לפני שנדון בקריטריון רוט-הורביץ, ראשית נלמד את המערכת היציבה, הלא יציבה והיציבה השולית.
הצהרת קריטריון רוט-הורביץ
קריטריון רוט הורביץ קובע שכל מערכת יכולה להיות יציבה אם ורק אם לכל השורשים של העמודה הראשונה יש אותו סימן ואם אין לה אותו סימן או שיש שינוי סימן אז מספר הסימנים משתנה בעמודה הראשונה שווה למספר השורשים של המשוואה האופיינית בחצי הימני של מישור ה-s כלומר שווה למספר השורשים עם חלקים ממשיים חיוביים.
תנאים הכרחיים אך לא מספיקים ליציבות
עלינו לעקוב אחר תנאים מסוימים כדי להפוך כל מערכת ליציבה, או שנוכל לומר שיש כמה תנאים הכרחיים כדי להפוך את המערכת ליציבה.
שקול מערכת עם משוואה אופיינית:
- כל המקדמים של המשוואה צריכים להיות בעלי אותו סימן.
- לא אמור להיות חסר מונח.
אם לכל המקדמים יש אותו סימן ואין מונחים חסרים, אין לנו ערובה שהמערכת תהיה יציבה. לשם כך, אנו משתמשים קריטריון רוט הורביץ כדי לבדוק את יציבות המערכת. אם התנאים המפורטים לעיל אינם מתקיימים, אזי המערכת אמורה להיות לא יציבה. קריטריון זה ניתן על ידי א' הורביץ ו-E.J. רוט.
היתרונות של קריטריון רוט- הורביץ
- נוכל למצוא את יציבות המערכת מבלי לפתור את המשוואה.
- אנו יכולים לקבוע בקלות את היציבות היחסית של המערכת.
- בשיטה זו נוכל לקבוע את טווח ה-K ליציבות.
- בשיטה זו נוכל לקבוע גם את נקודת החיתוך של מוקד שורש עם ציר דמיוני.
מגבלות קריטריון רוט- הורביץ
- קריטריון זה חל רק על מערכת ליניארית.
- הוא אינו מספק את המיקום המדויק של קטבים בחצי הימני והשמאלי של מישור S.
- במקרה של המשוואה האופיינית, היא תקפה רק עבור מקדמים אמיתיים.
קריטריון רוט- הורביץ
שקול את הפולינום המאפיין הבא
כאשר המקדמים a0, a1, ......................an הם כולם מאותו סימן, ואף אחד אינו אפס.
שלב 1 : סדר את כל המקדמים של המשוואה לעיל בשתי שורות:
שלב 2 : משתי שורות אלו ניצור את השורה השלישית:
שלב 3 : כעת, ניצור שורה רביעית על ידי שימוש בשורה השנייה והשלישית:
שלב 4 : נמשיך בהליך זה של יצירת שורות חדשות:
דוגמא
בדוק את יציבות המערכת אשר המשוואה האופיינית שלה ניתנת על ידי
s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0
פִּתָרוֹן
השג את חץ המקדמים כדלקמן
מכיוון שכל המקדמים בעמודה הראשונה הם מאותו סימן, כלומר חיובי, למשוואה הנתונה אין שורשים עם חלקים ממשיים חיוביים; לכן, המערכת אמורה להיות יציבה.