במאמר זה, אנו הולכים לדון בהבדל הסימטרי בין שתי קבוצות. כאן, נדון גם במאפיינים של הבדל סימטרי בין שתי קבוצות.

מקווה, מאמר זה יעזור לך על מנת להבין את ההבדל הסימטרי בין שני סטים.

מהו הבדל סימטרי?

וריאנט נוסף של הבדל הוא ההבדל הסימטרי. נניח שיש שתי קבוצות, A ו-B. ההבדל הסימטרי בין שתי קבוצות A ו-B הוא הסט שמכיל את האלמנטים שנמצאים בשתי הקבוצות מלבד האלמנטים המשותפים.

ההבדל הסימטרי בין שני סטים נקרא גם בשם איחוד מנותק . הבדל סימטרי בין שתי קבוצות הוא קבוצה של אלמנטים שנמצאים בשתי הקבוצות אך לא בצומת שלהם. ההבדל הסימטרי בין שתי קבוצות A ו-B מיוצג על ידי א ד ב אוֹ א ? ב .

אנחנו יכולים להבין את זה באמצעות דוגמאות.

דוגמה1 נניח שיש שתי קבוצות עם כמה אלמנטים.

סט A = {1, 2, 3, 4, 5}

סט B = {3, 5}

אז, ההבדל הסימטרי בין הקבוצות הנתונות A ו-B הוא {1, 2, 4}

או, אנחנו יכולים להגיד את זה A Δ B = {1, 2, 4} .

דוגמה2 נניח שיש שתי קבוצות עם כמה אלמנטים.

קבוצה A = {a, b, c, k, m, n}

קבוצה B = {c, n}

אז, ההבדל הסימטרי בין הקבוצות הנתונות A ו-B הוא {a, b, k, m}

או, אנחנו יכולים להגיד את זה A Δ B = {a, b, k, m} .

בתרשים Venn למטה, אתה יכול לראות את ההבדל הסימטרי בין שתי הקבוצות.

החלק המוצל עם צבע העור בתרשים Venn לעיל הוא ההבדל הסימטרי בין הקבוצות הנתונות, כלומר, א ד ב .

בואו נראה כמה מהמאפיינים של הבדל סימטרי בין שתי קבוצות.

נכסים

יש כמה מהמאפיינים של הבדל סימטרי המפורטים כדלקמן;

• ההבדל הסימטרי יכול להיות מיוצג כאיחוד של שני המשלים היחסיים, כלומר,
  A Δ B = (A / B) ∪ (B / A)
• ההבדל הסימטרי בין שתי קבוצות יכול להתבטא גם כאיחוד של שתי קבוצות פחות ההצטלבות ביניהן -
  A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
• ההבדל הסימטרי הוא קומוטטיבי כמו גם אסוציאטיבי -
  A Δ B = B Δ A
  (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• הסט הריק הוא נייטרלי (במתמטיקה, אומרים שאלמנט נייטרלי הוא סוג מיוחד של אלמנט, שכאשר הוא משולב עם כל אלמנט בקבוצה לביצוע פעולה בינארית, מותיר את האלמנט ללא שינוי. הוא ידוע גם בשם אלמנט זהות ).
  A Δ ∅ = A
  A Δ A = ∅
• אם קבוצה A שווה לקבוצה B, אז ההפרש הסימטרי בין שתי הקבוצות הוא -
  A Δ B = ∅ {כאשר A = B}

'הבדל סימטרי בין שתי קבוצות' לעומת 'הבדל בין שתי קבוצות'

הבדל בין שני סטים

ההבדל בין שתי קבוצות A ו-B הוא קבוצה של כל אותם אלמנטים השייכים ל-A אך אינם שייכים ל-B והוא מסומן ב- א - ב .

דוגמא: תן A = {1, 2, 3, 4}

ו-B = {3, 4, 5, 6}

ואז A - B = {3, 4} ו-B - A = {5, 6}

הבדל סימטרי בין שני סטים

ההבדל הסימטרי בין שתי קבוצות, A ו-B, הוא הקבוצה המכילה את כל האלמנטים שנמצאים ב-A או ב-B אך לא בשניהם. זה מיוצג על ידי א ד ב אוֹ א ? ב .

