אם ברצוננו ללמוד את ההצהרות ההפוכות, ההפוכות והמנוגדות, עלינו לראות את המאמר הקודם שלנו, 'חיבורים לוגיים'.

חיבורים לוגיים

חיבורים לוגיים הם סוג של אופרטור המשמש לשילוב אחד או יותר מהצעה אחת. ישנם בעצם 5 סוגים של חיבורים בלוגיקת הצעה. בסעיף זה, אנו הולכים ללמוד על ההיפך, ההיפוך והניגוד של הצהרות מותנות.

הפוך, הפוך ונגד

אם יש משפט מותנה x → y, אז

• המשפט ההפוכה יהיה y → x
• ההצהרה ההפוכה תהיה ∼x → ∼y
• ההצהרה הנגדית תהיה ∼y → ∼x

הערות חשובות:

יש כמה נקודות חשובות שעלינו לזכור, המתוארות כך:

הערה 1: נוכל לכתוב רק את ההצהרות ההפוכות, ההפוכות והמנוגדות רק עבור ההצהרות המותנות x → y.

הערה 2: אם נבצע שתי פעולות, אז הפלט תמיד יהיה השלישי.

לדוגמה:

• ניתן לתאר ניגודיות כהיפוך של הפוך.
• ניתן לתאר את הקונברס כהיפוך של חומר נגדי.
• ניתן לתאר קונטרה-פוזיטיב כהיפוך של הפוך.
• ניתן לתאר הפוך כהיפוך של חומר נגדי.
• ניתן לתאר קונברס כניגוד של הפוך.
• ניתן לתאר הפוך כניגוד של הפוך.

פתק 3:

עבור משפט מותנה x → y,

תהיה תוצאה שווה בין ההצהרה ההפוכה שלו (y → x) והמשפט ההפוך (∼x → ∼y).

תהיה אותה תוצאה גם בין x → y והמשפט המנוגד שלו (∼y → ∼x).

מבוססת בעיה על Converse, Inverse ו-Contrapositive

יש כמה בעיות על בסיס ההפוכה, ההפוכה והנגדית, ונציג כמה מהן כך:

בעיה 1:

כאן נכתוב את ההפך, ההפוך והניגוד של כמה הצהרות, המוצגות להלן:

1. אם מזג האוויר יהיה שמש, אז אני אלך לבית הספר.
2. אם 3y - 2 = 10, אז x = 1.
3. אם יש מזג אוויר גשום, אז אני אצא החוצה ליהנות ממנו.
4. תקבל ציונים טובים רק אם תלמד קשה.
5. אני אלך לשוק אם בני הדודים שלי יבואו.
6. אני הולך לקולג' בכל פעם שהחברים שלי באים.
7. אני אעשה לך מסיבה רק אם אקנה שמלה טובה.
8. אם אהיה מפורסם, אז ארוויח הרבה כסף.

פִּתָרוֹן:

חלק 1:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'אם מזג האוויר יהיה שמש, אז אני אלך לבית הספר'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'אם x אז y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

x: מזג האוויר שטוף שמש

y: אני אלך לבית הספר

הצהרה הפוכה: אם אני אלך לבית הספר, אז מזג האוויר יהיה שמש.

הצהרה הפוכה: אם מזג האוויר לא יהיה שמש, אז אני לא אלך לבית הספר.

הצהרה מנוגדת: אם אני לא אלך לבית הספר, אז מזג האוויר לא יהיה שמש.

חלק 2:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'אם 3a - 2 = 10, אז a = 1'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'אם x אז y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

x: 3a ​​- 2 = 10

ו: a = 1

הצהרה הפוכה: אם a = 1, אז 3a - 2 = 10.

הצהרה הפוכה: אם 3a - 2 ≠ 10, אז a ≠ 1.

הצהרה מנוגדת: אם a ≠ 1, אז 3a - 2 ≠ 10.

חלק 3:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'אם יש מזג אוויר גשום, אז אני אצא החוצה ליהנות מזה'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'אם x אז y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

X: יש מזג אוויר גשום

Y: אני אצא החוצה ליהנות מזה

הצהרה הפוכה: אם אני אצא החוצה ליהנות מזה, אז יש מזג אוויר גשום.

הצהרה הפוכה: אם אין מזג אוויר גשום, אז אני לא אצא החוצה ליהנות ממנו.

הצהרה מנוגדת: אם אני לא אצא החוצה ליהנות מזה, אז אין מזג אוויר גשום.

חלק 4:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'תקבל ציונים טובים רק אם תלמד קשה'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'x only if y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

X: תקבלו ציונים טובים

Y: אתה לומד קשה

הצהרה הפוכה: אם תלמד קשה, תקבל ציונים טובים.

הצהרה הפוכה: אם אתה לא מקבל ציונים טובים, אז אתה לא לומד קשה.

הצהרה מנוגדת: אם לא תלמד קשה, אז לא תקבל ציונים טובים.

חלק 5:

יש לנו את הפרטים הבאים:

האמירה הנתונה היא, 'אני אלך לשוק אם בני הדודים שלי יבואו'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'y if x'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

X: בני הדודים שלי באים

Y: אני אלך לשוק

הצהרה הפוכה: אם אני אלך לשוק, אז בני הדודים שלי באים.

