לאחר שהנוסחה הריבועית והיסודות של משוואות ריבועיות תקינות, הגיע הזמן לשלב הבא של מערכת היחסים שלך עם פרבולות: ללמוד על הפרבולות שלהן. צורת קודקוד .

המשך לקרוא כדי ללמוד עוד על צורת קודקוד הפרבולה וכיצד להמיר משוואה ריבועית מצורה סטנדרטית לצורת קודקוד.

קרדיט לתמונה תכונה: SBA73 /Flickr

מדוע טופס קודקוד שימושי? סקירה

ה צורת קודקוד של משוואה היא דרך חלופית לכתוב את המשוואה של פרבולה.

בדרך כלל, תראה משוואה ריבועית כתובה כ-$ax^2+bx+c$, שכאשר היא מתוארת, תהיה פרבולה. מהצורה הזו, קל מספיק למצוא את שורשי המשוואה (שם הפרבולה פוגעת בציר $x$) על ידי הגדרת המשוואה שווה לאפס (או שימוש בנוסחה הריבועית).

אם אתה צריך למצוא את הקודקוד של פרבולה, לעומת זאת, הצורה הריבועית הסטנדרטית מועילה הרבה פחות. במקום זאת, תרצה להמיר את המשוואה הריבועית שלך לצורת קודקוד.

מהו צורת קודקוד?

בעוד שהצורה הריבועית הסטנדרטית היא $ax^2+bx+c=y$, צורת הקודקוד של משוואה ריבועית היא $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

בשתי הצורות, $y$ היא הקואורדינטה $y$, $x$ היא הקואורדינטה $x$, ו-$a$ הוא הקבוע האומר לך אם הפרבולה פונה למעלה ($+a$) או למטה ($-a$). (אני חושב על זה כאילו הפרבולה הייתה קערת תפוחים; אם יש $+a$, אני יכול להוסיף רסק תפוחים לקערה; אם יש $-a$, אני יכול לנער את רסק התפוחים מהקערה.)

ההבדל בין הצורה הסטנדרטית של הפרבולה לצורת הקודקוד הוא שצורת הקודקוד של המשוואה נותנת לך גם את קודקוד הפרבולה: $(h,k)$.

לדוגמה, תסתכל על הפרבולה המשובחת הזו, $y=3(x+4/3)^2-2$:

בהתבסס על הגרף, הקודקוד של הפרבולה נראה משהו כמו (-1.5,-2), אבל קשה לדעת בדיוק היכן הקודקוד רק מהגרף בלבד. למרבה המזל, בהתבסס על המשוואה $y=3(x+4/3)^2-2$, אנו יודעים שהקודקוד של פרבולה זו הוא $(-4/3,-2)$.

מדוע הקודקוד הוא $(-4/3,-2)$ ולא $(4/3,-2)$ (מלבד הגרף, מה שמבהיר גם את הקואורדינטות $x$- וגם $y$ של הקודקוד שלילי)?

זכור: במשוואת הקודקוד, $h$ מופחת ומוסיפים $k$ . אם יש לך $h$ שלילי או $k$ שלילי, תצטרך לוודא שאתה מפחית את $h$ השלילי ומוסיף את $k$ השלילי.

במקרה זה, המשמעות היא:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

ולכן הקודקוד הוא $(-4/3,-2)$.

אתה תמיד צריך לבדוק שוב את הסימנים החיוביים והשליליים שלך בעת כתיבת פרבולה בצורת קודקוד , במיוחד אם לקודקוד אין ערכי $x$ ו-$y$ חיוביים (או עבורכם ראשי רבעים בחוץ, אם הוא לא ב רבע I ). זה דומה לבדיקה שהיית עושה אם היית פותר את הנוסחה הריבועית ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) וצריך לוודא ששמרת את החיוביות השליליות ישירות עבור $a$s, $b$s ו-$c$s שלך.

להלן טבלה עם דוגמאות נוספות של כמה משוואות קודקוד פרבולות אחרות, יחד עם הקודקודים שלהן. שימו לב במיוחד להבדל בחלק $(x-h)^2$ של קודקוד הפרבולה טופס המשוואה כאשר הקואורדינטה $x$ של הקודקוד שלילית.

כיצד להמיר מטופס ריבועי סטנדרטי לטופס קודקוד

רוב הזמן כאשר תתבקש להמיר משוואות ריבועיות בין צורות שונות, אתה תעבור מצורה סטנדרטית ($ax^2+bx+c$) לצורת קודקוד ($a(x-h)^2+k$ ).

תהליך המרת המשוואה שלך מצורת ריבוע סטנדרטית לצורת קודקוד כרוך בביצוע קבוצה של שלבים הנקראים השלמת הריבוע. (למידע נוסף על השלמת הריבוע, הקפד לקרוא מאמר זה.)

