר סטודנטים שמאליים. אם יש בסך הכל 18 תלמידים שמאליים ו-122 תלמידים ימניים בבית הספר, מה מהבאים הכי קרוב להסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה? (הערה: נניח שאף אחד מתלמידי כיתה ח' אינו ימני וגם שמאלני).

א) 0.410
ב) 0.357
ג) 0.333
ד) 0.250

הסבר תשובה: על מנת לפתור בעיה זו, עליך ליצור שתי משוואות באמצעות שני משתנים ($x$ ו-$y$) והמידע שניתן לך. תן $x$ להיות מספר הסטודנטיות השמאליות ותן $y$ להיות מספר הסטודנטים השמאליים. באמצעות המידע שניתן בבעיה, מספר הסטודנטיות הימניות יהיה $5x$ ומספר הסטודנטים הימניים יהיה $9y$. מכיוון שהמספר הכולל של תלמידים שמאליים הוא 18 והמספר הכולל של תלמידים ימניים הוא 122, מערכת המשוואות שלהלן חייבת להיות נכונה:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

כאשר אתה פותר מערכת משוואות זו, אתה מקבל $x = 10$ ו-$y = 8$. כך, 5*10, או 50, מתוך 122 תלמידות ימניות הן נשים. לכן, ההסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה היא ${50}/{122}$, אשר לאלף הקרוב ביותר הוא 0.410.

התשובה הסופית היא א.

שאלות 8 ו-9

השתמש במידע הבא הן עבור שאלה 7 והן עבור שאלה 8.

אם קונים נכנסים לחנות בקצב ממוצע של $r$ קונים לדקה וכל אחד נשאר בחנות זמן ממוצע של $T$ דקות, יינתן המספר הממוצע של קונים בחנות, $N$, בכל זמן נתון לפי הנוסחה $N=rT$. מערכת יחסים זו ידועה בשם חוק ליטל.

הבעלים של חנות עסקאות טובות מעריך שבשעות הפעילות נכנסים לחנות בממוצע 3 קונים בדקה וכל אחד מהם שוהה בממוצע 15 דקות. בעל החנות משתמש בחוק ליטל כדי להעריך שיש 45 קונים בחנות בכל עת.

שאלה 8

ניתן להחיל את חוק ליטל על כל חלק בחנות, כגון מחלקה מסוימת או קווי הקופה. בעל החנות קובע כי במהלך שעות הפעילות כ-84 קונים בשעה מבצעים רכישה וכל אחד מהקונים הללו מבלה בממוצע 5 דקות בתור לקופה. בכל עת במהלך שעות הפעילות, בערך כמה קונים בממוצע ממתינים בתור לרכישה בחנות עסקאות טובות?

הסבר תשובה: מכיוון שהשאלה קובעת שניתן להחיל את החוק של ליטל על כל חלק בודד בחנות (לדוגמה, רק קו התשלום), אז המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת הוא $N = rT $, כאשר $r$ הוא מספר הקונים הנכנסים לקו התשלום בדקה ו-$T$ הוא מספר הדקות הממוצע שכל קונה מבלה בקו התשלום.

מכיוון ש-84 קונים בשעה מבצעים רכישה, 84 קונים בשעה נכנסים לקו התשלום. עם זאת, יש להמיר את זה למספר הקונים בדקה (כדי לשמש עם $T = 5$). מכיוון שיש 60 דקות בשעה אחת, התעריף הוא ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1.4$ קונים לדקה. שימוש בנוסחה הנתונה עם $r = 1.4$ ו-$T = 5$ תשואות

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

לכן, המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת במהלך שעות העבודה הוא 7.

התשובה הסופית היא 7.

שאלה 9

הבעלים של חנות עסקאות טובות פותח חנות חדשה ברחבי העיר. לגבי החנות החדשה מעריך הבעלים כי בשעות הפעילות עומדים על 90 קונים בממוצע לכלשָׁעָהנכנסים לחנות וכל אחד מהם נשאר בממוצע 12 דקות. מספר הקונים הממוצע בחנות החדשה בכל עת הוא כמה אחוזים פחות ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת? (הערה: התעלם מסמל האחוז בעת הזנת התשובה שלך. לדוגמה, אם התשובה היא 42.1%, הזן 42.1)

הסבר תשובה: לפי המידע המקורי שנמסר, מספר הקונים הממוצע המשוער בחנות המקורית בכל עת (N) הוא 45. בשאלה נכתב כי בחנות החדשה מעריך המנהל כי בממוצע 90 קונים בשעה (60 דקות) נכנסים לחנות, שזה שווה ערך ל-1.5 קונים בדקה (ר). עוד מעריך המנהל שכל קונה שוהה בחנות 12 דקות בממוצע (T). לפיכך, לפי חוק ליטל, יש בממוצע $N = rT = (1.5)(12) = 18$ קונים בחנות החדשה בכל עת. זה

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

אחוז קטן ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת.

התשובה הסופית היא 60.

שאלה 10

במישור $xy$, הנקודה $(p,r)$ נמצאת על הישר עם המשוואה $y=x+b$, כאשר $b$ הוא קבוע. הנקודה עם הקואורדינטות $(2p, 5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$. אם $p≠0$, מה הערך של $r/p$?

א) $2/5$

ב) $3/4$

ג) $4/3$

ד) $5/2$

הסבר תשובה: מכיוון שהנקודה $(p,r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $p$ ב-$x$ ו-$r$ ב-$y$ במשוואה $y=x+b$ נותנת $r=p+b$, או $i b$ = $i r-i p $.

באופן דומה, מכיוון שהנקודה $(2p,5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $2p$ ב-$x$ ו-$5r$ ב-$y$ במשוואה $y=2x+b$ נותנת:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

לאחר מכן, נוכל להגדיר את שתי המשוואות שוות ל-$b$ שוות זו לזו ולפשט:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

לבסוף, כדי למצוא את $r/p$, עלינו לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-$p$ וב-$4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

התשובה הנכונה היא ב , $3/4$.

אם בחרת באפשרויות A ו-D, ייתכן שיצרת את התשובה שלך בצורה שגויה מתוך המקדמים בנקודה $(2p, 5r)$. אם בחרת באפשרות C, ייתכן שבלבלת בין $r$ לבין $p$.

שים לב שבעוד שזה נמצא בקטע המחשבון של ה-SAT, אתה לחלוטין לא צריך את המחשבון שלך כדי לפתור את זה!

שאלה 11

ממגורת תבואה בנויה משני קונוסים עגולים ימניים ומגליל עגול ימני עם מידות פנימיות המיוצגות על ידי האיור שלמעלה. מהבאים, מה הכי קרוב לנפח ממגורת התבואה, במטר מעוקב?

א) 261.8
ב) 785.4
ג) 916.3
ד) 1047.2

הסבר תשובה: את נפח ממגורת התבואה ניתן למצוא על ידי הוספת נפחי כל המוצקים מהם היא מורכבת (גליל ושני קונוסים). הממגורה מורכבת מצילינדר (עם גובה 10 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל) ושני קונוסים (כל אחד בגובה 5 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל). הנוסחאות שניתנו בתחילת קטע מתמטיקה SAT:

נפח של קונוס

$$V={1}/{3}πr^2h$$

נפח של צילינדר

$$V=πr^2h$$

ניתן להשתמש כדי לקבוע את הנפח הכולל של הממגורה. מכיוון שלשני הקונוסים מימדים זהים, הנפח הכולל, במטר מעוקב, של הממגורה ניתן על ידי

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

שזה בערך שווה ל-1,047.2 רגל מעוקב.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 12

אם $x$ הוא הממוצע (ממוצע אריתמטי) של $m$ ו-$9$, $y$ הוא הממוצע של $2m$ ו-$15$, ו-$z$ הוא הממוצע של $3m$ ו-$18$, מה זה הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ במונחים של $m$?

א) $m+6$
ב) $m+7$
ג) 2 מיליון דולר+14 דולר
ד) 3 מיליון דולר + 21 דולר

הסבר תשובה: מכיוון שהממוצע (ממוצע אריתמטי) של שני מספרים שווה לסכום שני המספרים חלקי 2, המשוואות $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$נכון. הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ ניתן על ידי ${x + y + z}/{3}$. החלפת הביטויים ב-m עבור כל משתנה ($x$, $y$, $z$) נותנת

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

ניתן לפשט את השבר הזה ל-$m + 7$.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 13

הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ מתוארת במישור $xy$ למעלה. אם $k$ הוא קבוע כך שלמשוואה $f(x)=k$ יש שלושה פתרונות אמיתיים, איזה מהבאים יכול להיות הערך של $k$?

