מבוא

מיון הוא פעולה חיונית במדעי המחשב הכוללת סידור אלמנטים לפי סדר מסוים, כגון סדר מספרי או אלפביתי. פותחו אלגוריתמי מיון שונים, כל אחד עם מדדי זמן ויעילות. מיון זמן ליניארי הוא תת-קבוצה של אלגוריתמי מיון עם יתרון משמעותי: הם יכולים למיין סט נתון של אלמנטים בזמן ליניארי, זמן הריצה גדל באופן ליניארי עם גודל הקלט.

אלגוריתם מיון הזמן הליניארי הידוע ביותר הוא מיון יורד. מיון חישובי יעיל במיוחד כאשר טווח רכיבי הקלט ידוע וקטן יחסית. זה מבטל את הצורך להשוות בין אלמנטים, הפעולה הגוזלת זמן העיקרית באלגוריתמי מיון רבים אחרים. באמצעות ידע בתחום הקלט, מיון חישובי משיג מורכבות זמן ליניארית. מיון מספרי סורק תחילה את מערך הקלט כדי לקבוע את הספירה של כל אלמנט. לאחר מכן הוא משתמש במספרים אלה כדי לחשב את המיקומים הנכונים של האלמנטים בטבלת התוצאות המסודרות. האלגוריתם מורכב מהשלבים הבאים:

1. כדי לקבוע את הטווח, זהה את ערכי המינימום והמקסימום של מערך הקלט.
2. צור גליון עבודה אתחול עם גודל הטווח ואפסים.
3. חזור על מערך הקלט והגדל כל רכיב שנמצא.
4. שנה את גליון העבודה על ידי חישוב הסכום המצטבר כדי לקבל את המיקומים הנכונים עבור כל רכיב.
5. צור מערך פלט בגודל זהה למערך הקלט.
6. הזז שוב את מערך הקלט, הצב כל רכיב במיקום הנכון במערך הפלט בהתבסס על גליון העבודה.
7. טבלת התוצאות מכילה כעת אלמנטים ממוינים.

היתרון העיקרי של מיון יורד הוא בכך שהוא משיג מורכבות זמן לינארית של O(n), מה שהופך אותו ליעיל מאוד עבור גדלי קלט גדולים. עם זאת, תחולתו מוגבלת לתרחישים שבהם בחירת רכיבי הקלט ידועה מראש וקטן יחסית.

חשוב לציין שאלגוריתמי מיון אחרים, כגון quicksort או מיזוג, הם בדרך כלל בעלי מורכבות זמן של O(n log n), הנחשבת יעילה עבור יישומים מעשיים רבים. אלגוריתמים למיון זמן ליניארי, כגון מיון מספרי, מספקים חלופה כאשר אילוצים או מאפיינים מסוימים של הקלט מאפשרים שימוש במורכבות זמן ליניארית.

הִיסטוֹרִיָה

לאלגוריתם של מיון זמן ליניארי יש היסטוריה עשירה במדעי המחשב. ניתן לאתר את התפתחות סדר הזמן הליניארי לאמצע המאה ה-20, ותרומתם של מדענים ומתמטיקאים הייתה משמעותית. אחד מאלגוריתמי המיון הליניאריים המוקדמים ביותר הוא מיון הדלי, שהוצע על ידי הרולד H. Seward בשנת 1954. מיון דלי מחלק את רכיבי הקלט למספר סופי של דליים ולאחר מכן ממיין כל דלי בנפרד. לאלגוריתם זה יש מורכבות זמן ליניארית אם התפלגות רכיבי הקלט אחידה יחסית.

בשנת 1959, קנת אי. אייברסון הציג אלגוריתם רדיקס המשיג מורכבות זמן ליניארית. Radix ממיין אלמנטים לפי המספרים או הסימנים שלהם מהפחות משמעותי למשמעותי ביותר. הוא משתמש באלגוריתמי מיון חזקים, כגון מיון מספרי או דלי, כדי למיין את האלמנטים בכל מיקום ספרתי. מיון רדיקס הפך לפופולרי בעידן כרטיסי הניקוב ומערכות המחשב המוקדמות. עם זאת, אלגוריתם מיון הזמן הליניארי הידוע ביותר הוא ספירה, שהוצגה על ידי הרולד ה. סוורד ופיטר אליאס ב-1954 ולאחר מכן התגלה מחדש באופן עצמאי על ידי הרולד ה. 'בובי' ג'ונסון ב-1961. מיון מספרי זכה לתשומת לב רבה.

