בהינתן שני מספרים שלמים, המשימה היא למצוא את הספירה של כל המחלקים המשותפים של מספרים נתונים?
דוגמאות:
Input : a = 12 b = 24 Output: 6 // all common divisors are 1 2 3 // 4 6 and 12 Input : a = 3 b = 17 Output: 1 // all common divisors are 1 Input : a = 20 b = 36 Output: 3 // all common divisors are 1 2 4Recommended Practice מחלקים נפוצים נסה את זה!
מומלץ להפנות כל המחלקים של מספר נתון כתנאי מוקדם למאמר זה.
פתרון נאיבי
פתרון פשוט הוא למצוא תחילה את כל המחלקים של המספר הראשון ולאחסן אותם במערך או ב-hash. לאחר מכן מצא מחלקים משותפים של מספר שני ואחסן אותם. לבסוף הדפס אלמנטים נפוצים של שני מערכים מאוחסנים או hash. המפתח הוא שגודל החזקות של גורמים ראשוניים של מחלק צריך להיות שווה לחזק המינימלי של שני גורמים ראשוניים של a ו-b.
- מצא את הגורמים העיקריים של שימוש פירוק ראשוני .
- מצא את הספירה של כל גורם ראשוני של א ולאחסן אותו ב-Hashmap.
- פריס לגורמים ב באמצעות גורמים ראשוניים מובהקים של א .
- אז המספר הכולל של המחלקים יהיה שווה למכפלה של (ספירה + 1)
של כל גורם. - זה נותן את הספירה של כל המחלקים של א ו ב . C++
// C++ implementation of program #include using namespace std; // Map to store the count of each // prime factor of a map<int int> ma; // Function that calculate the count of // each prime factor of a number void primeFactorize(int a) { for(int i = 2; i * i <= a; i += 2) { int cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a /= i; } ma[i] = cnt; } if (a > 1) { ma[a] = 1; } } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers int commDiv(int a int b) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // stores number of common divisors int res = 1; // Find the count of prime factors // of b using distinct prime factors of a for(auto m = ma.begin(); m != ma.end(); m++) { int cnt = 0; int key = m->first; int value = m->second; while (b % key == 0) { b /= key; cnt++; } // Prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (min(cnt value) + 1); } return res; } // Driver code int main() { int a = 12 b = 24; cout << commDiv(a b) << endl; return 0; } // This code is contributed by divyeshrabadiya07
Java // Java implementation of program import java.util.*; import java.io.*; class GFG { // map to store the count of each prime factor of a static HashMap<Integer Integer> ma = new HashMap<>(); // method that calculate the count of // each prime factor of a number static void primeFactorize(int a) { for (int i = 2; i * i <= a; i += 2) { int cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a /= i; } ma.put(i cnt); } if (a > 1) ma.put(a 1); } // method to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // stores number of common divisors int res = 1; // Find the count of prime factors of b using // distinct prime factors of a for (Map.Entry<Integer Integer> m : ma.entrySet()) { int cnt = 0; int key = m.getKey(); int value = m.getValue(); while (b % key == 0) { b /= key; cnt++; } // prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (Math.min(cnt value) + 1); } return res; } // Driver method public static void main(String args[]) { int a = 12 b = 24; System.out.println(commDiv(a b)); } }
Python3 # Python3 implementation of program import math # Map to store the count of each # prime factor of a ma = {} # Function that calculate the count of # each prime factor of a number def primeFactorize(a): sqt = int(math.sqrt(a)) for i in range(2 sqt 2): cnt = 0 while (a % i == 0): cnt += 1 a /= i ma[i] = cnt if (a > 1): ma[a] = 1 # Function to calculate all common # divisors of two given numbers # a b --> input integer numbers def commDiv(a b): # Find count of each prime factor of a primeFactorize(a) # stores number of common divisors res = 1 # Find the count of prime factors # of b using distinct prime factors of a for key value in ma.items(): cnt = 0 while (b % key == 0): b /= key cnt += 1 # Prime factor of common divisor # has minimum cnt of both a and b res *= (min(cnt value) + 1) return res # Driver code a = 12 b = 24 print(commDiv(a b)) # This code is contributed by Stream_Cipher
C# // C# implementation of program using System; using System.Collections.Generic; class GFG{ // Map to store the count of each // prime factor of a static Dictionary<int int> ma = new Dictionary<int int>(); // Function that calculate the count of // each prime factor of a number static void primeFactorize(int a) { for(int i = 2; i * i <= a; i += 2) { int cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a /= i; } ma.Add(i cnt); } if (a > 1) ma.Add(a 1); } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // Stores number of common divisors int res = 1; // Find the count of prime factors // of b using distinct prime factors of a foreach(KeyValuePair<int int> m in ma) { int cnt = 0; int key = m.Key; int value = m.Value; while (b % key == 0) { b /= key; cnt++; } // Prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (Math.Min(cnt value) + 1); } return res; } // Driver code static void Main() { int a = 12 b = 24; Console.WriteLine(commDiv(a b)); } } // This code is contributed by divyesh072019