הסבר תשובה: המשוואה $f(x) = k$ נותנת את הפתרונות למערכת המשוואות

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ו

$$y = k$$

פתרון אמיתי של מערכת של שתי משוואות מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים של שתי המשוואות במישור $xy$.

הגרף של $y = k$ הוא קו אופקי המכיל את הנקודה $(0, k)$ וחוצה את גרף המשוואה המעוקבת שלוש פעמים (שכן יש לו שלושה פתרונות אמיתיים). בהינתן הגרף, הקו האופקי היחיד שיחצה את המשוואה המעוקבת שלוש פעמים הוא הקו עם המשוואה $y = −3$, או $f(x) = −3$. לכן, $k$ הוא $-3$.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 14

$$q={1/2}nv^2$$

ניתן למצוא את הלחץ הדינמי $q$ שנוצר על ידי נוזל שנע במהירות $v$ באמצעות הנוסחה שלמעלה, כאשר $n$ היא הצפיפות הקבועה של הנוזל. מהנדס אווירונאוטיקה משתמש בנוסחה למצוא את הלחץ הדינמי של נוזל שנע במהירות $v$ ואותו נוזל שנע במהירות של 1.5$v$. מה היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר ללחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר?

הסבר תשובה: כדי לפתור בעיה זו, עליך להגדיר משוואות עם משתנים. תן $q_1$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר שנע במהירות $v_1$, ותן $q_2$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר שנע במהירות $v_2$. לאחר מכן

$$v_2 =1.5v_1$$

בהינתן המשוואה $q = {1}/{2}nv^2$, החלפת הלחץ והמהירות הדינמיים של הנוזל המהיר יותר נותנת $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. מכיוון ש-$v_2 =1.5v_1$, ניתן להחליף את הביטוי $1.5v_1$ ב-$v_2$ במשוואה זו, ונותן $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. על ידי ריבוע של $1.5$, אתה יכול לשכתב את המשוואה הקודמת בתור

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

לכן, היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר הוא

$${q2}/{q1} = {2.25 q_1}/{q_1}= 2.25$$

התשובה הסופית היא 2.25 או 9/4.

שאלה 15

עבור פולינום $p(x)$, הערך של $p(3)$ הוא $-2$. איזה מהבאים חייב להיות נכון לגבי $p(x)$?

א) $x-5$ הוא גורם של $p(x)$.
ב) $x-2$ הוא גורם של $p(x)$.
ג) $x+2$ הוא גורם של $p(x)$.
ד) היתרה כאשר $p(x)$ מחולק ב$x-3$ היא $-2$.

הסבר תשובה: אם הפולינום $p(x)$ מחולק בפולינום בצורה $x+k$ (המהווה את כל אפשרויות התשובות האפשריות בשאלה זו), ניתן לכתוב את התוצאה כ

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

כאשר $q(x)$ הוא פולינום ו-$r$ הוא השארית. מכיוון ש$x + k$ הוא פולינום של מדרגה-1 (כלומר הוא כולל רק $x^1$ ולא מעריכים גבוהים יותר), השאר הוא מספר ממשי.

לכן, ניתן לכתוב את $p(x)$ מחדש כ-$p(x) = (x + k)q(x) + r$, כאשר $r$ הוא מספר ממשי.

השאלה קובעת ש$p(3) = -2$, אז זה חייב להיות נכון

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את כל התשובות האפשריות. אם התשובה היא A, B או C, $r$ יהיה $0$, ואילו אם התשובה היא D, $r$ יהיה $-2$.

א. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=1$

ב. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=2$

ג. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)={-2}/{5}$

ד. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

זה יהיה תמיד להיות אמיתי לא משנה מה זה $q(3)$.

מבין אפשרויות התשובה, היחידה ש צריך היה נכון לגבי $p(x)$ הוא D, שהשאר כאשר $p(x)$ מחולק ב-$x-3$ הוא -2.

התשובה הסופית היא ד.

מגיע לך כל התנומות לאחר ריצת השאלות האלה.

מה המשותף לשאלות המתמטיקה הקשות ביותר ב-SAT?

חשוב להבין מה הופך את השאלות הקשות הללו ל'קשות'. על ידי כך, תוכל גם להבין ולפתור שאלות דומות כשאתה רואה אותן ביום המבחן, כמו גם לקבל אסטרטגיה טובה יותר לזיהוי ותיקון שגיאות מתמטיקה קודמות שלך ב-SAT.

בחלק זה, נבחן את המשותף לשאלות הללו וניתן דוגמאות מכל סוג. חלק מהסיבות לכך שהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה הן השאלות הקשות ביותר במתמטיקה היא בגלל שהן:

מס' 1: בדוק כמה מושגים מתמטיים בבת אחת

כאן, עלינו להתמודד עם מספרים ושברים דמיוניים בבת אחת.

סוד ההצלחה: חשבו באיזו מתמטיקה ישימה תוכלו להשתמש כדי לפתור את הבעיה, בצעו צעד אחד בכל פעם ונסה כל טכניקה עד שתמצא אחת שעובדת!

מס' 2: כרוך בהרבה שלבים

זכור: ככל שאתה צריך לנקוט יותר צעדים, כך קל יותר להתבלבל איפשהו לאורך הקו!

עלינו לפתור את הבעיה הזו בשלבים (ביצוע מספר ממוצעים) כדי לפתוח את שאר התשובות באפקט דומינו. זה יכול להיות מבלבל, במיוחד אם אתה לחוץ או שנגמר לך הזמן.

סוד ההצלחה: קח את זה לאט, קח את זה צעד אחר צעד, ובדוק שוב את העבודה שלך כדי שלא תעשה טעויות!

מס' 3: בדוק מושגים שיש לך היכרות מוגבלת איתם

לדוגמה, תלמידים רבים מכירים פחות פונקציות מאשר עם שברים ואחוזים, ולכן רוב שאלות התפקוד נחשבות לבעיות 'קושי גבוה'.

אם אינך יודע את דרכך בפונקציות, זו תהיה בעיה לא פשוטה.

סוד ההצלחה: סקור מושגים מתמטיים שאין לך כל כך בקיאות בהם, כגון פונקציות. אנו ממליצים להשתמש במדריכי הסקירה החינמיים שלנו SAT Math.

מס' 4: מנוסחים בדרכים חריגות או מפותלות

זה יכול להיות קשה להבין בדיוק מהן שאלות מסוימות שואל , הרבה פחות להבין איך לפתור אותם. זה נכון במיוחד כאשר השאלה ממוקמת בסוף הסעיף, ואוזל לכם הזמן.

מכיוון ששאלה זו מספקת כל כך הרבה מידע ללא דיאגרמה, זה יכול להיות קשה להתלבט בזמן המוגבל המותר.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח את מה שמתבקש ממך וצייר תרשים אם זה מועיל לך.

#5: השתמש במשתנים רבים ושונים

עם כל כך הרבה משתנים שונים במשחק, די קל להתבלבל.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח מה שואלים אותך, ושקול אם חיבור מספרים הוא אסטרטגיה טובה לפתור את הבעיה (זה לא יהיה עבור השאלה שלמעלה, אלא עבור שאלות רבות אחרות משתנות SAT).

הטייק אווי

ה-SAT הוא מרתון וככל שתתכוננו אליו טוב יותר, כך תרגישו טוב יותר ביום המבחן. לדעת איך להתמודד עם השאלות הקשות ביותר שהמבחן יכול להטיל עליך יגרום לקחת את ה-SAT האמיתי להיראות הרבה פחות מרתיע.

אם הרגשת שהשאלות האלה קלות, הקפד לא לזלזל בהשפעת האדרנלין והעייפות על יכולתך לפתור בעיות. בזמן שאתה ממשיך ללמוד, הקפד תמיד על הנחיות התזמון הנכונות ונסו לגשת למבחנים מלאים במידת האפשר. זוהי הדרך הטובה ביותר ליצור מחדש את סביבת הבדיקה בפועל, כך שתוכל להתכונן לעסקה האמיתית.

אם הרגשת שהשאלות האלה מאתגרות, הקפד לחזק את הידע שלך במתמטיקה על ידי עיון במדריכי נושא המתמטיקה האישיים שלנו עבור ה-SAT. שם תראה הסברים מפורטים יותר של הנושאים המדוברים וכן פירוט תשובות מפורט יותר.

מה הלאה?

הרגשת שהשאלות האלה קשות יותר ממה שציפית? עיין בכל הנושאים המכוסים בסעיף מתמטיקה SAT ולאחר מכן שים לב אילו קטעים היו קשים במיוחד עבורך. לאחר מכן, עיין במדריכי המתמטיקה האישיים שלנו כדי לעזור לך לחזק כל אחד מהאזורים החלשים הללו.

נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? המדריך שלנו יעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את הציון שלך.

שואפים לציון מושלם? לבדוק המדריך שלנו כיצד להשיג 800 מושלם במדור המתמטיקה SAT , נכתב על ידי קלע מושלם.

שאלה 5

$${8-i}/{3-2i}$$

אם הביטוי למעלה נכתב מחדש בצורה $a+bi$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים ממשיים, מה הערך של $a$? (הערה: $i=√{-1}$)

הסבר תשובה: כדי לכתוב מחדש ${8-i}/{3-2i}$ בצורה הסטנדרטית $a + bi$, עליך להכפיל את המונה והמכנה של ${8-i}/{3-2i}$ בצמוד , + 2i$. זה שווה

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

מכיוון ש$i^2=-1$, ניתן להקטין את השבר האחרון הזה בפשטות

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

מה שמפשט עוד יותר ל- + i$. לכן, כאשר ${8-i}/{3-2i}$ נכתב מחדש בצורה הסטנדרטית a + bi, הערך של a הוא 2.

התשובה הסופית היא א.

שאלה 6

במשולש $ABC$, המידה של $∠B$ היא 90°, $BC=16$ ו-$AC$=20. משולש $DEF$ דומה למשולש $ABC$, כאשר הקודקודים $D$, $E$ ו-$F$ תואמים לקודקודים $A$, $B$ ו-$C$, בהתאמה, וכל צד של המשולש $ DEF$ הוא /3$ אורך הצלע המתאימה במשולש $ABC$. מה הערך של $sinF$?

הסבר תשובה: משולש ABC הוא משולש ישר זווית עם הזווית הישרה שלו ב-B. לכן, $ov {AC}$ הוא התחתון של משולש ישר זווית ABC, ו-$ov {AB}$ ו-$ov {BC}$ הם הרגליים של משולש ישר זווית ABC. לפי משפט פיתגורס,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

מכיוון שמשולש DEF דומה למשולש ABC, כאשר קודקוד F מתאים לקודקוד C, המידה של $זוית ∠ {F}$ שווה למידת $זוית ∠ {C}$. לכן, $sin F = sin C$. מאורכי הצלעות של משולש ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

לכן, $sinF ={3}/{5}$.

התשובה הסופית היא /{5}$ או 0.6.

שאלות מתמטיות SAT המותרות במחשבון

שאלה 7

הטבלה הלא מלאה למעלה מסכמת את מספר התלמידים שמאליים ותלמידי ימין לפי מגדר עבור תלמידי כיתה ח' בחטיבת הביניים קייזל. יש פי 5 סטודנטיות ימניות מאשר סטודנטיות שמאליות, ויש פי 9 סטודנטים ימניים מאשר סטודנטים שמאליים. אם יש בסך הכל 18 תלמידים שמאליים ו-122 תלמידים ימניים בבית הספר, מה מהבאים הכי קרוב להסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה? (הערה: נניח שאף אחד מתלמידי כיתה ח' אינו ימני וגם שמאלני).

א) 0.410
ב) 0.357
ג) 0.333
ד) 0.250

הסבר תשובה: על מנת לפתור בעיה זו, עליך ליצור שתי משוואות באמצעות שני משתנים ($x$ ו-$y$) והמידע שניתן לך. תן $x$ להיות מספר הסטודנטיות השמאליות ותן $y$ להיות מספר הסטודנטים השמאליים. באמצעות המידע שניתן בבעיה, מספר הסטודנטיות הימניות יהיה x$ ומספר הסטודנטים הימניים יהיה y$. מכיוון שהמספר הכולל של תלמידים שמאליים הוא 18 והמספר הכולל של תלמידים ימניים הוא 122, מערכת המשוואות שלהלן חייבת להיות נכונה:

$$x + y = 18$$

$x + 9y = 122$$

כאשר אתה פותר מערכת משוואות זו, אתה מקבל $x = 10$ ו-$y = 8$. כך, 5*10, או 50, מתוך 122 תלמידות ימניות הן נשים. לכן, ההסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה היא /{122}$, אשר לאלף הקרוב ביותר הוא 0.410.

שאלות 8 ו-9

השתמש במידע הבא הן עבור שאלה 7 והן עבור שאלה 8.

אם קונים נכנסים לחנות בקצב ממוצע של $r$ קונים לדקה וכל אחד נשאר בחנות זמן ממוצע של $T$ דקות, יינתן המספר הממוצע של קונים בחנות, $N$, בכל זמן נתון לפי הנוסחה $N=rT$. מערכת יחסים זו ידועה בשם חוק ליטל.

הבעלים של חנות עסקאות טובות מעריך שבשעות הפעילות נכנסים לחנות בממוצע 3 קונים בדקה וכל אחד מהם שוהה בממוצע 15 דקות. בעל החנות משתמש בחוק ליטל כדי להעריך שיש 45 קונים בחנות בכל עת.

שאלה 8

ניתן להחיל את חוק ליטל על כל חלק בחנות, כגון מחלקה מסוימת או קווי הקופה. בעל החנות קובע כי במהלך שעות הפעילות כ-84 קונים בשעה מבצעים רכישה וכל אחד מהקונים הללו מבלה בממוצע 5 דקות בתור לקופה. בכל עת במהלך שעות הפעילות, בערך כמה קונים בממוצע ממתינים בתור לרכישה בחנות עסקאות טובות?

הסבר תשובה: מכיוון שהשאלה קובעת שניתן להחיל את החוק של ליטל על כל חלק בודד בחנות (לדוגמה, רק קו התשלום), אז המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת הוא $N = rT $, כאשר $r$ הוא מספר הקונים הנכנסים לקו התשלום בדקה ו-$T$ הוא מספר הדקות הממוצע שכל קונה מבלה בקו התשלום.

מכיוון ש-84 קונים בשעה מבצעים רכישה, 84 קונים בשעה נכנסים לקו התשלום. עם זאת, יש להמיר את זה למספר הקונים בדקה (כדי לשמש עם $T = 5$). מכיוון שיש 60 דקות בשעה אחת, התעריף הוא ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1.4$ קונים לדקה. שימוש בנוסחה הנתונה עם $r = 1.4$ ו-$T = 5$ תשואות

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

לכן, המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת במהלך שעות העבודה הוא 7.

התשובה הסופית היא 7.

שאלה 9

הבעלים של חנות עסקאות טובות פותח חנות חדשה ברחבי העיר. לגבי החנות החדשה מעריך הבעלים כי בשעות הפעילות עומדים על 90 קונים בממוצע לכלשָׁעָהנכנסים לחנות וכל אחד מהם נשאר בממוצע 12 דקות. מספר הקונים הממוצע בחנות החדשה בכל עת הוא כמה אחוזים פחות ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת? (הערה: התעלם מסמל האחוז בעת הזנת התשובה שלך. לדוגמה, אם התשובה היא 42.1%, הזן 42.1)

הסבר תשובה: לפי המידע המקורי שנמסר, מספר הקונים הממוצע המשוער בחנות המקורית בכל עת (N) הוא 45. בשאלה נכתב כי בחנות החדשה מעריך המנהל כי בממוצע 90 קונים בשעה (60 דקות) נכנסים לחנות, שזה שווה ערך ל-1.5 קונים בדקה (ר). עוד מעריך המנהל שכל קונה שוהה בחנות 12 דקות בממוצע (T). לפיכך, לפי חוק ליטל, יש בממוצע $N = rT = (1.5)(12) = 18$ קונים בחנות החדשה בכל עת. זה

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

אחוז קטן ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת.

התשובה הסופית היא 60.

שאלה 10

במישור $xy$, הנקודה $(p,r)$ נמצאת על הישר עם המשוואה $y=x+b$, כאשר $b$ הוא קבוע. הנקודה עם הקואורדינטות $(2p, 5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$. אם $p≠0$, מה הערך של $r/p$?

א) /5$

ב) /4$

ג) /3$

ד) /2$

הסבר תשובה: מכיוון שהנקודה $(p,r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $p$ ב-$x$ ו-$r$ ב-$y$ במשוואה $y=x+b$ נותנת $r=p+b$, או $i b$ = $i r-i p $.

באופן דומה, מכיוון שהנקודה $(2p,5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת p$ ב-$x$ ו-r$ ב-$y$ במשוואה $y=2x+b$ נותנת:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

לאחר מכן, נוכל להגדיר את שתי המשוואות שוות ל-$b$ שוות זו לזו ולפשט:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

לבסוף, כדי למצוא את $r/p$, עלינו לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-$p$ וב-$:

p=4r$

={4r}/p$

/4=r/p$

התשובה הנכונה היא ב , /4$.

