לוגיקה של פרדיקטים עוסקת בפרדיקטים, שהם הצעות, מורכבות ממשתנים.

לוגיקה פרדיקט - הגדרה

פרדיקט הוא ביטוי של משתנה אחד או יותר שנקבע על תחום ספציפי כלשהו. פרדיקט עם משתנים יכול להיעשות הצעה על ידי הרשאה של ערך למשתנה או על ידי כימות המשתנה.

איך להשיג תאריך נוכחי ב-Java

• שקול E(x, y) מציין 'x = y'
• שקול X(a, b, c) מסמן 'a + b + c = 0'
• שקול ש-M(x, y) מציין 'x נשוי ל-y'.

מכמת:

המשתנה של הפרדיקטים מכמת על ידי מכמתים. ישנם שני סוגים של מכמת בלוגיקה של פרדיקטים - כמותית קיומית ומכמת אוניברסלי.

מכמת קיומי:

אם p(x) הוא הצעה מעל היקום U. אז הוא מסומן כ- ∃x p(x) ונקרא כ-'קיים לפחות ערך אחד ביקום של המשתנה x כך ש-p(x) נכון. הכמת ∃ נקרא הכמת הקיומי.

ישנן מספר דרכים לכתוב הצעה, עם מכמת קיומי, כלומר,

(∃x∈A)p(x) או ∃x∈A כך ש-p (x) או (∃x)p(x) או p(x) נכונים עבור כמה x ∈A.

מכמת אוניברסלי:

אם p(x) הוא הצעה על היקום U. אז הוא מסומן כ- ∀x,p(x) ונקרא כ'על כל x∈U,p(x) נכון.' הכמת ∀ נקרא מכמת אוניברסלי.

ישנן מספר דרכים לכתוב הצעה, עם מכמת אוניברסלי.

∀x∈A,p(x) או p(x), ∀x ∈A או ∀x,p(x) או p(x) נכון עבור כל x ∈A.

תכנות int c לא חתום

שלילה של הצעות כמותיות:

כאשר אנו שוללים הצעה מכומדת, כלומר, כאשר הצעה מכומדת אוניברסלית נשללת, אנו משיגים הצעה מכומדת קיומית, וכאשר הצעה מכומדת קיומית נשללת, אנו מקבלים הצעה מכומדת אוניברסלית.

שני הכללים לשלילת הצעה מכומדת הם כדלקמן. אלה נקראים גם חוק דמורגן.

דוגמה: שלל כל אחת מההצעות הבאות:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

שמש: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

שמש: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

שמש: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

הצעות עם כימים מרובים:

ניתן לכמת את ההצעה שיש לה יותר ממשתנה אחד באמצעות מכמים מרובים. ניתן לסדר את המכמים האוניברסליים המרובים בכל סדר מבלי לשנות את המשמעות של ההצעה המתקבלת. כמו כן, ניתן לסדר את המכמים הקיומיים המרובים בכל סדר מבלי לשנות את משמעות ההצעה.

ההצעה שמכילה גם מכמים אוניברסליים וגם קיומיים, לא ניתן להחליף את הסדר של אותם מכמתים מבלי לשנות את משמעות ההצעה, למשל, הטענה ∃x ∀ y p(x,y) פירושה 'יש איזה x כך ש-p (x, y) נכון לכל y.'

דוגמא: כתוב את השלילה עבור כל אחד מהדברים הבאים. קבע אם ההצהרה המתקבלת היא אמיתית או לא נכונה. נניח U = R.

1.∀ x ∃ m(x²

שמש: שלילה של ∀ x ∃ m(x²2≧ מ'). המשמעות של ∃ x ∀ m (x²≧m) הוא שקיים עבור כמה x כך ש-x²≧ מ', עבור כל מ'. ההצהרה נכונה מכיוון שיש איזה x גדול יותר כזה ש-x²≧ מ', עבור כל מ'.

2. ∃ m∀ x(x²

שמש: שלילה של ∃ m ∀ x (x²2≧ מ'). המשמעות של ∀ m∃x (x²≧m) הוא שלכל m, קיים עבור כמה x כך ש-x²≧ מ'. ההצהרה נכונה לגבי כל m, קיים עבור איזה x גדול יותר כך ש-x²≧ מ'.

jvm