זה יעיל במיוחד כאשר טווח רכיבי הקלט ידוע וקטן יחסית. ההיסטוריה של מיון זמן ליניארי נמשכה עם פיתוחם של אלגוריתמים מיוחדים אחרים. לדוגמה, 1987, חנן סמט הציע מיון עצי הפצה בינארית, אלגוריתם מיון זמן ליניארי לנתונים רב מימדיים. במהלך השנים, החוקרים המשיכו לחקור ולשפר אלגוריתמי תזמון ליניאריים, תוך התמקדות בתרחישים ובאילוצים ספציפיים. למרות שאלגוריתמים כגון Quicksort ומיזוג נמצאים בשימוש נרחב יותר עבור יעילותם בתרחישים נוספים, אלגוריתמי מיון בזמן ליניארי מספקים חלופות חשובות כאשר נסיבות מסוימות מאפשרות לנצל את מורכבות הזמן הליניארית. באופן כללי, ההיסטוריה של מיון זמן ליניארי מאופיינת בחיפוש אחר אלגוריתמים יעילים שיכולים למיין מערכי נתונים גדולים בזמן ליניארי, תוך התגברות על המגבלות של אלגוריתמי מיון מבוססי השוואה. תרומותיהם של חוקרים שונים סללו את הדרך לפיתוח והבנה של טכניקות המיון המיוחדות הללו.

סוגי מיון זמן ליניארי

ישנם מספר אלגוריתמים שונים של מיון זמן ליניארי. שני הסוגים העיקריים הם אלגוריתמים מבוססי ספירה ואלגוריתמים מבוססי רדיקס. להלן האלגוריתמים הנפוצים ביותר למיון זמן ליניארי, מסווגים על סמך הסוגים הבאים:

אלגוריתמים מבוססי ספירה

מיון מבוסס ספירה:Counting-Based הוא אלגוריתם מיון לא השוואתי. הוא סופר את המופע של כל אלמנט מסוים במערך הקלט ומשתמש במידע זה כדי לקבוע את המיקום הנכון של כל אלמנט במערך הפלט הממוין. מיון מבוסס ספירה מניח שרכיבי הקלט הם מספרים שלמים או שניתן להוסיף אותם למספרים שלמים.

אלגוריתמים מבוססי רדיקס

מיון רדיקס:Radix Sort הוא אלגוריתם מיון שאינו מבוסס השוואה הממיין אלמנטים לפי מספרים או תווים שלהם. הוא סופר כל מספר או סימן באלמנטים מהמספר הפחות משמעותי למיון הרדיקלי המשמעותי ביותר בהנחה שרכיבי הקלט הם מספרים שלמים או מחרוזות.מיון דלי:Bucket Sort הוא גרסה של Radix Sort המחלקת אלמנטים לקבוצות קבועות על סמך הטווח או התפלגות שלהם. כל מקטע ממוין בנפרד באמצעות אלגוריתם מיון אחר או מיון רקורסיבי.מיון Radix MSD (הספרה המשמעותית ביותר):MSD Radix Sort הוא גרסה של מיון radix שמתחיל למיין אלמנטים על סמך המשמעותי ביותר שלהם. הוא מחלק באופן רקורסיבי את האלמנטים לתת-קבוצות על סמך הערך של המספר הנוכחי ומחיל את MSD Radix Sort על כל תת-קבוצה עד שכל המספרים נספרו.מיון רדיקס של LSD (ספרה הכי פחות משמעותית):LSD Radix Sort הוא וריאנט נוסף שמתחיל למיין אלמנטים על סמך הפחות משמעותי שלהם. הוא ממיין באופן רקורסיבי את האלמנטים על סמך כל מספר מהימין לשמאל ביותר, ומפיק תוצאה ממוינת. אלגוריתמי מיון מבוססי ספירה וגם מבוססי שורש משיגים מורכבות זמן ליניארית על ידי ניצול מאפיינים ספציפיים של רכיבי הקלט, כגון הטווח או המבנה הייצוגי שלהם (למשל, מספרים או תווים). עם זאת, הישימות שלהם עשויה להשתנות בהתאם למאפיינים של נתוני הקלט.