JavaScript <script> // JavaScript implementation of program // Map to store the count of each // prime factor of a let ma = new Map(); // Function that calculate the count of // each prime factor of a number function primeFactorize(a) { for(let i = 2; i * i <= a; i += 2) { let cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a = parseInt(a / i 10); } ma.set(i cnt); } if (a > 1) { ma.set(a 1); } } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers function commDiv(ab) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // stores number of common divisors let res = 1; // Find the count of prime factors // of b using distinct prime factors of a ma.forEach((valueskeys)=>{ let cnt = 0; let key = keys; let value = values; while (b % key == 0) { b = parseInt(b / key 10); cnt++; } // Prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (Math.min(cnt value) + 1); }) return res; } // Driver code let a = 12 b = 24; document.write(commDiv(a b)); </script>
תְפוּקָה:
6
מורכבות זמן : O(?n log n)
מרחב עזר: עַל)
פתרון יעיל -
פתרון טוב יותר הוא לחשב את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) של שני מספרים שניתנו ואז לספור מחלקים של אותו gcd.
// C++ implementation of program #include using namespace std; // Function to calculate gcd of two numbers int gcd(int a int b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // Function to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers int commDiv(int a int b) { // find gcd of a b int n = gcd(a b); // Count divisors of n. int result = 0; for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } // Driver program to run the case int main() { int a = 12 b = 24; cout << commDiv(a b); return 0; }
Java // Java implementation of program class Test { // method to calculate gcd of two numbers static int gcd(int a int b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // method to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // find gcd of a b int n = gcd(a b); // Count divisors of n. int result = 0; for (int i = 1; i <= Math.sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } // Driver method public static void main(String args[]) { int a = 12 b = 24; System.out.println(commDiv(a b)); } }
Python3 # Python implementation of program from math import sqrt # Function to calculate gcd of two numbers def gcd(a b): if a == 0: return b return gcd(b % a a) # Function to calculate all common divisors # of two given numbers # a b --> input integer numbers def commDiv(a b): # find GCD of a b n = gcd(a b) # Count divisors of n result = 0 for i in range(1int(sqrt(n))+1): # if i is a factor of n if n % i == 0: # check if divisors are equal if n/i == i: result += 1 else: result += 2 return result # Driver program to run the case if __name__ == '__main__': a = 12 b = 24; print(commDiv(a b))
C# // C# implementation of program using System; class GFG { // method to calculate gcd // of two numbers static int gcd(int a int b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // method to calculate all // common divisors of two // given numbers a b --> // input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // find gcd of a b int n = gcd(a b); // Count divisors of n. int result = 0; for (int i = 1; i <= Math.Sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } // Driver method public static void Main(String[] args) { int a = 12 b = 24; Console.Write(commDiv(a b)); } } // This code contributed by parashar.
PHP // PHP implementation of program // Function to calculate // gcd of two numbers function gcd($a $b) { if ($a == 0) return $b; return gcd($b % $a $a); } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers function commDiv($a $b) { // find gcd of a b $n = gcd($a $b); // Count divisors of n. $result = 0; for ($i = 1; $i <= sqrt($n); $i++) { // if 'i' is factor of n if ($n % $i == 0) { // check if divisors // are equal if ($n / $i == $i) $result += 1; else $result += 2; } } return $result; } // Driver Code $a = 12; $b = 24; echo(commDiv($a $b)); // This code is contributed by Ajit. ?> JavaScript <script> // Javascript implementation of program // Function to calculate gcd of two numbers function gcd(a b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // Function to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers function commDiv(a b) { // find gcd of a b let n = gcd(a b); // Count divisors of n. let result = 0; for (let i = 1; i <= Math.sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } let a = 12 b = 24; document.write(commDiv(a b)); </script>
פלט:
6
מורכבות הזמן: עַל1/2) כאשר n הוא ה-gcd של שני מספרים.
מרחב עזר: O(1)
גישה נוספת:
1. הגדר פונקציה 'gcd' שלוקחת שני מספרים שלמים 'a' ו-'b' ומחזירה את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם (GCD) באמצעות האלגוריתם האוקלידי.
2. הגדר פונקציה 'count_common_divisors' שלוקחת שני מספרים שלמים 'a' ו-'b' וסופרת את מספר המחלקים המשותפים של 'a' ו-'b' באמצעות ה-GCD שלהם.
