logo

TechCodeview

השלכה במתמטיקה בדידה

הצהרת השלכה יכולה להיות מיוצגת בצורה 'אם...אז'. הסמל ⇒ משמש להצגת ההשלכה. נניח שיש שני משפטים, P ו-Q. במקרה זה, ניתן לכתוב את המשפט 'אם P אז Q' גם כ-P ⇒ Q או P → Q, והיא תיקרא כ-'P מרמזת על Q'. בהשלכה זו, ההצהרה P היא השערה, הידועה גם כהנחת יסוד וקודמתה, והמשפט Q הוא מסקנה, המכונה גם התוצאה.

ההשלכה משחקת תפקיד חשוב גם בטיעון הלוגי. אם ידוע שהמשמעות של ההצהרות נכונה, אז בכל פעם שהנחת היסוד מתקיימת, גם המסקנה חייבת להיות נכונה. בגלל סיבה זו, ההשלכה ידועה גם בשם ההצהרה המותנית.

כמה דוגמאות להשלכות מתוארות כדלקמן:

git pull origin master
  • 'אם מזג האוויר של GOA יהיה שמשי, אז נלך לחוף הים'.
  • 'אם למועדון יש מערכת הנחות, אז נלך למועדון הזה'.
  • 'אם יש שמש בזמן היציאה לחוף, אז נהיה שזופים'.

ההשלכה הלוגית יכולה לבוא לידי ביטוי בדרכים שונות, המתוארות כך:

  1. אם p אז q
  2. אם p, q
  3. ש כאשר ע
  4. ש רק אם P
  5. q אלא אם כן ~p
  6. q בכל פעם p
  7. p הוא תנאי מספיק עבור q
  8. ש עקוב אחר עמ'
  9. p מרמז על ש
  10. תנאי הכרחי עבור p הוא q
  11. ש אם ע
  12. q נחוץ עבור p
  13. p הוא תנאי הכרחי עבור q

כעת נתאר את הדוגמאות של כל ההשלכות שתוארו לעיל בעזרת הנחת היסוד P ומסקנה ש'. לשם כך נניח ש-P = יש שמש ו-Q = אני אלך לחוף הים.

P ⇒ ש

  1. אם יש שמש אז אני אלך לים
  2. אם יהיה שמש, אני אלך לים
  3. אני אלך לחוף כשיהיה שמש
  4. אני אלך לחוף רק אם יהיה שמש
  5. אני אלך לחוף אלא אם כן לא יהיה שמש
  6. אני אלך לים בכל פעם שיהיה שמש
  7. שמש זה תנאי מספיק בשביל שאלך לים
  8. אני אלך לחוף בעקבות שמש
  9. זה שטוף שמש אומר שאני אלך לחוף הים
  10. תנאי הכרחי לשמש הוא שאלך לים
  11. אני אלך לחוף אם יהיה שמש
  12. אני אלך לחוף הכרחי כי יש שמש
  13. שמש הוא תנאי הכרחי בשביל שאלך לים

כאשר יש משפט מותנה 'אם p אז q', אז ההצהרה הזו P ⇒ Q תהיה לא נכונה כאשר הנחת היסוד p היא אמת, ומסקנה q היא שקר. בכל שאר המקרים, פירוש הדבר שכאשר p שקר או Q נכון, ההצהרה P ⇒ Q תהיה נכונה. נוכל לייצג משפט זה בעזרת טבלת אמת שבה השקר יוצג על ידי F ואמית יופיע על ידי T. טבלת האמת של המשפט 'אם P אז Q' מתוארת באופן הבא:

פ ש P ⇒ ש
ט ט ט
ט ו ו
ו ט ט
ו ו ט

אין צורך שהנחות היסוד והמסקנה קשורות זו בזו. על בסיס הניסוח של P ו-Q, הפרשנות של טבלת האמת תלויה.

לדוגמה:

  • אם ג'ק עשוי מפלסטיק, אז האוקיינוס ​​ירוק.
  • האמירה: ג'ק עשוי מפלסטיק
  • האמירה: האוקיינוס ​​ירוק

שתי ההצהרות הנ'ל אינן הגיוניות כי ג'ק הוא בן אדם, והוא לעולם לא יכול להיות עשוי מפלסטיק, והצהרה נוספת שהאוקיינוס ​​הוא ירוק לעולם לא יקרה כי האוקיינוס ​​תמיד כחול ואי אפשר לשנות את צבע האוקיינוס. כפי שאנו יכולים לראות ששתי ההצהרות אינן קשורות זו לזו. מצד שני, טבלת האמת של המשפט P ⇒ Q תקפה. אז זו לא שאלה אם טבלת האמת נכונה או לא, אלא זו שאלה של דמיון ופרשנות.