יתרונות מיון זמן ליניארי

אלגוריתמים של מיון זמן ליניארי, כגון מיון מספרי, מציעים מספר יתרונות בתרחישים ספציפיים.

יעיל עבור גדלי קלט גדולים:מורכבות הזמן של אלגוריתמי מיון זמן ליניאריים היא O(n), מה שאומר שזמן הריצה גדל באופן ליניארי עם גודל הקלט. זה הופך אותם ליעילים מאוד עבור מערכי נתונים גדולים בהשוואה לאלגוריתמי מיון מבוססי השוואה כגון Quicksort או מיזוג אלגוריתמים, שבדרך כלל יש להם מורכבות זמן של O(n log n).אין פעולות השוואה:אלגוריתמי מיון בזמן ליניארי, כגון מיון ספירה, אינם מסתמכים על השוואה אלמנטרית במקום זאת, הם משתמשים בתכונות ספציפיות או במידע על רכיבי הקלט, כגון ההיקף או התפלגותם. תכונה זו הופכת אותם למועילים כאשר עלות ההשוואה גבוהה, כגון עבור אובייקטים מורכבים או פעולות השוואה יקרות.התאמה למאפייני קלט ספציפיים:לאלגוריתמי מיון בזמן ליניארי יש לרוב דרישות או הנחות ספציפיות לגבי רכיבי הקלט. לדוגמה, כדי לחשב סדר מיון, אתה צריך לדעת את טווח רכיבי הקלט מראש. כאשר תנאים אלה מתקיימים, אלגוריתמי מיון זמן ליניארי יכולים להציע יתרונות ביצועים משמעותיים על פני אלגוריתמי מיון כלליים.מיון יציב:אלגוריתמים רבים של מיון בזמן ליניארי, כולל מיון מספרי ומיון רדיקס, הם יציבים מטבעם. עקביות פירושה אלמנטים עם מפתחות או ערכים כפולים שומרים על סדר יחסי בפלט הממוין. זה יכול להיות קריטי בעת מיון אובייקטים או רשומות עם תכונות מרובות או כאשר שמירה על הסדר המקורי של רכיבים בעלי ערך שווה חיוני.קלות שימוש:אלגוריתמי מיון ליניארי בזמן כגון מיון ספירה הם לרוב קלים יחסית ליישום בהשוואה לאלגוריתמי מיון מורכבים יותר מבוססי השוואה. הם יכולים להיות קלים יותר להבנה ולניפוי באגים, מה שהופך אותם מתאימים למצבים שבהם רצויות פשטות ובהירות.

חסרונות של מיון זמן ליניארי

למרות שלאלגוריתמים של תזמון ליניארי יש את היתרונות שלהם, יש להם גם מגבלות וחסרונות מסוימים:

דרישות קלט מגבילות:לאלגוריתמים של מיון זמן ליניארי יש לרוב דרישות או הנחות ספציפיות לגבי רכיבי הקלט. לדוגמה, כדי לחשב סדר מיון, אתה צריך לדעת את טווח רכיבי הקלט מראש. הגבלה זו מגבילה את תחולתם למצבים שבהם מתקיימים תנאים אלה. דרישות הזיכרון עלולות להפוך לבלתי מעשיות או לחרוג מהמשאבים הזמינים אם הטווח רחב או לא ידוע.דרישות שטח נוספות:כמה אלגוריתמים למיון זמן ליניארי, כגון מיון מספרי, דורשים מקום נוסף לאחסון מערכים אחרים או מבני נתונים. השטח הנדרש הוא לעתים קרובות פרופורציונלי למספר רכיבי הקלט. זה יכול להיות חיסרון כאשר השימוש בזיכרון הוא בעיה, במיוחד כאשר מתמודדים עם מערכי נתונים גדולים או משאבי זיכרון מוגבלים.חוסר צדדיות:אלגוריתמים למיון זמן ליניארי הם אלגוריתמים מיוחדים המיועדים לתרחישים או אילוצים ספציפיים. ייתכן שהם יצטרכו להיות מתאימים ויעילים יותר עבור משימות מיון כלליות או הפצות קלט שונות. אלגוריתמי מיון מבוססי השוואה כגון Quicksort או מיזוג הם מגוונים יותר ויכולים להתמודד עם מגוון רחב יותר של טווח קלט.לא יעיל עבור טווחים קטנים או נתונים דלילים:אלגוריתמי מיון בזמן ליניארי כגון ספירה הם היעילים ביותר כאשר טווח רכיבי הקלט קטן ומפוזר בצפיפות. אם הטווח רחב או הנתונים דלילים (כלומר, רק כמה ערכים נפרדים), האלגוריתם עשוי לחסוך זמן ומאמץ בעיבוד חלקים ריקים או מאוכלסים בדלילות של טווח הקלט.מוגבל לסוגי נתונים ספציפיים:אלגוריתמי מיון בזמן ליניארי, כגון מיון ספירה, נועדו בעיקר למיין מספרים שלמים לא שליליים או אובייקטים בעלי ערך מפתח. ייתכן שהם לא יתאימו למיון סוגי נתונים אחרים, כגון מספרי נקודה צפה, מחרוזות או מבני נתונים מורכבים. התאמת אלגוריתמי מיון זמן ליניאריים לטיפול בסוגי נתונים שונים או פונקציות השוואה מותאמות אישית עשויה לדרוש עיבוד מוקדם או שינויים נוספים.

בעת בחירת אלגוריתם מיון, חיוני לשקול היטב את הפרטים של נתוני הקלט ואת הדרישות של בעיית המיון. בעוד שאלגוריתמי תזמון ליניארי מציעים יתרונות בתרחישים ספציפיים, הם רק לפעמים הבחירה המתאימה או היעילה ביותר.

יישומים של אלגוריתמי מיון זמן ליניארי

אלגוריתמי מיון זמן ליניארי יעילים ויש להם יישומים רבים בתחומים שונים. להלן כמה יישומים טיפוסיים של סדר זמן ליניארי:

מיון מספרים שלמים בטווח קטן:אלגוריתמי מיון זמן ליניארי כגון מיון ספירה ומיון רדיקס הם אידיאליים למיון מערכים של מספרים שלמים כאשר טווח הערכים הוא אלגוריתמים אלו משיגים מורכבות זמן ליניארית על ידי הנחת הנחות לגבי נתוני הקלט, ומאפשרים להם לעקוף מיון מבוסס השוואה.מיון מחרוזות:ניתן ליישם אלגוריתמים למיון זמן ליניארי גם כדי למיין מחרוזות ביעילות. על ידי נטילת מאפיינים ייחודיים של מחרוזות, כגון אורכם או תווים, אלגוריתמים כמו Radix Sort יכולים להשיג מורכבות זמן ליניארית בעת מיון מחרוזות.פונקציות מסד נתונים:מיון הוא פונקציה חיונית של אלגוריתמי מיון זמן ליניארי יכולים למיין ביעילות מערכי נתונים גדולים על סמך עמודות או שדות ספציפיים. זה מאפשר עיבוד שאילתות מהיר יותר וביצועים טובים יותר בפעולות מסד נתונים.יצירת היסטוגרמות:היסטוגרמות חיוניות למשימות סטטיסטיות וניתוח נתונים שונות. אלגוריתמים של מיון זמן ליניארי, כגון מיון מספרי, יכולים ליצור היסטוגרמות על ידי ספירה יעילה של המופעים של אלמנטים במערך נתונים.מיון חיצוני:טכניקת המיון החיצונית משמשת בתרחישים שבהם הנתונים אינם יכולים להתאים לחלוטין לזיכרון. אלגוריתמים למיון זמן ליניארי כגון External Radix Sort או External Counting Sort יכולים למיין ביעילות מערכי נתונים גדולים המאוחסנים בדיסק או בהתקני אחסון חיצוניים אחרים.תזמון אירועים:אלגוריתמי מיון זמן ליניארי יכולים לתזמן אירועים על סמך זמני ההתחלה או הסיום שלהם. מיון אירועים בסדר עולה מקל על זיהוי התנגשויות, תקופות חופפות או מציאת התקופה הזמינה הבאה.ניתוח קובצי יומן:ניתוח קובצי יומן הוא משימה נפוצה בניהול מערכת ואיתור באגים. ניתן להשתמש באלגוריתמים של מיון זמן ליניארי כדי למיין יומנים על סמך חותמות זמן, מה שמקל על זיהוי דפוסים, חריגות או חיפוש אחר אירועים ספציפיים.דחיסת מידע:מיון ממלא תפקיד חיוני בטכניקות שונות של דחיסת נתונים. אלגוריתמים כגון התמרת Burrows-Wheeler (BWT) או Move-To-Front Transform (MTF) מסתמכים על סדר זמן ליניארי כדי לארגן מחדש נתונים כדי לשפר את יעילות הדחיסה. אלו הן רק כמה דוגמאות ליישומים של אלגוריתמי מיון זמן ליניארי.