3. חשב את ה-GCD של 'a' ו-'b' באמצעות הפונקציה 'gcd'.
4. אתחול 'ספירה' מונה ל-0.
5. גלגלו דרך כל המחלקים האפשריים של ה-GCD של 'a' ו-'b' מ-1 לשורש הריבועי של ה-GCD.
6. אם המחלק הנוכחי מחלק את ה-GCD באופן שווה, הגדל את המונה ב-2 (מכיוון שגם 'a' וגם 'b' מתחלקים במחלק).
7. אם הריבוע של המחלק הנוכחי שווה ל-GCD הקטינו את המונה ב-1 (כי כבר ספרנו את המחלק הזה פעם אחת).
8. החזר את הספירה הסופית של מחלקים משותפים.
9. בפונקציה הראשית הגדר שני מספרים שלמים 'a' ו-'b' וקרא לפונקציה 'count_common_divisors' עם המספרים השלמים האלה.
10. הדפס את מספר המחלקים המשותפים של 'a' ו-'b' באמצעות הפונקציה printf.
#include int gcd(int a int b) { if(b == 0) { return a; } return gcd(b a % b); } int count_common_divisors(int a int b) { int gcd_ab = gcd(a b); int count = 0; for(int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i == 0) { count += 2; if(i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } int main() { int a = 12; int b = 18; int common_divisors = count_common_divisors(a b); printf('The number of common divisors of %d and %d is %d.n' a b common_divisors); return 0; }
C++ #include using namespace std; int gcd(int a int b) { if(b == 0) { return a; } return gcd(b a % b); } int count_common_divisors(int a int b) { int gcd_ab = gcd(a b); int count = 0; for(int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i == 0) { count += 2; if(i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } int main() { int a = 12; int b = 18; int common_divisors = count_common_divisors(a b); cout<<'The number of common divisors of '<<a<<' and '<<b<<' is '<<common_divisors<<'.'<<endl; return 0; }
Java import java.util.*; public class Main { public static int gcd(int a int b) { if(b == 0) { return a; } return gcd(b a % b); } public static int countCommonDivisors(int a int b) { int gcd_ab = gcd(a b); int count = 0; for(int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i == 0) { count += 2; if(i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } public static void main(String[] args) { int a = 12; int b = 18; int commonDivisors = countCommonDivisors(a b); System.out.println('The number of common divisors of ' + a + ' and ' + b + ' is ' + commonDivisors + '.'); } }
Python3 import math def gcd(a b): if b == 0: return a return gcd(b a % b) def count_common_divisors(a b): gcd_ab = gcd(a b) count = 0 for i in range(1 int(math.sqrt(gcd_ab)) + 1): if gcd_ab % i == 0: count += 2 if i * i == gcd_ab: count -= 1 return count a = 12 b = 18 common_divisors = count_common_divisors(a b) print('The number of common divisors of' a 'and' b 'is' common_divisors '.') # This code is contributed by Prajwal Kandekar
C# using System; public class MainClass { public static int GCD(int a int b) { if (b == 0) { return a; } return GCD(b a % b); } public static int CountCommonDivisors(int a int b) { int gcd_ab = GCD(a b); int count = 0; for (int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if (gcd_ab % i == 0) { count += 2; if (i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } public static void Main() { int a = 12; int b = 18; int commonDivisors = CountCommonDivisors(a b); Console.WriteLine('The number of common divisors of {0} and {1} is {2}.' a b commonDivisors); } }
JavaScript // Function to calculate the greatest common divisor of // two integers a and b using the Euclidean algorithm function gcd(a b) { if(b === 0) { return a; } return gcd(b a % b); } // Function to count the number of common divisors of two integers a and b function count_common_divisors(a b) { let gcd_ab = gcd(a b); let count = 0; for(let i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i === 0) { count += 2; if(i * i === gcd_ab) { count--; } } } return count; } let a = 12; let b = 18; let common_divisors = count_common_divisors(a b); console.log(`The number of common divisors of ${a} and ${b} is ${common_divisors}.`);
תְפוּקָה
The number of common divisors of 12 and 18 is 4.
מורכבות הזמן של הפונקציה gcd() היא O(log(min(a b))) שכן היא משתמשת באלגוריתם של אוקלידס שלוקח זמן לוגריתמי ביחס לקטן מבין שני המספרים.
מורכבות הזמן של הפונקציה count_common_divisors() היא O(sqrt(gcd(a b))) כשהיא חוזרת עד לשורש הריבועי של ה-gcd של שני המספרים.
מורכבות החלל של שתי הפונקציות היא O(1) מכיוון שהן משתמשות רק בכמות קבועה של זיכרון ללא קשר לגודל הקלט.