אז ב-P ⇒ Q, אנחנו לא צריכים שום סוג של קשר בין הנחת היסוד לתוצאה. על בסיס הערך האמיתי של P ו-Q, המשמעות של אלה תלויה רק.

הצהרות אלו יהיו גם שגויות גם אם ניקח בחשבון את שתי ההצהרות לעולמנו, כך

 False ⇒ False

אז כאשר אנו מסתכלים על טבלת האמת שלמעלה, אנו רואים שכאשר P שקר ו-Q שקר, אז P ⇒ Q הוא נכון.

אז אם הג'ק עשוי מפלסטיק, האוקיינוס ​​יהיה ירוק.

עם זאת, הנחת היסוד p והמסקנה q יהיו קשורות, ושתי ההצהרות הגיוניות.

דו משמעות

יכולה להיות אי בהירות באופרטור המשתמע. אז כאשר אנו משתמשים באופרטור המרמז (⇒), בשלב זה, עלינו להשתמש בסוגריים.

לדוגמה: בדוגמה זו, יש לנו משפט דו-משמעי P ⇒ Q ⇒ R. כעת, יש לנו שני הצהרות דו-משמעיות ((P ⇒ Q) ⇒ R) או (P ⇒ (Q ⇒ R)), ועלינו להראות אם ההצהרות הללו דומים או לא.

פִּתָרוֹן: נוכיח זאת בעזרת טבלת אמת, המתוארת כך:

פ ש ר (P ⇒ Q) (ש ⇒ R) P ⇒ (Q ⇒ R) (P ⇒ Q) ⇒ R
ו ו ו ט ט ט ו
ו ו ט ט ט ט ט
ו ט ו ט ו ט ו
ו ט ט ט ט ט ט
ט ו ו ו ט ט ט
ט ו ט ו ט ט ט
ט ט ו ט ו ו ו
ט ט ט ט ט ט ט

בטבלת האמת לעיל, אנו יכולים לראות שטבלת האמת של P ⇒ (Q ⇒ R) ו- (P ⇒ Q) ⇒ R אינן דומות. לפיכך, שניהם ייצרו תפוקות או תוצאות שונות.

עוד על השלכה

כמה דוגמאות נוספות להשלכות מתוארות כדלקמן:

  • אם יהיה שמש, אז אני אלך לבית הספר.
  • אם אקבל עבודה טובה, אז ארוויח כסף.
  • אם אקבל ציונים טובים, אז ההורים שלי ישמחו.

בכל הדוגמאות לעיל, אנו מתבלבלים כי איננו יודעים מתי השלכה תיחשב כנכונה ומתי היא תיחשב כשקרית. כדי לפתור בעיה זו וכדי להבין את מושג ההשלכה, נשתמש בדוגמה היפותטית. בדוגמה זו, נניח שמארי תשחק בדמינטון עם החבר שלו ג'ק, והחבר שלו ג'ק רוצה להניע מעט את מרי, אז הוא מפתה אותה באמירה:

 'If you win then I will buy a ring for you'

באמצעות הצהרה זו, ג'ק מתכוון שאם להתחתן ינצח, אז ברור שהוא יקנה טבעת. באמצעות הצהרה זו, ג'ק מתחייב רק כאשר מרי מנצחת. הוא לא התחייב בכל מקרה כשמרי השתחררה. אז בסוף המשחק, יכולות להיות רק ארבע אפשרויות, המתוארות כך:

  • להתחתן זוכה - לקנות טבעת.
  • להתחתן מנצח - לא לקנות טבעת.
  • להתחתן מפסידה - לקנות טבעת.
  • להתחתן מפסיד - לא לקנות טבעת.

עם זאת, ג'ק לא אמר שום הצהרה הקשורה לכלל (ב'). הוא גם לא הזכיר חוקים מספר (C) ו-(D) בהצהרה שלו, אז אם להתחתן בחופשיות, אז זה לגמרי תלוי בג'ק לקנות לה טבעת או לא. למעשה, הצהרות (A), (C) ו-(D) עשויות להתרחש כתוצאה של ההצהרה שג'ק אומר להתחתן, אבל (B) לא תהיה התוצאה. אם התוצאה (B) מתרחשת, רק אז ג'ק ייתפס בשקר. בכל שלושת המקרים האחרים, כלומר, (א), (ג) ו-(ד), הוא דיבר אמת.

כעת נשתמש במשפט הפשוט יותר כדי שנוכל להגדיר באופן סמלי את ההצהרה של ג'ק כך:

 P: you win Q: I will buy a ring for you

בהשלכה זו, אנו משתמשים בסמל הלוגי ⇒, שניתן לקרוא אותו כ'מרמז'. ניצור את ההצהרה של תרכובת ג'ק בעזרת הצבת החץ הזה מ-P ל-Q כך:

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.