דוגמא: תן A = {1, 2, 3, 4}

ו-B = {3, 4, 5, 6}

ואז A Δ B = {1, 2, 5, 6}

כעת, בואו נראה כמה דוגמאות כדי להבין את ההבדל הסימטרי בין שתי קבוצות בצורה ברורה יותר.

שאלה 1 - נניח שיש לך את הקבוצות A = {10, 15, 17, 19, 20} ו-B = {15, 16, 18}. גלה את ההבדל בין שתי קבוצות A ו-B וגלה גם את ההבדל הסימטרי ביניהן.

פתרון - נָתוּן,

יישור תמונות ב-CSS

A = {10, 15, 17, 19, 20}

ו-B = {15, 16, 18}

ההבדל בין שתי הקבוצות הוא -

A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 17, 19, 20}

ההבדל הסימטרי בין שתי הקבוצות הוא -

A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 16, 17, 18, 19, 20}

שאלה 2 - נניח שיש לך את הקבוצות A = {2, 4, 6, 8} ו-B = {2, 5, 7, 8}. גלה את ההבדל הסימטרי B Δ A. כמו כן, צייר את דיאגרמת Venn כדי לייצג את ההבדל הסימטרי בין שתי הקבוצות הנתונות.

פתרון - נתון, A = {2, 4, 6, 8} ו-B = {2, 5, 7, 8}

אנו יודעים ש- B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

בואו ננסה לפתור את השאלה צעד אחר צעד. אז, הצעד הראשון הוא למצוא את האיחוד של קבוצה A וקבוצה B.

לכן, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}

= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

לאחר מכן, עלינו לחשב את החיתוך בין שתי הקבוצות.

(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}

= {2, 8}

כעת, עלינו למצוא את ההבדל בין האיחוד וההצטלבות של קבוצות A ו-B, כפי שנאמר בנוסחה,

אז, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}

= {4, 5, 6, 7}

לכן, B Δ A = {4, 5, 6, 7}

אשר יהיה שווה ל-A Δ B, כאמור לעיל, 'ההבדל הסימטרי הוא קומוטטיבי'. כעת, נציג את ההבדל הסימטרי בין שתי הקבוצות באמצעות דיאגרמת Venn.

בתרשים Venn, ראשית, נצייר שני עיגולים המייצגים קבוצות A ו-B. כפי שחושב לעיל, החיתוך בין שתי הקבוצות הוא {2, 8}, ולכן רשמנו את האלמנטים הללו באזור המצטלב. לאחר מכן, נפרט את האלמנטים הנותרים במעגלי הסט שלהם, כלומר {4, 6} בקבוצה A ו-{5, 7} בקבוצה B. לאחר סידור האלמנטים, דיאגרמת Venn תהיה -

כאשר אנו מסתכלים על דיאגרמת Venn לעיל, קיימת קבוצה אוניברסלית U. שתי הקבוצות A ו-B הן תת-הקבוצה של קבוצה אוניברסלית U. האלמנטים {2, 8} הם האלמנטים החותכים, ולכן הם מיוצגים באזור המצטלב. האזור עם צבע כתום בהיר הוא האיחוד של קבוצות למעט האזור המצטלב. אזור זה הוא ההבדל הסימטרי בין שתי קבוצות A ו-B, והוא יוצג כ-

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}

שאלה 3 - נניח שיש לך את הקבוצות A = {5, 6, 8, 9, 10} ו-B = {2, 4, 7, 10, 19}.

הוכח שההבדל הסימטרי הוא קומוטטיבי באמצעות הקבוצות הנתונות.

פתרון - נתון, A = {5, 6, 8, 9, 10} ו-B = {2, 7, 8, 9, 10}

להוכיח: A Δ B = B Δ A

קח LHS,

A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

אז, A Δ B = {2, 5, 6, 7}

עכשיו, קח את RHS

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

אז, B Δ A = {2, 5, 6, 7}

לכן, A Δ B = B Δ A

מכאן שההבדל הסימטרי הוא קומוטטיבי.