יישום מיון זמן ליניארי ב-C++

הנה דוגמה לתוכנית המיישמת Counting Sort, שהוא אלגוריתם מיון זמן ליניארי:

 #include #include using namespace std; void countingSort(vector&amp; arr) { // Find the maximum element in the array int max_val = *max_element(arr.begin(), arr.end()); // Create a count array to store the count of each element vector count(max_val + 1, 0); // Count the occurrences of each element for (int num : arr) { count[num]++; } // Compute the prefix sum for (int i = 1; i <count.size(); i++) { count[i] +="count[i" - 1]; } create a sorted output array vector output(arr.size()); place the elements in order for (int i="arr.size()" 1;>= 0; i--) { output[count[arr[i]] - 1] = arr[i]; count[arr[i]]--; } // Copy the sorted elements back to the original array for (int i = 0; i <arr.size(); i++) { arr[i]="output[i];" } int main() vector arr="{4," 2, 8, 3, 1}; sort the array using counting countingsort(arr); print sorted cout << 'sorted array: '; for (int num : arr) ' endl; return 0; < pre> <p> <strong>Sample Output</strong> </p> <pre> Sorted array: 1 2 2 3 3 4 8 </pre> <p>This indicates that the input array has been sorted in ascending order using the Counting Sort algorithm, resulting in the sorted array [1, 2, 2, 3, 3, 4, 8].</p> <p>In this C++ program, the counting sort function takes a reference to the vector arr and runs the counting sort routine. It finds the table&apos;s maximum value to determine the worksheet&apos;s size. It then counts each element&apos;s occurrence and calculates the worksheet&apos;s prefix sum. Then, it creates a result vector and puts the elements in order according to the worksheet. Finally, it copies the sorted elements back into the original array. In the primary function, the example array {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} is sorted by the enumeration sort algorithm and printed as a sorted matrix. Note that the program uses libraries to work with vectors and find the maximum element of an array using the max_element function.</p> <hr></arr.size();></count.size();>

זה מצביע על כך שמערך הקלט ממוין בסדר עולה באמצעות אלגוריתם Counting Sort, וכתוצאה מכך המערך הממוין [1, 2, 2, 3, 3, 4, 8].

בתוכנית C++ זו, פונקציית מיון הספירה לוקחת הפניה ל-arr הווקטור ומפעילה את שגרת מיון הספירה. הוא מוצא את הערך המרבי של הטבלה כדי לקבוע את גודל גליון העבודה. לאחר מכן הוא סופר את המופע של כל רכיב ומחשב את סכום הקידומת של גליון העבודה. לאחר מכן, הוא יוצר וקטור תוצאה ומסדר את האלמנטים לפי גליון העבודה. לבסוף, הוא מעתיק את האלמנטים הממוינים בחזרה למערך המקורי. בפונקציה הראשית, המערך לדוגמה {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} ממוין לפי אלגוריתם מיון הספירה ומדפס כמטריצה ​​ממוינת. שימו לב שהתוכנה משתמשת בספריות כדי לעבוד עם וקטורים ולמצוא את האלמנט המקסימלי של מערך באמצעות הפונקציה max_element.