האלגוריתם של Kadane הוא גישת תכנות דינמית המשמשת לפתרון בעיית תת המערך המקסימלית, הכוללת מציאת תת-המערך הרציף עם הסכום המקסימלי במערך של מספרים. האלגוריתם הוצע על ידי Jay Kadane בשנת 1984 ויש לו מורכבות זמן של O(n).
היסטוריה של האלגוריתם של קדן:
האלגוריתם של קדן נקרא על שם הממציא שלו, ג'יי קדן, פרופסור למדעי המחשב באוניברסיטת קרנגי מלון. הוא תיאר לראשונה את האלגוריתם במאמר שכותרתו 'בעיית תת-מערך סכום מקסימלית' שפורסם ב-Journal of the Association for Computing Machinery (ACM) ב-1984.
הבעיה של מציאת המשנה המקסימלית נחקרה על ידי מדעני מחשבים מאז שנות ה-70. זוהי בעיה ידועה בתחום תכנון וניתוח האלגוריתמים ויש לה יישומים במגוון רחב של תחומים, כולל עיבוד אותות, פיננסים וביואינפורמטיקה.
מפתח ייחודי של mysql
לפני האלגוריתם של קדן, הוצעו אלגוריתמים אחרים לפתרון בעיית תת-המערך המקסימלית, כמו גישת הכוח הגס הבודקת את כל מערכי המשנה האפשריים ואלגוריתם ההפרד-וכבש. עם זאת, לאלגוריתמים אלו מורכבות זמן גבוהה יותר והם פחות יעילים מאלגוריתם של קדן.
האלגוריתם של קדן נמצא בשימוש נרחב במדעי המחשב והפך לדוגמא קלאסית לתכנות דינמי. הפשטות, היעילות והאלגנטיות שלו הפכו אותו לפתרון פופולרי לבעיית המשנה המקסימלית ולכלי רב ערך בתכנון וניתוח אלגוריתמים.
עבודה של האלגוריתם של Kadene:
האלגוריתם פועל על ידי איטרציה על המערך ומעקב אחר הסכום המקסימלי של תת המערך המסתיים בכל מיקום. בכל מיקום i, יש לנו שתי אפשרויות: או להוסיף את האלמנט במיקום i למשנה המקסימלי הנוכחי או להתחיל תת-מערך חדש במיקום i. המקסימום מבין שתי האפשרויות הללו הוא תת-מערך המקסימלי המסתיים במיקום i.
אנו שומרים על שני משתנים, max_so_far ו-max_ending_here, כדי לעקוב אחר הסכום המקסימלי שנראה עד כה והסכום המקסימלי המסתיים במיקום הנוכחי, בהתאמה. האלגוריתם מתחיל בקביעת שני המשתנים לאלמנט הראשון של המערך. לאחר מכן, אנו חוזרים על המערך מהאלמנט השני עד הסוף.
פקודת cp בלינוקס
בכל מיקום i, אנו מעדכנים את max_ending_here על ידי נטילת המקסימום של האלמנט הנוכחי והאלמנט הנוכחי שנוסף לתת-מערך המקסימלי הקודם. לאחר מכן אנו מעדכנים את max_so_far להיות המקסימום של max_so_far ו-max_ending_here.
האלגוריתם מחזיר max_so_far, שהוא הסכום המקסימלי של כל תת-מערך במערך.
להלן התהליך שלב אחר שלב של האלגוריתם של קדן:
1. אתחול שני משתנים, מקסימום_עד_כבר ו מקסימום_סיום_כאן , לאלמנט הראשון של המערך.
max_so_far = arr[0]
max_ending_here = arr[0]
2. חזרו על המערך מהאלמנט השני עד הסוף:
עבור i מ-1 עד n-1 תעשה:
java שווה
3. חשב את הסכום המקסימלי המסתיים במיקום הנוכחי:
max_ending_here = max(arr[i], max_ending_here + arr[i])
4. עדכן את max_so_far להיות המקסימום של max_so_far ו-max_ending_her:
max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
5. החזר max_so_far כסכום המקסימלי של כל תת-מערך במערך.
מורכבות הזמן של האלגוריתם של Kadane היא O(n), כאשר n הוא אורך מערך הקלט. זה הופך אותו לפתרון יעיל מאוד לבעיית המשנה המקסימלית.
פונקציות ב-c
דוגמא:
בואו נראה דוגמה כיצד האלגוריתם של קדן עובד:
נניח שיש לנו את המערך הבא של מספרים שלמים:
arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
אנו רוצים למצוא את סכום המשנה המקסימלי של מערך זה. אנחנו יכולים ליישם את האלגוריתם של Kadane כדי לפתור בעיה זו.