בואו נעבור על דוגמה להמרת משוואה מצורה סטנדרטית לצורת קודקוד. נתחיל עם המשוואה $y=7x^2+42x-3/14$.

הדבר הראשון שתרצה לעשות הוא להעביר את הקבוע, או את המונח ללא $x$ או $x^2$ לידו. במקרה זה, הקבוע שלנו הוא $-3/14$. (אנחנו יודעים שכן שלילי $3/14$ מכיוון שהמשוואה הריבועית הסטנדרטית היא $ax^2+bx+c$, לא $ax^2+bx-c$.)

ראשית, ניקח את $-3/14$ הזה ונעביר אותו לצד השמאלי של המשוואה:

$y+3/14=7x^2+42x$

השלב הבא הוא להוציא את ה-7 (הערך $a$ במשוואה) מהצד הימני, כך:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

גדול! המשוואה הזו נראית הרבה יותר כמו צורת קודקוד, $y=a(x-h)^2+k$.

בשלב זה, אולי אתה חושב, 'כל מה שאני צריך לעשות עכשיו זה להעביר את ה-$3/14$ חזרה לצד הימני של המשוואה, נכון?' אבוי, לא כל כך מהר.

אם תסתכל על חלק מהמשוואה בתוך הסוגריים, תבחין בבעיה: היא לא בצורה של $(x-h)^2$. יש יותר מדי $x$s! אז עוד לא לגמרי סיימנו.

מה שאנחנו צריכים לעשות עכשיו זה החלק הכי קשה - להשלים את הריבוע.

בואו נסתכל מקרוב על החלק $x^2+6x$ של המשוואה. על מנת לחלק את $(x^2+6x)$ למשהו שדומה ל-$(x-h)^2$, נצטרך להוסיף קבוע לחלק הפנימי של הסוגריים - ונצטרך לזכור להוסיף את הקבוע הזה גם לצד השני של המשוואה (מכיוון שהמשוואה צריכה להישאר מאוזנת).

כדי להגדיר זאת (ולוודא שלא נשכח להוסיף את הקבוע לצד השני של המשוואה), ניצור רווח ריק שבו הקבוע יעבור משני צידי המשוואה:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

שימו לב שבצד שמאל של המשוואה, הקפדנו לכלול את הערך $a$ שלנו, 7, לפני הרווח שבו הקבוע שלנו ילך; זה בגלל שאנחנו לא רק מוסיפים את הקבוע לצד ימין של המשוואה, אלא אנחנו מכפילים את הקבוע בכל מה שנמצא בצד החיצוני של הסוגריים. (אם הערך של $a$ שלך הוא 1, אינך צריך לדאוג בקשר לזה.)

השלב הבא הוא להשלים את הריבוע. במקרה זה, הריבוע שאתה משלים הוא המשוואה בתוך הסוגריים - על ידי הוספת קבוע, אתה הופך אותו למשוואה שניתן לכתוב כריבוע.

כדי לחשב את הקבוע החדש הזה, קח את הערך שליד $x$ (6, במקרה זה), חלק אותו ב-2 וריבוע אותו.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. הקבוע הוא 9.

הסיבה שאנחנו חוצים את ה-6 והריבוע היא שאנחנו יודעים שבמשוואה בצורה $(x+p)(x+p)$ (שזה מה שאנחנו מנסים להגיע אליו), $px+px= 6x$, אז $p=6/2$; כדי לקבל את הקבוע $p^2$, לכן עלינו לקחת $6/2$ ($p$ שלנו) ולריבוע אותו.

כעת, החלף את הרווח הריק משני צדי המשוואה שלנו בקבוע 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

לאחר מכן, פקוד את המשוואה בתוך הסוגריים. מכיוון שהשלמנו את הריבוע, תוכל לחשב אותו כ-$(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

שלב אחרון: העבר את הערך הלא-$y$ מהצד השמאלי של המשוואה חזרה לצד ימין:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

מזל טוב! המרת בהצלחה את המשוואה שלך מצורת ריבוע סטנדרטית לצורת קודקוד.

כעת, רוב הבעיות לא רק יבקשו ממך להמיר את המשוואות שלך מצורה סטנדרטית לצורת קודקוד; הם ירצו שתיתן את הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה.

כדי להימנע מטעויות בשינויי סימנים, הבה נכתוב את משוואת צורת הקודקוד הכללית ישירות מעל משוואת צורת הקודקוד שחישבנו זה עתה:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

ואז נוכל למצוא בקלות את $h$ ו-$k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

הקודקוד של פרבולה זו נמצא בקואורדינטות $(-3,-{885/14})$.