אם בחרת באפשרויות A ו-D, ייתכן שיצרת את התשובה שלך בצורה שגויה מתוך המקדמים בנקודה $(2p, 5r)$. אם בחרת באפשרות C, ייתכן שבלבלת בין $r$ לבין $p$.

שים לב שבעוד שזה נמצא בקטע המחשבון של ה-SAT, אתה לחלוטין לא צריך את המחשבון שלך כדי לפתור את זה!

שאלה 11

ממגורת תבואה בנויה משני קונוסים עגולים ימניים ומגליל עגול ימני עם מידות פנימיות המיוצגות על ידי האיור שלמעלה. מהבאים, מה הכי קרוב לנפח ממגורת התבואה, במטר מעוקב?

א) 261.8
ב) 785.4
ג) 916.3
ד) 1047.2

הסבר תשובה: את נפח ממגורת התבואה ניתן למצוא על ידי הוספת נפחי כל המוצקים מהם היא מורכבת (גליל ושני קונוסים). הממגורה מורכבת מצילינדר (עם גובה 10 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל) ושני קונוסים (כל אחד בגובה 5 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל). הנוסחאות שניתנו בתחילת קטע מתמטיקה SAT:

נפח של קונוס

$$V={1}/{3}πr^2h$$

נפח של צילינדר

$$V=πr^2h$$

ניתן להשתמש כדי לקבוע את הנפח הכולל של הממגורה. מכיוון שלשני הקונוסים מימדים זהים, הנפח הכולל, במטר מעוקב, של הממגורה ניתן על ידי

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

שזה בערך שווה ל-1,047.2 רגל מעוקב.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 12

אם $x$ הוא הממוצע (ממוצע אריתמטי) של $m$ ו-$, $y$ הוא הממוצע של m$ ו-$, ו-$z$ הוא הממוצע של m$ ו-$, מה זה הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ במונחים של $m$?

א) $m+6$
ב) $m+7$
ג) 2 מיליון דולר+14 דולר
ד) 3 מיליון דולר + 21 דולר

הסבר תשובה: מכיוון שהממוצע (ממוצע אריתמטי) של שני מספרים שווה לסכום שני המספרים חלקי 2, המשוואות $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$נכון. הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ ניתן על ידי ${x + y + z}/{3}$. החלפת הביטויים ב-m עבור כל משתנה ($x$, $y$, $z$) נותנת

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

ניתן לפשט את השבר הזה ל-$m + 7$.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 13

הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ מתוארת במישור $xy$ למעלה. אם $k$ הוא קבוע כך שלמשוואה $f(x)=k$ יש שלושה פתרונות אמיתיים, איזה מהבאים יכול להיות הערך של $k$?

הסבר תשובה: המשוואה $f(x) = k$ נותנת את הפתרונות למערכת המשוואות

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ו

$$y = k$$

פתרון אמיתי של מערכת של שתי משוואות מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים של שתי המשוואות במישור $xy$.

הגרף של $y = k$ הוא קו אופקי המכיל את הנקודה $(0, k)$ וחוצה את גרף המשוואה המעוקבת שלוש פעמים (שכן יש לו שלושה פתרונות אמיתיים). בהינתן הגרף, הקו האופקי היחיד שיחצה את המשוואה המעוקבת שלוש פעמים הוא הקו עם המשוואה $y = −3$, או $f(x) = −3$. לכן, $k$ הוא $-3$.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 14

$$q={1/2}nv^2$$

ניתן למצוא את הלחץ הדינמי $q$ שנוצר על ידי נוזל שנע במהירות $v$ באמצעות הנוסחה שלמעלה, כאשר $n$ היא הצפיפות הקבועה של הנוזל. מהנדס אווירונאוטיקה משתמש בנוסחה למצוא את הלחץ הדינמי של נוזל שנע במהירות $v$ ואותו נוזל שנע במהירות של 1.5$v$. מה היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר ללחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר?

הסבר תשובה: כדי לפתור בעיה זו, עליך להגדיר משוואות עם משתנים. תן $q_1$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר שנע במהירות $v_1$, ותן $q_2$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר שנע במהירות $v_2$. לאחר מכן

$$v_2 =1.5v_1$$

בהינתן המשוואה $q = {1}/{2}nv^2$, החלפת הלחץ והמהירות הדינמיים של הנוזל המהיר יותר נותנת $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. מכיוון ש-$v_2 =1.5v_1$, ניתן להחליף את הביטוי .5v_1$ ב-$v_2$ במשוואה זו, ונותן $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. על ידי ריבוע של .5$, אתה יכול לשכתב את המשוואה הקודמת בתור

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

לכן, היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר הוא

בחר multi table sql

$${q2}/{q1} = {2.25 q_1}/{q_1}= 2.25$$

התשובה הסופית היא 2.25 או 9/4.

שאלה 15

עבור פולינום $p(x)$, הערך של $p(3)$ הוא $-2$. איזה מהבאים חייב להיות נכון לגבי $p(x)$?

א) $x-5$ הוא גורם של $p(x)$.
ב) $x-2$ הוא גורם של $p(x)$.
ג) $x+2$ הוא גורם של $p(x)$.
ד) היתרה כאשר $p(x)$ מחולק ב$x-3$ היא $-2$.

הסבר תשובה: אם הפולינום $p(x)$ מחולק בפולינום בצורה $x+k$ (המהווה את כל אפשרויות התשובות האפשריות בשאלה זו), ניתן לכתוב את התוצאה כ

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

כאשר $q(x)$ הוא פולינום ו-$r$ הוא השארית. מכיוון ש$x + k$ הוא פולינום של מדרגה-1 (כלומר הוא כולל רק $x^1$ ולא מעריכים גבוהים יותר), השאר הוא מספר ממשי.

לכן, ניתן לכתוב את $p(x)$ מחדש כ-$p(x) = (x + k)q(x) + r$, כאשר $r$ הוא מספר ממשי.

השאלה קובעת ש$p(3) = -2$, אז זה חייב להיות נכון

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את כל התשובות האפשריות. אם התשובה היא A, B או C, $r$ יהיה

רוצה לבחון את עצמך מול השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT? רוצים לדעת מה הופך את השאלות הללו לקשות כל כך ואיך לפתור אותן בצורה הטובה ביותר? אם אתה מוכן באמת לנעוץ את השיניים שלך במדור המתמטיקה של SAT ולכוון את הכוונת שלך לציון המושלם הזה, אז זה המדריך בשבילך.

ריכזנו את מה שאנחנו מאמינים שהוא 15 השאלות הקשות ביותר עבור ה-SAT הנוכחי , עם אסטרטגיות והסברי תשובות לכל אחד. כל אלו הן שאלות קשות במתמטיקה SAT ממבחני תרגול SAT של מועצת המכללה, מה שאומר שהבנתן היא אחת הדרכים הטובות ביותר ללמוד עבור אלה מכם השואפים לשלמות.

תמונה: סוניה סביליה /ויקימדיה

סקירה קצרה של מתמטיקה SAT

החלק השלישי והרביעי של ה-SAT יהיו תמיד חלקים מתמטיים . תת-סעיף המתמטיקה הראשון (מסומן '3') עושה לֹא לאפשר לך להשתמש במחשבון, בעוד שהסעיף השני במתמטיקה (מסומן כ-'4') עושה לאפשר שימוש במחשבון. עם זאת, אל תדאג יותר מדי לגבי הסעיף ללא מחשבון: אם אסור לך להשתמש במחשבון על שאלה, זה אומר שאתה לא צריך מחשבון כדי לענות עליה.

כל תת-סעיף במתמטיקה מסודר לפי סדר קושי עולה (כאשר ככל שלוקח יותר זמן לפתור בעיה וככל שפחות אנשים עונים עליה נכון, כך זה קשה יותר). בכל תת סעיף, שאלה 1 תהיה 'קלה' ושאלה 15 תיחשב 'קשה'. עם זאת, הקושי העולה מתאפס מקל לקשה בכניסות לרשת.

לפיכך, שאלות בחירה מרובה מסודרות בדרגת קושי עולה (שאלות 1 ו-2 יהיו הקלות ביותר, שאלות 14 ו-15 יהיו הקשות ביותר), אך רמת הקושי מתאפסת עבור קטע הרשת (כלומר, שאלות 16 ו-17 יהיו שוב 'קל' ושאלות 19 ו-20 יהיו קשות מאוד).

עם מעט מאוד יוצאי דופן, אם כן, הבעיות הקשות ביותר במתמטיקה SAT יתקבצו בסוף מקטעי הבחירה המרובה או במחצית השנייה של שאלות הרשת. עם זאת, בנוסף למיקום שלהם במבחן, לשאלות אלה יש גם כמה מאפיינים משותפים אחרים. בעוד דקה, נסתכל על שאלות לדוגמה וכיצד לפתור אותן, ולאחר מכן ננתח אותן כדי להבין מה משותף לסוגי השאלות הללו.