נתחיל באתחול שני משתנים:
max_so_far = INT_MIN; max_ending_here = 0;
לאחר מכן, אנו חוזרים דרך המערך, החל מהאלמנט השני:
for i in range(1, len(arr)):
עדכן את הסכום הנוכחי על ידי הוספת האלמנט הנוכחי לסכום הקודם:
max_ending_here = max(arr[i], max_ending_here + arr[i])
עדכן את הסכום המקסימלי שנראה עד כה:
מחרוזת ב-c++
max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
בכל איטרציה, אנו מעדכנים את הסכום הנוכחי על ידי הוספת האלמנט הנוכחי לסכום הקודם או התחלת תת-מערך חדש באלמנט הנוכחי. לאחר מכן אנו מעדכנים את הסכום המקסימלי שנראה עד כה על ידי השוואתו לסכום הנוכחי.
לאחר איטרציה דרך המערך כולו, הערך של max_so_far יהיה סכום המשנה המקסימלי של המערך הנתון.
בדוגמה זו, הסכום המקסימלי של תת-מערך הוא 6, המתאים לתת-המערך [4, -1, 2, 1].
יישום קוד ב-Java:
import java.io.*; import java.util.*; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc=new Scanner(System.in); System.out.print('Enter the size of the array : '); int n=sc.nextInt(); int[] arr=new int[n]; System.out.println('Enter the elements of the array : '); for(int i=0;i<n;i++){ arr[i]="sc.nextInt();" } int max_so_far="Integer.MIN_VALUE,max_ending_here=0;" for(int i="0;i<n;i++)" { max_ending_here+="arr[i];" if(max_so_far<max_ending_here){ if(max_ending_here<0){ max_ending_here="0;" system.out.print('the maximum contiguous sum in the array is : '+max_so_far); < pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <pre> Enter the size of the array : 9 Enter the elements of the array : -2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4 The Maximum contiguous sum in the array is : 6 </pre> <h3>Code Implementation in C++:</h3> <pre> #include using namespace std; int main() { int a[] = { -2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3 }; int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); // Kadane's algorithm int max_so_far = INT_MIN, max_ending_here = 0; for (int i = 0; i <n; i++) { max_ending_here="max_ending_here" + a[i]; if (max_so_far < max_ending_here) max_so_far="max_ending_here;" (max_ending_here 0) } cout << 'maximum contiguous sum in the array is : '<<max_so_far<<endl; return 0; pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <pre> Maximum contiguous sum in the array is : 7 </pre> <h2>Advantages and Disadvantages of Kadane's algorithm:</h2> <h3>Advantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Efficiency:</td> Kadane's Algorithm has a time complexity of O(n), which makes it very efficient for solving the maximum subarray problem. This makes it a great solution for large datasets. </tr><tr><td>Simplicity:</td> Kadane's Algorithm is relatively easy to understand and implement compared to other algorithms for solving the maximum subarray problem, such as the divide-and-conquer algorithm. </tr><tr><td>Space Complexity:</td> Kadane's Algorithm has a space complexity of O(1), which means it uses a constant amount of memory irrespective of the size of the input array. </tr><tr><td>Dynamic Programming:</td> Kadane's Algorithm is a classic example of dynamic programming, a technique that breaks down a problem into smaller subproblems and stores the solutions to these subproblems to avoid redundant computation. </tr></ul> <h3>Disadvantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Only finds sum and not the subarray itself:</td> Kadane's Algorithm only finds the maximum sum of the subarray and not the actual subarray itself. If you need to find the subarray that has the maximum sum, you will need to modify the algorithm accordingly. </tr><tr><td>Does not handle negative numbers well:</td> If an input array has only negative numbers, the algorithm will return the maximum negative number instead of 0. This can be overcome by adding an additional step to the algorithm to check if the array has only negative numbers. </tr><tr><td>Not suitable for non-contiguous subarrays:</td> Kadane's Algorithm is specifically designed for contiguous subarrays and may not be suitable for solving problems that involve non-contiguous subarrays. </tr></ul> <h2>Applications of Kadane's algorithm:</h2> <p>There are some of its applications like the following:</p> <ul> <tr><td>Maximum subarray sum:</td> As we saw in the example above, Kadane's algorithm is used to find the maximum subarray sum of an array of integers. This is a common problem in computer science and has applications in data analysis, financial modeling, and other fields. </tr><tr><td>Stock trading:</td> Kadane's algorithm can be used to find the maximum profit that can be made by buying and selling a stock on a given day. The input to the algorithm is an array of stock prices, and the output is the maximum profit that can be made by buying and selling the stock at different times. </tr><tr><td>Image processing:</td> Kadane's algorithm can be used in image processing applications to find the largest contiguous area of pixels that meet a certain condition, such as having a certain color or brightness. This can be useful for tasks such as object recognition and segmentation. </tr><tr><td>DNA sequencing:</td> Kadane's algorithm can be used in bioinformatics to find the longest subsequence of DNA that meets certain conditions. For example, it can be used to find the longest common subsequence between two DNA sequences or to find the longest subsequence that does not contain certain patterns. </tr><tr><td>Machine learning:</td> Kadane's algorithm can be used in some machine learning applications, such as reinforcement learning and dynamic programming, to find the optimal policy or action sequence that maximizes a reward function. </tr></ul> <p>Therefore, we can say the advantages of Kadane's Algorithm make it a great solution for solving the maximum subarray problem, especially for large datasets. However, its limitations must be considered when using it for specific applications.</p> <hr></n;></pre></n;i++){> יישום קוד ב-C++:
#include using namespace std; int main() { int a[] = { -2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3 }; int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); // Kadane's algorithm int max_so_far = INT_MIN, max_ending_here = 0; for (int i = 0; i <n; i++) { max_ending_here="max_ending_here" + a[i]; if (max_so_far < max_ending_here) max_so_far="max_ending_here;" (max_ending_here 0) } cout << \'maximum contiguous sum in the array is : \'<<max_so_far<<endl; return 0; pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <pre> Maximum contiguous sum in the array is : 7 </pre> <h2>Advantages and Disadvantages of Kadane's algorithm:</h2> <h3>Advantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Efficiency:</td> Kadane's Algorithm has a time complexity of O(n), which makes it very efficient for solving the maximum subarray problem. This makes it a great solution for large datasets. </tr><tr><td>Simplicity:</td> Kadane's Algorithm is relatively easy to understand and implement compared to other algorithms for solving the maximum subarray problem, such as the divide-and-conquer algorithm. </tr><tr><td>Space Complexity:</td> Kadane's Algorithm has a space complexity of O(1), which means it uses a constant amount of memory irrespective of the size of the input array. </tr><tr><td>Dynamic Programming:</td> Kadane's Algorithm is a classic example of dynamic programming, a technique that breaks down a problem into smaller subproblems and stores the solutions to these subproblems to avoid redundant computation. </tr></ul> <h3>Disadvantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Only finds sum and not the subarray itself:</td> Kadane's Algorithm only finds the maximum sum of the subarray and not the actual subarray itself. If you need to find the subarray that has the maximum sum, you will need to modify the algorithm accordingly. </tr><tr><td>Does not handle negative numbers well:</td> If an input array has only negative numbers, the algorithm will return the maximum negative number instead of 0. This can be overcome by adding an additional step to the algorithm to check if the array has only negative numbers. </tr><tr><td>Not suitable for non-contiguous subarrays:</td> Kadane's Algorithm is specifically designed for contiguous subarrays and may not be suitable for solving problems that involve non-contiguous subarrays. </tr></ul> <h2>Applications of Kadane's algorithm:</h2> <p>There are some of its applications like the following:</p> <ul> <tr><td>Maximum subarray sum:</td> As we saw in the example above, Kadane's algorithm is used to find the maximum subarray sum of an array of integers. This is a common problem in computer science and has applications in data analysis, financial modeling, and other fields. </tr><tr><td>Stock trading:</td> Kadane's algorithm can be used to find the maximum profit that can be made by buying and selling a stock on a given day. The input to the algorithm is an array of stock prices, and the output is the maximum profit that can be made by buying and selling the stock at different times. </tr><tr><td>Image processing:</td> Kadane's algorithm can be used in image processing applications to find the largest contiguous area of pixels that meet a certain condition, such as having a certain color or brightness. This can be useful for tasks such as object recognition and segmentation. </tr><tr><td>DNA sequencing:</td> Kadane's algorithm can be used in bioinformatics to find the longest subsequence of DNA that meets certain conditions. For example, it can be used to find the longest common subsequence between two DNA sequences or to find the longest subsequence that does not contain certain patterns. </tr><tr><td>Machine learning:</td> Kadane's algorithm can be used in some machine learning applications, such as reinforcement learning and dynamic programming, to find the optimal policy or action sequence that maximizes a reward function. </tr></ul> <p>Therefore, we can say the advantages of Kadane's Algorithm make it a great solution for solving the maximum subarray problem, especially for large datasets. However, its limitations must be considered when using it for specific applications.</p> <hr></n;> יתרונות וחסרונות של האלגוריתם של קדן:
יתרונות האלגוריתם של קדן:
החסרונות של האלגוריתם של קדן:
יישומים של האלגוריתם של Kadane:
ישנם כמה מהיישומים שלה כמו הבאים:
לכן, אנו יכולים לומר שהיתרונות של האלגוריתם של Kadane הופכים אותו לפתרון מצוין לפתרון בעיית תת המערך המקסימלית, במיוחד עבור מערכי נתונים גדולים. עם זאת, יש לקחת בחשבון את מגבלותיו בעת השימוש בו עבור יישומים ספציפיים.