הצהרה הפוכה: אם בני הדודים שלי לא יבואו, אז אני לא אלך לשוק.

הצהרה מנוגדת: אם אני לא אלך לשוק, אז בני הדודים שלי לא באים.

חלק 6:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'אני הולך לקולג' בכל פעם שהחברים שלי באים'.

בהצהרה זו, ניתן להחליף את 'מתי' ב'אם'.

לאחר החלפת המשפט יהיה - 'אני הולך לקולג' אם החברים שלי באים'

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

X: החברים שלי באים

Y: אני הולך לקולג'

להפוך את המיתר ב-java

הצהרה הפוכה: אם אני הולך לקולג', אז החברים שלי באים.

הצהרה הפוכה: אם החברים שלי לא יבואו, אז אני לא אלך לקולג'.

הצהרה מנוגדת: אם אני לא הולך לקולג', אז החברים שלי לא באים.

חלק 7:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'אני אעשה לך מסיבה רק אם אקנה שמלה טובה'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'x only if y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

X: אני אתן לך מסיבה בלבד

Y: אני קונה שמלה טובה

הצהרה הפוכה: אם אקנה שמלה טובה, אז אני אעשה לך מסיבה.

הצהרה הפוכה: אם לא אעשה לך מסיבה, אני לא קונה שמלה טובה.

הצהרה מנוגדת: אם לא אקנה שמלה טובה, אז אני לא אעשה לך מסיבה.

חלק 8:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הנתונה היא, 'אם אהיה מפורסם, אז ארוויח הרבה כסף'.

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'אם x אז y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y, שבו

X: אני נעשה מפורסם

Y: אני ארוויח הרבה כסף

הצהרה הפוכה: אם אני מרוויח הרבה כסף, אז אני מתפרסם.

הצהרה הפוכה: אם לא אהיה מפורסם, אז לא ארוויח הרבה כסף.

הצהרה מנוגדת: אם לא ארוויח הרבה כסף, אז אני לא אהיה מפורסם.

בעיה 2:

כאן עלינו לקבוע משפט הפוך, כלומר, 'אני הולך לבית הספר רק אם מזג האוויר בהיר' בין כל ההצהרות הנתונות.

1. אני הולך לבית הספר אם מזג האוויר שמש
2. אם אני הולך לבית הספר, אז מזג האוויר יהיה שמש
3. אם מזג האוויר לא שמש, אז אני לא הולך לבית הספר.
4. אם אני לא הולך לבית הספר, אז מזג האוויר יהיה שמש.

פִּתָרוֹן:

יש לנו את הפרטים הבאים:

ההצהרה הניתנת היא, 'אני הולך לבית הספר רק אם מזג האוויר שמש.'

הצהרה זו חייבת להיות בצורה: 'x only if y'. אנחנו יכולים גם לכתוב את זה בתור 'אם x אז y'.

אז, הצהרה זו מכילה צורה סמלית, כלומר, x → y. ההיפך של צורה זו יהיה y → x, שבו

X: אני הולך לבית הספר

Y: מזג האוויר שטוף שמש

כפי שאנו יודעים, ההצהרה ההפוכה של ההצהרה הנתונה תהיה 'אם מזג האוויר יהיה שמש, אז אני הולך לבית הספר', שהיא בצורה 'אם y אז x'.

• ה אמירה ראשונה הוא נָכוֹן . ההצהרה הראשונה היא, 'אני הולך לבית הספר אם מזג האוויר בהיר'. הצהרה זו היא בצורת 'x אם y'. אנחנו יכולים גם לכתוב את זה בתור 'אם x אז y', מה שמציין ש'אם מזג האוויר שמש, אז אני הולך לבית הספר', שזה ההפך של משפט נתון. לכן האמירה הראשונה נכונה.
• ה אמירה שנייה הוא שֶׁקֶר . ההצהרה השנייה היא, 'אם אני הולך לבית הספר, אז מזג האוויר בהיר' והמשפט הזה הוא בצורת 'אם x אז y'. האמירה השנייה כבר ניתנת בשאלה. לכן זה לא נכון.
• ה אמירה שלישית הוא שֶׁקֶר . ההצהרה השלישית היא, 'אם מזג האוויר אינו שמש, אז אני לא הולך לבית הספר'. הצהרה זו היא בצורת '∼y → ∼x'. זה לא הפוך כי אמירה זו היא היפוך של אמירה שניתנה בשאלה. לכן האמירה הזו לא נכונה.
• ה אמירה רביעית הוא שֶׁקֶר . ההצהרה הרביעית היא, 'אם אני לא אלך לבית הספר, מזג האוויר יהיה שמש'. הצהרה זו היא בצורה '∼x → y. צורה זו היא משהו שונה כי היא לא הפוכה ולא הפוכה ולא מנוגדת. הסיבה לכך היא שצד אחד שלילי, והצד השני אינו שלילי, כך שהוא לא יתאים לאף אחת מהקטגוריות. לכן האמירה הזו לא נכונה.

מכאן שאופציה (א') נכונה.