אבל ראשית: האם אתה צריך להתמקד בשאלות המתמטיקה הקשות ביותר עכשיו?

אם אתה רק התחלת בהכנה ללימודים שלך (או אם פשוט דילגת על השלב הראשון והמכריע הזה), בהחלט עצור ועשה מבחן תרגול מלא כדי לאמוד את רמת הניקוד הנוכחית שלך. עיין במדריך שלנו ל כל מבחני התרגול החינמיים של SAT הזמינים באינטרנט ואז לשבת לעשות מבחן בבת אחת.

הדרך הטובה ביותר להעריך את הרמה הנוכחית שלך היא פשוט לגשת למבחן תרגול ה-SAT כאילו הוא אמיתי, תוך הקפדה על תזמון קפדני ולעבוד ישר עם ההפסקות המותרות בלבד (אנחנו יודעים - כנראה לא הדרך המועדפת עליך לבלות שבת). לאחר שיש לך מושג טוב על הרמה הנוכחית ועל דירוג האחוזון שלך, תוכל להגדיר אבני דרך ויעדים עבור הציון האולטימטיבי שלך במתמטיקה SAT.

אם אתה קולע כרגע בטווח של 200-400 או 400-600 במתמטיקה SAT, ההימור הטוב ביותר שלך הוא קודם כל לעיין במדריך שלנו לשיפור הציון שלך במתמטיקה להיות בעקביות על או מעל 600 לפני שתתחיל בניסיון להתמודד עם הבעיות המתמטיות הקשות ביותר במבחן.

עם זאת, אם אתה כבר מקבל ציון מעל 600 בסעיף המתמטיקה וברצונך לבחון את החוזק שלך עבור ה-SAT האמיתי, אז בהחלט המשך לשאר המדריך הזה. אם אתה מכוון למושלם (או קרוב ל) , אז תצטרך לדעת איך נראות השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT וכיצד לפתור אותן. ולמרבה המזל, זה בדיוק מה שנעשה.

אַזהָרָה: מכיוון שיש מספר מוגבל של מבחני תרגול SAT רשמיים , מומלץ להמתין לקריאת מאמר זה עד שניסית את כל ארבעת מבחני התרגול הרשמיים הראשונים או את רובם (שכן רוב השאלות להלן נלקחו מהמבחנים הללו). אם אתה חושש לקלקל את הבדיקות האלה, הפסק לקרוא את המדריך הזה עכשיו; חזור וקרא אותו לאחר שתסיים אותם.

עכשיו בואו נעבור לרשימת השאלות שלנו (וואו)!

תמונה: נייטקס /DeviantArt

15 השאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT

עכשיו כשאתה בטוח שאתה צריך לנסות את השאלות האלה, בוא נצלול ישר פנימה! אספנו עבורך 15 מהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה SAT כדי לנסות להלן, יחד עם הנחיות כיצד לקבל את התשובה (אם אתה המום).

אין מחשבון SAT שאלות מתמטיות

שאלה 1

$$C=5/9(F-32)$$

המשוואה למעלה מראה כיצד הטמפרטורה $F$, הנמדדת במעלות פרנהייט, מתייחסת לטמפרטורה $C$, הנמדדת במעלות צלזיוס. בהתבסס על המשוואה, מה מהבאים חייב להיות נכון?

1. עליית טמפרטורה של מעלה אחת פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של $5/9$ מעלות צלזיוס.
2. עליית טמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה בטמפרטורה של 1.8 מעלות פרנהייט.
3. עליית טמפרטורה של $5/9$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס.

א) רק אני
ב) II בלבד
ג) ג' בלבד
ד) I ו-II בלבד

הסבר תשובה: חשבו על המשוואה כמשוואה לקו

$$y=mx+b$$

איפה במקרה הזה

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

אוֹ

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

אתה יכול לראות שהשיפוע של הגרף הוא ${5}/{9}$, כלומר עבור עלייה של מעלה אחת פרנהייט, העלייה היא ${5}/{9}$ של מעלה אחת צלזיוס.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

לכן, משפט אני נכון. זה שווה ערך לאמירה שעלייה של מעלה אחת צלזיוס שווה לעלייה של ${9}/{5}$ מעלות פרנהייט.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

מכיוון ש-${9}/{5}$ = 1.8, הצהרה II נכונה.

התשובה היחידה שנכונה הן במשפט I והן במשפט II היא ד , אבל אם יש לך זמן ואתה רוצה להיות יסודי לחלוטין, אתה יכול גם לבדוק אם משפט III (עלייה של ${5}/{9}$ מעלות פרנהייט שווה לעלייה בטמפרטורה של מעלה אחת צלזיוס) נכונה :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (which is ≠ 1)$$

עלייה של $5/9$ מעלות פרנהייט מובילה לעלייה של ${25}/{81}$, לא מעלה אחת, צלזיוס, ולכן משפט III אינו נכון.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 2

המשוואה${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$נכון לכל הערכים של $x≠2/a$, כאשר $a$ הוא קבוע.

מה הערך של $a$?

א) -16
ב) -3
ג) 3
ד) 16

הסבר תשובה: ישנן שתי דרכים לפתור שאלה זו. הדרך המהירה יותר היא להכפיל כל צד של המשוואה הנתונה ב-$ax-2$ (כדי שתוכל להיפטר מהשבר). כאשר אתה מכפיל כל צד ב-$ax-2$, אתה אמור לקבל:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

לאחר מכן עליך להכפיל את $(-8x-3)$ ו-$(ax-2)$ באמצעות FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

לאחר מכן, הקטינו בצד ימין של המשוואה

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

מכיוון שהמקדמים של האיבר $x^2$ צריכים להיות שווים משני צדי המשוואה, $−8a = 24$, או $a = −3$.

האפשרות האחרת שהיא ארוכה ומייגעת יותר היא לנסות לחבר את כל אפשרויות התשובה עבור a ולראות איזו בחירת תשובה הופכת את שני הצדדים של המשוואה לשווים. שוב, זו האפשרות הארוכה יותר, ואני לא ממליץ עליה עבור ה-SAT בפועל מכיוון שהיא תבזבז יותר מדי זמן.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 3

אם $3x-y = 12$, מה הערך של ${8^x}/{2^y}$?

א) $2^{12}$
ב) $4^4$
ג) $8^2$
ד) לא ניתן לקבוע את הערך מהמידע שניתן.

הסבר תשובה: גישה אחת היא לבטא

$${8^x}/{2^y}$$

כך שהמונה והמכנה באים לידי ביטוי באותו בסיס. מכיוון ש-2 ו-8 הן חזקות של 2, החלפה של $2^3$ ב-8 במונה ${8^x}/{2^y}$ נותנת

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

שאפשר לכתוב מחדש

$${2^3x}/{2^y}$$

מכיוון שלמונה ולמכנה של יש בסיס משותף, ניתן לשכתב את הביטוי הזה כ-$2^(3x−y)$. בשאלה כתוב ש$3x − y = 12$, אז אפשר להחליף את המעריך ב-12, $3x − y$, כלומר

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

התשובה הסופית היא א.

שאלה 4

נקודות A ו-B שוכנות על מעגל עם רדיוס 1, ולקשת ${AB}↖⌢$ יש אורך של $π/3$. איזה שבר מהיקף המעגל הוא אורך הקשת ${AB}↖⌢$?

הסבר תשובה: כדי להבין את התשובה לשאלה זו, תחילה תצטרך לדעת את הנוסחה למציאת היקף מעגל.

ההיקף, $C$, של מעגל הוא $C = 2πr$, כאשר $r$ הוא רדיוס המעגל. עבור המעגל הנתון עם רדיוס 1, ההיקף הוא $C = 2(π)(1)$, או $C = 2π$.

כדי למצוא איזה חלק מההיקף הוא אורך ${AB}↖⌢$, חלקו את אורך הקשת בהיקף, מה שנותן $π/3 ÷ 2π$. חלוקה זו יכולה להיות מיוצגת על ידי $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

ניתן לשכתב את השבר $1/6$ גם כ-$0.166$ או $0.167$.

התשובה הסופית היא $1/6$, $0.166$ או $0.167$.

שאלה 5

$${8-i}/{3-2i}$$

אם הביטוי למעלה נכתב מחדש בצורה $a+bi$, כאשר $a$ ו-$b$ הם מספרים ממשיים, מה הערך של $a$? (הערה: $i=√{-1}$)

הסבר תשובה: כדי לכתוב מחדש ${8-i}/{3-2i}$ בצורה הסטנדרטית $a + bi$, עליך להכפיל את המונה והמכנה של ${8-i}/{3-2i}$ בצמוד , $3 + 2i$. זה שווה

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

מכיוון ש$i^2=-1$, ניתן להקטין את השבר האחרון הזה בפשטות

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

מה שמפשט עוד יותר ל-$2 + i$. לכן, כאשר ${8-i}/{3-2i}$ נכתב מחדש בצורה הסטנדרטית a + bi, הערך של a הוא 2.