וואו, זה היה הרבה דשדוש מספרים מסביב! למרבה המזל, המרת משוואות בכיוון השני (מקודקוד לצורה סטנדרטית) היא הרבה יותר פשוטה.

כיצד להמיר מטופס קודקוד לטופס סטנדרטי

המרת משוואות מצורת הקודקוד שלהן לצורה הריבועית הרגילה היא תהליך הרבה יותר פשוט: כל מה שאתה צריך לעשות הוא להכפיל את צורת הקודקוד.

ניקח לדוגמה את המשוואה שלנו מקודם, $y=3(x+4/3)^2-2$. כדי להפוך את זה לצורה סטנדרטית, אנו פשוט מרחיבים את הצד הימני של המשוואה:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

טאדה! המרת בהצלחה את $y=3(x+4/3)^2-2$ לצורתו $ax^2+bx+c$.

תרגול צורת פרבולה קודקוד: שאלות לדוגמה

כדי לסכם את החקירה הזו של צורת הקודקוד, יש לנו ארבע בעיות והסברים לדוגמה. בדוק אם אתה יכול לפתור את הבעיות בעצמך לפני שתקרא את ההסברים!

מספר 1: מהי צורת הקודקוד של המשוואה הריבועית $x^2+ 2.6x+1.2$?

מס' 2: המר את המשוואה $7y=91x^2-112$ לצורת קודקוד. מהו הקודקוד?

מס' 3: בהינתן המשוואה $y=2(x-3/2)^2-9$, מהן הקואורדינטות $x$ של המקום שבו משוואה זו חותכת עם ציר $x$?

מס' 4: מצא את קודקוד הפרבולה $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

תרגול צורת פרבולה קודקוד: פתרונות

#1: מהי צורת הקודקוד של המשוואה הריבועית ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

התחל בהפרדת המשתנה שאינו $x$ לצד השני של המשוואה:

$y-1.2=x^2+2.6x$

מכיוון שה$a$ שלנו (כמו ב-$ax^2+bx+c$) במשוואה המקורית שווה ל-1, אנחנו לא צריכים לחשב אותו מהצד הימני כאן (אם כי אם תרצו, תוכלו לכתוב $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

לאחר מכן, חלק את מקדם $x$ (2.6) ב-2 וריבוע אותו, ולאחר מכן הוסף את המספר המתקבל לשני הצדדים של המשוואה:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

חשב את הצד הימני של המשוואה בתוך הסוגריים:

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

לבסוף, חבר את הקבועים בצד שמאל של המשוואה, ואז העבר אותם לצד ימין.

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

$y+0.49=(x+1.3)^2$

התשובה שלנו היא $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: המר את המשוואה $7i y=91i x^2-112$ לצורת קודקוד. מהו הקודקוד?

כאשר ממירים משוואה לצורת קודקוד, אתה רוצה של$y$ יהיה מקדם של 1, אז הדבר הראשון שאנחנו הולכים לעשות הוא לחלק את שני הצדדים של המשוואה הזו ב-7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

לאחר מכן, העבר את הקבוע לצד שמאל של המשוואה:

$y+16=13x^2$

חשב את המקדם של המספר $x^2$ (ה$a$) מהצד הימני של המשוואה

$y+16=13(x^2)$

כעת, בדרך כלל תצטרך להשלים את הריבוע בצד ימין של המשוואה בתוך הסוגריים. עם זאת, $x^2$ הוא כבר ריבוע, אז אתה לא צריך לעשות שום דבר מלבד להזיז את הקבוע מהצד השמאלי של המשוואה בחזרה לצד הימני:

$y=13(x^2)-16$.

עכשיו כדי למצוא את הקודקוד:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, אז $h=0$

$+k=-16$, אז $k=-16$

קודקוד הפרבולה הוא $(0, -16)$.

#3: בהינתן המשוואה $i y=2(i x-3/2)^2-9$, מהן הקואורדינטות $i x$ של המקום שבו משוואה זו מצטלבת עם $i x$-ציר?

מכיוון שהשאלה מבקשת ממך למצוא את ה-$x$-חיזור(ים) של המשוואה, הצעד הראשון הוא להגדיר $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

עכשיו, יש כמה דרכים ללכת מכאן. הדרך הערמומית היא להשתמש בעובדה שכבר יש ריבוע כתוב במשוואת צורת הקודקוד לטובתנו.

ראשית, נעביר את הקבוע לצד השמאלי של המשוואה:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

לאחר מכן, נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-2:

$9/2=(x-3/2)^2$

עכשיו, החלק הערמומי. קח את השורש הריבועי של שני הצדדים של המשוואה:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±