#practiceLinkDiv { display: none !חשוב; }ניתן מספר טבעי נ המשימה היא למצוא את סכום המחלקים של כל המחלקים של n.
דוגמאות:
Input : n = 54 Output : 232 Divisors of 54 = 1 2 3 6 9 18 27 54. Sum of divisors of 1 2 3 6 9 18 27 54 are 1 3 4 12 13 39 40 120 respectively. Sum of divisors of all the divisors of 54 = 1 + 3 + 4 + 12 + 13 + 39 + 40 + 120 = 232. Input : n = 10 Output : 28 Divisors of 10 are 1 2 5 10 Sums of divisors of divisors are 1 3 6 18. Overall sum = 1 + 3 + 6 + 18 = 28Recommended Practice מצא את סכום המחלקים נסה את זה!
שימוש בעובדה שכל מספר נ ניתן לבטא כתוצר של גורמים ראשוניים נ = p1k1x p2k2x ... שבו p1ע2... הם מספרים ראשוניים.
ניתן לבטא את כל המחלקים של n כ-p1אx p2בx ... שבו 0<= a <= k1 and 0 <= b <= k2.
כעת סכום המחלקים יהיה סכום כל העוצמה של p1- עמ'1ע11.... עמ'1k1מוכפל בכל החזקה של p2- עמ'2ע21.... עמ'2k1
סכום המחלק של n
= (עמ'1x p2) + (עמ'11x p2) +.....+ (עמ'1k1x p2) +....+ (עמ'1x p21) + (עמ'11x p21) +.....+ (עמ'1k1x p21) +........+
(עמ'1x p2k2) + (עמ'11x p2k2) +......+ (עמ'1k1x p2k2).
= (עמ'1+ עמ'11+...+ עמ'1k1) x p2+ (עמ'1+ עמ'11+...+ עמ'1k1) x p21+......+ (עמ'1+ עמ'11+...+ עמ'1k1) x p2k2.
= (עמ'1+ עמ'11+...+ עמ'1k1) x (עמ'2+ עמ'21+...+ עמ'2k2).
כעת המחלקים של כל עאעבור p כראשוני הם pע1...... עמ'א. וסכום המחלקים יהיה (עמ'(a+1)- 1)/(p -1) תן לזה להגדיר על ידי f(p).
אז סכום המחלקים של כל המחלקים יהיה
= (f(p1) + f(p11) +...+ f(p1k1)) x (f(p2) + f(p21) +...+ f(p2k2)).
אז בהינתן מספר n על ידי פירוק ראשוני נוכל למצוא את סכום המחלקים של כל המחלקים. אבל בבעיה זו ניתן לנו ש-n הוא מכפלה של אלמנט של מערך. אז מצא פירוק ראשוני של כל אלמנט ועל ידי שימוש בעובדה אבx אג= אb+c.
להלן היישום של גישה זו:
C++// C++ program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. #include
// Java program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. import java.util.HashMap; class GFG { // Returns sum of divisors of all the divisors // of n public static int sumDivisorsOfDivisors(int n) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. HashMap<Integer Integer> mp = new HashMap<>(); for (int j = 2; j <= Math.sqrt(n); j++) { int count = 0; while (n % j == 0) { n /= j; count++; } if (count != 0) mp.put(j count); } // If n is a prime number if (n != 1) mp.put(n 1); // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1; for (HashMap.Entry<Integer Integer> entry : mp.entrySet()) { int pw = 1; int sum = 0; for (int i = entry.getValue() + 1; i >= 1; i--) { sum += (i * pw); pw *= entry.getKey(); } ans *= sum; } return ans; } // Driver code public static void main(String[] args) { int n = 10; System.out.println(sumDivisorsOfDivisors(n)); } } // This code is contributed by // sanjeev2552
# Python3 program to find sum of divisors # of all the divisors of a natural number. import math as mt # Returns sum of divisors of all # the divisors of n def sumDivisorsOfDivisors(n): # Calculating powers of prime factors # and storing them in a map mp[]. mp = dict() for j in range(2 mt.ceil(mt.sqrt(n))): count = 0 while (n % j == 0): n //= j count += 1 if (count): mp[j] = count # If n is a prime number if (n != 1): mp[n] = 1 # For each prime factor calculating # (p^(a+1)-1)/(p-1) and adding it to answer. ans = 1 for it in mp: pw = 1 summ = 0 for i in range(mp[it] + 1 0 -1): summ += (i * pw) pw *= it ans *= summ return ans # Driver Code n = 10 print(sumDivisorsOfDivisors(n)) # This code is contributed # by mohit kumar 29
// C# program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. using System; using System.Collections.Generic; class GFG { // Returns sum of divisors of // all the divisors of n public static int sumDivisorsOfDivisors(int n) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. Dictionary<int int> mp = new Dictionary<int int>(); for (int j = 2; j <= Math.Sqrt(n); j++) { int count = 0; while (n % j == 0) { n /= j; count++; } if (count != 0) mp.Add(j count); } // If n is a prime number if (n != 1) mp.Add(n 1); // For each prime factor // calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. int ans = 1; foreach(KeyValuePair<int int> entry in mp) { int pw = 1; int sum = 0; for (int i = entry.Value + 1; i >= 1; i--) { sum += (i * pw); pw = entry.Key; } ans *= sum; } return ans; } // Driver code public static void Main(String[] args) { int n = 10; Console.WriteLine(sumDivisorsOfDivisors(n)); } } // This code is contributed // by Princi Singh
<script> // Javascript program to find sum of divisors of all // the divisors of a natural number. // Returns sum of divisors of all the divisors // of n function sumDivisorsOfDivisors(n) { // Calculating powers of prime factors and // storing them in a map mp[]. let mp = new Map(); for (let j = 2; j <= Math.sqrt(n); j++) { let count = 0; while (n % j == 0) { n = Math.floor(n/j); count++; } if (count != 0) mp.set(j count); } // If n is a prime number if (n != 1) mp.set(n 1); // For each prime factor calculating (p^(a+1)-1)/(p-1) // and adding it to answer. let ans = 1; for (let [key value] of mp.entries()) { let pw = 1; let sum = 0; for (let i = value + 1; i >= 1; i--) { sum += (i * pw); pw = key; } ans *= sum; } return ans; } // Driver code let n = 10; document.write(sumDivisorsOfDivisors(n)); // This code is contributed by patel2127 </script>
תְפוּקָה:
28
מורכבות זמן: O(?n log n)
מרחב עזר: עַל)
אופטימיזציות:
למקרים שבהם יש מספר כניסות שעבורן אנחנו צריכים למצוא את הערך שבו נוכל להשתמש מסננת של ארוטוסטנס כפי שנדון ב זֶה שֶׁלְאַחַר.