התשובה הסופית היא א.

שאלה 6

במשולש $ABC$, המידה של $∠B$ היא 90°, $BC=16$ ו-$AC$=20. משולש $DEF$ דומה למשולש $ABC$, כאשר הקודקודים $D$, $E$ ו-$F$ תואמים לקודקודים $A$, $B$ ו-$C$, בהתאמה, וכל צד של המשולש $ DEF$ הוא $1/3$ אורך הצלע המתאימה במשולש $ABC$. מה הערך של $sinF$?

הסבר תשובה: משולש ABC הוא משולש ישר זווית עם הזווית הישרה שלו ב-B. לכן, $ov {AC}$ הוא התחתון של משולש ישר זווית ABC, ו-$ov {AB}$ ו-$ov {BC}$ הם הרגליים של משולש ישר זווית ABC. לפי משפט פיתגורס,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

מכיוון שמשולש DEF דומה למשולש ABC, כאשר קודקוד F מתאים לקודקוד C, המידה של $זוית ∠ {F}$ שווה למידת $זוית ∠ {C}$. לכן, $sin F = sin C$. מאורכי הצלעות של משולש ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

לכן, $sinF ={3}/{5}$.

התשובה הסופית היא ${3}/{5}$ או 0.6.

שאלות מתמטיות SAT המותרות במחשבון

שאלה 7

הטבלה הלא מלאה למעלה מסכמת את מספר התלמידים שמאליים ותלמידי ימין לפי מגדר עבור תלמידי כיתה ח' בחטיבת הביניים קייזל. יש פי 5 סטודנטיות ימניות מאשר סטודנטיות שמאליות, ויש פי 9 סטודנטים ימניים מאשר סטודנטים שמאליים. אם יש בסך הכל 18 תלמידים שמאליים ו-122 תלמידים ימניים בבית הספר, מה מהבאים הכי קרוב להסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה? (הערה: נניח שאף אחד מתלמידי כיתה ח' אינו ימני וגם שמאלני).

א) 0.410
ב) 0.357
ג) 0.333
ד) 0.250

הסבר תשובה: על מנת לפתור בעיה זו, עליך ליצור שתי משוואות באמצעות שני משתנים ($x$ ו-$y$) והמידע שניתן לך. תן $x$ להיות מספר הסטודנטיות השמאליות ותן $y$ להיות מספר הסטודנטים השמאליים. באמצעות המידע שניתן בבעיה, מספר הסטודנטיות הימניות יהיה $5x$ ומספר הסטודנטים הימניים יהיה $9y$. מכיוון שהמספר הכולל של תלמידים שמאליים הוא 18 והמספר הכולל של תלמידים ימניים הוא 122, מערכת המשוואות שלהלן חייבת להיות נכונה:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

כאשר אתה פותר מערכת משוואות זו, אתה מקבל $x = 10$ ו-$y = 8$. כך, 5*10, או 50, מתוך 122 תלמידות ימניות הן נשים. לכן, ההסתברות שתלמידה ימנית שנבחרה באקראי היא נקבה היא ${50}/{122}$, אשר לאלף הקרוב ביותר הוא 0.410.

התשובה הסופית היא א.

שאלות 8 ו-9

השתמש במידע הבא הן עבור שאלה 7 והן עבור שאלה 8.

אם קונים נכנסים לחנות בקצב ממוצע של $r$ קונים לדקה וכל אחד נשאר בחנות זמן ממוצע של $T$ דקות, יינתן המספר הממוצע של קונים בחנות, $N$, בכל זמן נתון לפי הנוסחה $N=rT$. מערכת יחסים זו ידועה בשם חוק ליטל.

הבעלים של חנות עסקאות טובות מעריך שבשעות הפעילות נכנסים לחנות בממוצע 3 קונים בדקה וכל אחד מהם שוהה בממוצע 15 דקות. בעל החנות משתמש בחוק ליטל כדי להעריך שיש 45 קונים בחנות בכל עת.

שאלה 8

ניתן להחיל את חוק ליטל על כל חלק בחנות, כגון מחלקה מסוימת או קווי הקופה. בעל החנות קובע כי במהלך שעות הפעילות כ-84 קונים בשעה מבצעים רכישה וכל אחד מהקונים הללו מבלה בממוצע 5 דקות בתור לקופה. בכל עת במהלך שעות הפעילות, בערך כמה קונים בממוצע ממתינים בתור לרכישה בחנות עסקאות טובות?

הסבר תשובה: מכיוון שהשאלה קובעת שניתן להחיל את החוק של ליטל על כל חלק בודד בחנות (לדוגמה, רק קו התשלום), אז המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת הוא $N = rT $, כאשר $r$ הוא מספר הקונים הנכנסים לקו התשלום בדקה ו-$T$ הוא מספר הדקות הממוצע שכל קונה מבלה בקו התשלום.

מכיוון ש-84 קונים בשעה מבצעים רכישה, 84 קונים בשעה נכנסים לקו התשלום. עם זאת, יש להמיר את זה למספר הקונים בדקה (כדי לשמש עם $T = 5$). מכיוון שיש 60 דקות בשעה אחת, התעריף הוא ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1.4$ קונים לדקה. שימוש בנוסחה הנתונה עם $r = 1.4$ ו-$T = 5$ תשואות

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

לכן, המספר הממוצע של קונים, $N$, בקו התשלום בכל עת במהלך שעות העבודה הוא 7.

התשובה הסופית היא 7.

שאלה 9

הבעלים של חנות עסקאות טובות פותח חנות חדשה ברחבי העיר. לגבי החנות החדשה מעריך הבעלים כי בשעות הפעילות עומדים על 90 קונים בממוצע לכלשָׁעָהנכנסים לחנות וכל אחד מהם נשאר בממוצע 12 דקות. מספר הקונים הממוצע בחנות החדשה בכל עת הוא כמה אחוזים פחות ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת? (הערה: התעלם מסמל האחוז בעת הזנת התשובה שלך. לדוגמה, אם התשובה היא 42.1%, הזן 42.1)

הסבר תשובה: לפי המידע המקורי שנמסר, מספר הקונים הממוצע המשוער בחנות המקורית בכל עת (N) הוא 45. בשאלה נכתב כי בחנות החדשה מעריך המנהל כי בממוצע 90 קונים בשעה (60 דקות) נכנסים לחנות, שזה שווה ערך ל-1.5 קונים בדקה (ר). עוד מעריך המנהל שכל קונה שוהה בחנות 12 דקות בממוצע (T). לפיכך, לפי חוק ליטל, יש בממוצע $N = rT = (1.5)(12) = 18$ קונים בחנות החדשה בכל עת. זה

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

אחוז קטן ממספר הקונים הממוצע בחנות המקורית בכל עת.

התשובה הסופית היא 60.

שאלה 10

במישור $xy$, הנקודה $(p,r)$ נמצאת על הישר עם המשוואה $y=x+b$, כאשר $b$ הוא קבוע. הנקודה עם הקואורדינטות $(2p, 5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$. אם $p≠0$, מה הערך של $r/p$?

א) $2/5$

ב) $3/4$

ג) $4/3$

ד) $5/2$

הסבר תשובה: מכיוון שהנקודה $(p,r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $p$ ב-$x$ ו-$r$ ב-$y$ במשוואה $y=x+b$ נותנת $r=p+b$, או $i b$ = $i r-i p $.

באופן דומה, מכיוון שהנקודה $(2p,5r)$ נמצאת על הקו עם המשוואה $y=2x+b$, הנקודה חייבת לעמוד במשוואה. החלפת $2p$ ב-$x$ ו-$5r$ ב-$y$ במשוואה $y=2x+b$ נותנת:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

לאחר מכן, נוכל להגדיר את שתי המשוואות שוות ל-$b$ שוות זו לזו ולפשט:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

לבסוף, כדי למצוא את $r/p$, עלינו לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-$p$ וב-$4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

התשובה הנכונה היא ב , $3/4$.

אם בחרת באפשרויות A ו-D, ייתכן שיצרת את התשובה שלך בצורה שגויה מתוך המקדמים בנקודה $(2p, 5r)$. אם בחרת באפשרות C, ייתכן שבלבלת בין $r$ לבין $p$.

שים לב שבעוד שזה נמצא בקטע המחשבון של ה-SAT, אתה לחלוטין לא צריך את המחשבון שלך כדי לפתור את זה!