לסיכום, ראינו שהמשמעות תהיה שקרית רק כאשר P נכון ו-q שקר. לפי הצהרה זו, מרי מנצחת במשחק, אך למרבה הצער ג'ק לא קונה טבעת. בכל שאר המקרים/תוצאות, ההצהרה תהיה נכונה. בהתאם לכך, טבלת האמת למשמעות מתוארת כך:

פ ש P ⇒ ש
ט ט ט
ט ו ו
ו ט ט
ו ו ט

רשימת המשוואות הלוגיות המתאימות להשלכה מתוארת באופן הבא:

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T

דוגמאות להשלכה:

ישנן דוגמאות שונות להשלכות, וחלקן מתוארות כך:

דוגמה 1: נניח שיש ארבעה משפטים, P, Q, R ו-S איפה

P: ג'ק בבית הספר

ש: ג'ק מלמד

R: ג'ק ישן

S: ג'ק חולה

כעת נתאר כמה הצהרות סמליות המעורבות בהצהרות הפשוטות הללו.

  1. P → R
  2. S → ~P
  3. ~Q → (S ∧ R)
  4. (P ∨ R) → ~Q
  5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

כאן עלינו להראות את ייצוג הפרשנות של הצהרות סמליות אלה למילים.

פִּתָרוֹן:

P → R אם ג'ק לומד בבית הספר, אז ג'ק מלמד.
S → ~P אם ג'ק חולה, אז הוא לא בבית הספר.
~Q → (S ∧ R) אם ג'ק לא מלמד, אז הוא חולה וישן.
(P ∨ R) → ~Q אם ג'ק בבית הספר או ישן, אז הוא לא מלמד.
(~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) אם ג'ק לא ישן ולא חולה, אז הוא מלמד או לא בבית הספר.

דוגמה 2: בדוגמה זו, יש לנו השלכה P → Q. כאן, יש לנו גם שלושה משפטים מורכבים נוספים הקשורים באופן טבעי להשלכה זו שהיא קונטרה חיובית, הפוכה והפוכה להשלכה. הקשר בין כל ארבעת ההיגדים הללו מתואר בעזרת טבלה, המתוארת כך:

מַשְׁמָעוּת P → ש
לְשׂוֹחֵחַ ש → P
הפוך ~P → ~Q
ניגוד ~Q → ~P

כעת נשקול דוגמה למשמעות, שיש בה את האמירה, 'אם אתה לומד טוב, אתה מקבל ציונים טובים'. הצהרה זו היא בצורת P → Q, איפה

P: אתה לומד טוב

ש: אתה מקבל ציונים טובים

כעת נשתמש בהצהרות P ו-Q ונראה את ארבעת ההצהרות הנלוות כך:

מַשְׁמָעוּת: אם אתה לומד טוב, אתה מקבל ציונים טובים.

לְשׂוֹחֵחַ: אם אתה מקבל ציונים טובים, אתה לומד טוב.

הפוך: אם אתה לא לומד טוב, אתה לא מקבל ציונים טובים.

ניגוד: אם אתה לא מקבל ציונים טובים, אתה לא לומד טוב.

ערכי האמת של כל ההצהרות הנלוות לעיל מתוארים בעזרת טבלת אמת, המתוארת כדלקמן

פ ש ~פ ~ש P → ש ש → P ~P → ~Q ~Q → ~P
ט ט ו ו ט ט ט ט
ט ו ו ט ו ט ט ו
ו ט ט ו ט ו ו ט
ו ו ט ט ט ט ט ט

בטבלה שלמעלה, אנו יכולים לראות שלמשמעות (P → Q) והנגדה שלה (~Q → ~P) יש אותו ערך בעמודות שלהם. זה אומר ששניהם שווים. אז אנחנו יכולים לומר ש:

 P → Q = ~Q → ~P

באופן דומה, אנו יכולים לראות שלהפוך והיפוך יש ערכים דומים בעמודות שלהם. אבל זה לא יעשה שום הבדל כי ההיפוך הוא הניגוד של ההפך. באופן דומה, ההשלכה המקורית יכולה להגיע מהקונטרה-חיובי של הנגד-חיובי. (זה אומר שאם נשלול P ו-Q ואז נחליף את כיוון החץ, ואחרי זה, נחזור שוב על התהליך, כלומר נשלול ~P ו-QQ, ושוב נחליף את כיוון החץ, במקרה זה, נקבל בחזרה למקום בו התחלנו).