שאלה 11

ממגורת תבואה בנויה משני קונוסים עגולים ימניים ומגליל עגול ימני עם מידות פנימיות המיוצגות על ידי האיור שלמעלה. מהבאים, מה הכי קרוב לנפח ממגורת התבואה, במטר מעוקב?

א) 261.8
ב) 785.4
ג) 916.3
ד) 1047.2

הסבר תשובה: את נפח ממגורת התבואה ניתן למצוא על ידי הוספת נפחי כל המוצקים מהם היא מורכבת (גליל ושני קונוסים). הממגורה מורכבת מצילינדר (עם גובה 10 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל) ושני קונוסים (כל אחד בגובה 5 רגל ורדיוס בסיס 5 רגל). הנוסחאות שניתנו בתחילת קטע מתמטיקה SAT:

נפח של קונוס

$$V={1}/{3}πr^2h$$

נפח של צילינדר

$$V=πr^2h$$

ניתן להשתמש כדי לקבוע את הנפח הכולל של הממגורה. מכיוון שלשני הקונוסים מימדים זהים, הנפח הכולל, במטר מעוקב, של הממגורה ניתן על ידי

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

שזה בערך שווה ל-1,047.2 רגל מעוקב.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 12

אם $x$ הוא הממוצע (ממוצע אריתמטי) של $m$ ו-$9$, $y$ הוא הממוצע של $2m$ ו-$15$, ו-$z$ הוא הממוצע של $3m$ ו-$18$, מה זה הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ במונחים של $m$?

א) $m+6$
ב) $m+7$
ג) 2 מיליון דולר+14 דולר
ד) 3 מיליון דולר + 21 דולר

הסבר תשובה: מכיוון שהממוצע (ממוצע אריתמטי) של שני מספרים שווה לסכום שני המספרים חלקי 2, המשוואות $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$נכון. הממוצע של $x$, $y$ ו-$z$ ניתן על ידי ${x + y + z}/{3}$. החלפת הביטויים ב-m עבור כל משתנה ($x$, $y$, $z$) נותנת

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

ניתן לפשט את השבר הזה ל-$m + 7$.

התשובה הסופית היא ב'.

שאלה 13

הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ מתוארת במישור $xy$ למעלה. אם $k$ הוא קבוע כך שלמשוואה $f(x)=k$ יש שלושה פתרונות אמיתיים, איזה מהבאים יכול להיות הערך של $k$?

הסבר תשובה: המשוואה $f(x) = k$ נותנת את הפתרונות למערכת המשוואות

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

ו

$$y = k$$

פתרון אמיתי של מערכת של שתי משוואות מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים של שתי המשוואות במישור $xy$.

הגרף של $y = k$ הוא קו אופקי המכיל את הנקודה $(0, k)$ וחוצה את גרף המשוואה המעוקבת שלוש פעמים (שכן יש לו שלושה פתרונות אמיתיים). בהינתן הגרף, הקו האופקי היחיד שיחצה את המשוואה המעוקבת שלוש פעמים הוא הקו עם המשוואה $y = −3$, או $f(x) = −3$. לכן, $k$ הוא $-3$.

התשובה הסופית היא ד.

שאלה 14

$$q={1/2}nv^2$$

ניתן למצוא את הלחץ הדינמי $q$ שנוצר על ידי נוזל שנע במהירות $v$ באמצעות הנוסחה שלמעלה, כאשר $n$ היא הצפיפות הקבועה של הנוזל. מהנדס אווירונאוטיקה משתמש בנוסחה למצוא את הלחץ הדינמי של נוזל שנע במהירות $v$ ואותו נוזל שנע במהירות של 1.5$v$. מה היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר ללחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר?

הסבר תשובה: כדי לפתור בעיה זו, עליך להגדיר משוואות עם משתנים. תן $q_1$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל האיטי יותר שנע במהירות $v_1$, ותן $q_2$ להיות הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר שנע במהירות $v_2$. לאחר מכן

$$v_2 =1.5v_1$$

בהינתן המשוואה $q = {1}/{2}nv^2$, החלפת הלחץ והמהירות הדינמיים של הנוזל המהיר יותר נותנת $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. מכיוון ש-$v_2 =1.5v_1$, ניתן להחליף את הביטוי $1.5v_1$ ב-$v_2$ במשוואה זו, ונותן $q_2 = {1}/{2}n(1.5v_1)^2$. על ידי ריבוע של $1.5$, אתה יכול לשכתב את המשוואה הקודמת בתור

$$q_2 = (2.25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2.25)q_1$$

לכן, היחס בין הלחץ הדינמי של הנוזל המהיר יותר הוא

$${q2}/{q1} = {2.25 q_1}/{q_1}= 2.25$$

התשובה הסופית היא 2.25 או 9/4.

שאלה 15

עבור פולינום $p(x)$, הערך של $p(3)$ הוא $-2$. איזה מהבאים חייב להיות נכון לגבי $p(x)$?

א) $x-5$ הוא גורם של $p(x)$.
ב) $x-2$ הוא גורם של $p(x)$.
ג) $x+2$ הוא גורם של $p(x)$.
ד) היתרה כאשר $p(x)$ מחולק ב$x-3$ היא $-2$.

הסבר תשובה: אם הפולינום $p(x)$ מחולק בפולינום בצורה $x+k$ (המהווה את כל אפשרויות התשובות האפשריות בשאלה זו), ניתן לכתוב את התוצאה כ

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

כאשר $q(x)$ הוא פולינום ו-$r$ הוא השארית. מכיוון ש$x + k$ הוא פולינום של מדרגה-1 (כלומר הוא כולל רק $x^1$ ולא מעריכים גבוהים יותר), השאר הוא מספר ממשי.

לכן, ניתן לכתוב את $p(x)$ מחדש כ-$p(x) = (x + k)q(x) + r$, כאשר $r$ הוא מספר ממשי.

השאלה קובעת ש$p(3) = -2$, אז זה חייב להיות נכון

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את כל התשובות האפשריות. אם התשובה היא A, B או C, $r$ יהיה $0$, ואילו אם התשובה היא D, $r$ יהיה $-2$.

א. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=1$

ב. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=2$

ג. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)={-2}/{5}$

ד. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

זה יהיה תמיד להיות אמיתי לא משנה מה זה $q(3)$.

מבין אפשרויות התשובה, היחידה ש צריך היה נכון לגבי $p(x)$ הוא D, שהשאר כאשר $p(x)$ מחולק ב-$x-3$ הוא -2.

התשובה הסופית היא ד.

מגיע לך כל התנומות לאחר ריצת השאלות האלה.

מה המשותף לשאלות המתמטיקה הקשות ביותר ב-SAT?

חשוב להבין מה הופך את השאלות הקשות הללו ל'קשות'. על ידי כך, תוכל גם להבין ולפתור שאלות דומות כשאתה רואה אותן ביום המבחן, כמו גם לקבל אסטרטגיה טובה יותר לזיהוי ותיקון שגיאות מתמטיקה קודמות שלך ב-SAT.

בחלק זה, נבחן את המשותף לשאלות הללו וניתן דוגמאות מכל סוג. חלק מהסיבות לכך שהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה הן השאלות הקשות ביותר במתמטיקה היא בגלל שהן:

מס' 1: בדוק כמה מושגים מתמטיים בבת אחת

כאן, עלינו להתמודד עם מספרים ושברים דמיוניים בבת אחת.

סוד ההצלחה: חשבו באיזו מתמטיקה ישימה תוכלו להשתמש כדי לפתור את הבעיה, בצעו צעד אחד בכל פעם ונסה כל טכניקה עד שתמצא אחת שעובדת!

מס' 2: כרוך בהרבה שלבים

זכור: ככל שאתה צריך לנקוט יותר צעדים, כך קל יותר להתבלבל איפשהו לאורך הקו!

עלינו לפתור את הבעיה הזו בשלבים (ביצוע מספר ממוצעים) כדי לפתוח את שאר התשובות באפקט דומינו. זה יכול להיות מבלבל, במיוחד אם אתה לחוץ או שנגמר לך הזמן.

סוד ההצלחה: קח את זה לאט, קח את זה צעד אחר צעד, ובדוק שוב את העבודה שלך כדי שלא תעשה טעויות!

מס' 3: בדוק מושגים שיש לך היכרות מוגבלת איתם

לדוגמה, תלמידים רבים מכירים פחות פונקציות מאשר עם שברים ואחוזים, ולכן רוב שאלות התפקוד נחשבות לבעיות 'קושי גבוה'.

אם אינך יודע את דרכך בפונקציות, זו תהיה בעיה לא פשוטה.

סוד ההצלחה: סקור מושגים מתמטיים שאין לך כל כך בקיאות בהם, כגון פונקציות. אנו ממליצים להשתמש במדריכי הסקירה החינמיים שלנו SAT Math.

מס' 4: מנוסחים בדרכים חריגות או מפותלות

זה יכול להיות קשה להבין בדיוק מהן שאלות מסוימות שואל , הרבה פחות להבין איך לפתור אותם. זה נכון במיוחד כאשר השאלה ממוקמת בסוף הסעיף, ואוזל לכם הזמן.

מכיוון ששאלה זו מספקת כל כך הרבה מידע ללא דיאגרמה, זה יכול להיות קשה להתלבט בזמן המוגבל המותר.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח את מה שמתבקש ממך וצייר תרשים אם זה מועיל לך.

#5: השתמש במשתנים רבים ושונים

עם כל כך הרבה משתנים שונים במשחק, די קל להתבלבל.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח מה שואלים אותך, ושקול אם חיבור מספרים הוא אסטרטגיה טובה לפתור את הבעיה (זה לא יהיה עבור השאלה שלמעלה, אלא עבור שאלות רבות אחרות משתנות SAT).

הטייק אווי

ה-SAT הוא מרתון וככל שתתכוננו אליו טוב יותר, כך תרגישו טוב יותר ביום המבחן. לדעת איך להתמודד עם השאלות הקשות ביותר שהמבחן יכול להטיל עליך יגרום לקחת את ה-SAT האמיתי להיראות הרבה פחות מרתיע.

אם הרגשת שהשאלות האלה קלות, הקפד לא לזלזל בהשפעת האדרנלין והעייפות על יכולתך לפתור בעיות. בזמן שאתה ממשיך ללמוד, הקפד תמיד על הנחיות התזמון הנכונות ונסו לגשת למבחנים מלאים במידת האפשר. זוהי הדרך הטובה ביותר ליצור מחדש את סביבת הבדיקה בפועל, כך שתוכל להתכונן לעסקה האמיתית.

אם הרגשת שהשאלות האלה מאתגרות, הקפד לחזק את הידע שלך במתמטיקה על ידי עיון במדריכי נושא המתמטיקה האישיים שלנו עבור ה-SAT. שם תראה הסברים מפורטים יותר של הנושאים המדוברים וכן פירוט תשובות מפורט יותר.

מה הלאה?

הרגשת שהשאלות האלה קשות יותר ממה שציפית? עיין בכל הנושאים המכוסים בסעיף מתמטיקה SAT ולאחר מכן שים לב אילו קטעים היו קשים במיוחד עבורך. לאחר מכן, עיין במדריכי המתמטיקה האישיים שלנו כדי לעזור לך לחזק כל אחד מהאזורים החלשים הללו.

נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? המדריך שלנו יעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את הציון שלך.

שואפים לציון מושלם? לבדוק המדריך שלנו כיצד להשיג 800 מושלם במדור המתמטיקה SAT , נכתב על ידי קלע מושלם.

א. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=1$

ב. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)=2$

ג. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

זה יכול להיות נכון, אבל רק אם $q(3)={-2}/{5}$

ד. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

זה יהיה תמיד להיות אמיתי לא משנה מה זה $q(3)$.

מבין אפשרויות התשובה, היחידה ש צריך היה נכון לגבי $p(x)$ הוא D, שהשאר כאשר $p(x)$ מחולק ב-$x-3$ הוא -2.

התשובה הסופית היא ד.

מגיע לך כל התנומות לאחר ריצת השאלות האלה.

מה המשותף לשאלות המתמטיקה הקשות ביותר ב-SAT?

חשוב להבין מה הופך את השאלות הקשות הללו ל'קשות'. על ידי כך, תוכל גם להבין ולפתור שאלות דומות כשאתה רואה אותן ביום המבחן, כמו גם לקבל אסטרטגיה טובה יותר לזיהוי ותיקון שגיאות מתמטיקה קודמות שלך ב-SAT.

בחלק זה, נבחן את המשותף לשאלות הללו וניתן דוגמאות מכל סוג. חלק מהסיבות לכך שהשאלות הקשות ביותר במתמטיקה הן השאלות הקשות ביותר במתמטיקה היא בגלל שהן:

מס' 1: בדוק כמה מושגים מתמטיים בבת אחת

כאן, עלינו להתמודד עם מספרים ושברים דמיוניים בבת אחת.

סוד ההצלחה: חשבו באיזו מתמטיקה ישימה תוכלו להשתמש כדי לפתור את הבעיה, בצעו צעד אחד בכל פעם ונסה כל טכניקה עד שתמצא אחת שעובדת!

מס' 2: כרוך בהרבה שלבים

זכור: ככל שאתה צריך לנקוט יותר צעדים, כך קל יותר להתבלבל איפשהו לאורך הקו!

עלינו לפתור את הבעיה הזו בשלבים (ביצוע מספר ממוצעים) כדי לפתוח את שאר התשובות באפקט דומינו. זה יכול להיות מבלבל, במיוחד אם אתה לחוץ או שנגמר לך הזמן.

סוד ההצלחה: קח את זה לאט, קח את זה צעד אחר צעד, ובדוק שוב את העבודה שלך כדי שלא תעשה טעויות!

מס' 3: בדוק מושגים שיש לך היכרות מוגבלת איתם

לדוגמה, תלמידים רבים מכירים פחות פונקציות מאשר עם שברים ואחוזים, ולכן רוב שאלות התפקוד נחשבות לבעיות 'קושי גבוה'.

אם אינך יודע את דרכך בפונקציות, זו תהיה בעיה לא פשוטה.

סוד ההצלחה: סקור מושגים מתמטיים שאין לך כל כך בקיאות בהם, כגון פונקציות. אנו ממליצים להשתמש במדריכי הסקירה החינמיים שלנו SAT Math.

מס' 4: מנוסחים בדרכים חריגות או מפותלות

זה יכול להיות קשה להבין בדיוק מהן שאלות מסוימות שואל , הרבה פחות להבין איך לפתור אותם. זה נכון במיוחד כאשר השאלה ממוקמת בסוף הסעיף, ואוזל לכם הזמן.

מכיוון ששאלה זו מספקת כל כך הרבה מידע ללא דיאגרמה, זה יכול להיות קשה להתלבט בזמן המוגבל המותר.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח את מה שמתבקש ממך וצייר תרשים אם זה מועיל לך.

#5: השתמש במשתנים רבים ושונים

עם כל כך הרבה משתנים שונים במשחק, די קל להתבלבל.

סוד ההצלחה: קח את הזמן שלך, נתח מה שואלים אותך, ושקול אם חיבור מספרים הוא אסטרטגיה טובה לפתור את הבעיה (זה לא יהיה עבור השאלה שלמעלה, אלא עבור שאלות רבות אחרות משתנות SAT).

הטייק אווי

ה-SAT הוא מרתון וככל שתתכוננו אליו טוב יותר, כך תרגישו טוב יותר ביום המבחן. לדעת איך להתמודד עם השאלות הקשות ביותר שהמבחן יכול להטיל עליך יגרום לקחת את ה-SAT האמיתי להיראות הרבה פחות מרתיע.

אם הרגשת שהשאלות האלה קלות, הקפד לא לזלזל בהשפעת האדרנלין והעייפות על יכולתך לפתור בעיות. בזמן שאתה ממשיך ללמוד, הקפד תמיד על הנחיות התזמון הנכונות ונסו לגשת למבחנים מלאים במידת האפשר. זוהי הדרך הטובה ביותר ליצור מחדש את סביבת הבדיקה בפועל, כך שתוכל להתכונן לעסקה האמיתית.

אם הרגשת שהשאלות האלה מאתגרות, הקפד לחזק את הידע שלך במתמטיקה על ידי עיון במדריכי נושא המתמטיקה האישיים שלנו עבור ה-SAT. שם תראה הסברים מפורטים יותר של הנושאים המדוברים וכן פירוט תשובות מפורט יותר.

מה הלאה?

הרגשת שהשאלות האלה קשות יותר ממה שציפית? עיין בכל הנושאים המכוסים בסעיף מתמטיקה SAT ולאחר מכן שים לב אילו קטעים היו קשים במיוחד עבורך. לאחר מכן, עיין במדריכי המתמטיקה האישיים שלנו כדי לעזור לך לחזק כל אחד מהאזורים החלשים הללו.

נגמר הזמן במדור המתמטיקה של SAT? המדריך שלנו יעזור לך לנצח את השעון ולמקסם את הציון שלך.

שואפים לציון מושלם? לבדוק המדריך שלנו כיצד להשיג 800 מושלם במדור המתמטיקה SAT , נכתב על ידי קלע מושלם.