מהם הגורמים של 45? 1, 3, 5, 9, 15 ו-45.
תוהה איך הגעתי למספרים האלה? פקטורינג! מכיוון שהוא מספק בסיס מתמטי למערכות מסובכות יותר, למידה כיצד לבצע גורמים היא המפתח. אז בין אם אתם לומדים למבחן אלגברה, מצחצחים ל-SAT או ACT, או סתם רוצים לרענן ולזכור איך לחלק מספרים לסדרים גבוהים יותר של מתמטיקה, זה המדריך בשבילכם.
מה זה פקטורינג?
פקטורינג הוא ה תהליך מציאת כל מספר שלם שניתן להכפיל במספר שלם אחר כדי להיות שווה למספר יעד . שתי הכפולות יהיו גורמים של מספר היעד.
יצירת פקטורינג של מספרים עשויה להיראות כמו משימה מייגעת או שינון ראשוני ללא מטרה סופית, אבל פקטורינג היא טכניקה שעוזרת לבנות את עמוד השדרה של תהליכים מתמטיים מורכבים הרבה יותר.
בלי לדעת איך לפרט, זה יהיה ממש קשה (אם לא בלתי אפשרי) להבין את הפולינומים והחשבון, ואפילו יהפוך משימות פשוטות כמו חלוקת צ'ק להרבה יותר מסובך להבין בראש.
מהם הגורמים של 45? פקטורינג בפעולה
קשה לדמיין את הרעיון הזה, אז בואו נסתכל על כל הגורמים של 45 כדי לראות את התהליך הזה בפעולה. הגורמים של 45 הם זוגות המספרים השווים ל-45 כשהם מוכפלים יחד :
1 ו-45 (מכיוון ש-1 * 45 = 45)
3 ו-15 (מכיוון ש-3 * 15 = 45)
5 ו-9 (מכיוון ש-5*9 = 45)
אז בצורת רשימה, 45 הגורמים הם 1, 3, 5, 9, 15 ו-45 .
למזלנו, הפקטורינג דורש רק את שתי הפונקציות המובילות בתמונה זו (יאיי!)
פריים פקטוריזציה והפריים פקטורים של 45
מספר ראשוני הוא כל מספר שלם הגדול מ-1 שיכול רק להיות מחולק (שווה) ב-1 ובעצמו. רשימה של המספרים הראשוניים הקטנים ביותר הם 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... וכן הלאה.
רִאשׁוֹנִי פירוק לגורמים פירושו למצוא את גורמי המספר הראשוני של מספר יעד שכאשר מכפילים אותו, שווה למספר היעד הזה. אז אם אנחנו משתמשים ב-45 כמספר היעד שלנו, אנחנו רוצים למצוא רק את הגורמים הראשוניים של 45 שצריך להכפיל יחד כדי להיות שווה ל-45.
אנו יודעים מהגורמים של 45 הרשימה לעיל שרק חלק מאותם גורמים (3 ו-5) הם מספרים ראשוניים. אבל אנחנו גם יודעים ש-3*5 כן לֹא שווה 45. אז 3*5 הוא פירוק ראשוני לא שלם.
הדרך הקלה ביותר למצוא א לְהַשְׁלִים פירוק ראשוני של כל מספר יעד נתון הוא להשתמש במה שהוא בעצם חלוקה 'הפוכה' וחלוקה רק בראשית הקטן ביותר שיכול להתאים לכל תוצאה.
לדוגמה:
חלקו את מספר היעד (45) בראשית הקטנה ביותר שיכולה לקחת בחשבון. במקרה הזה, זה 3.
בסופו של דבר נקבל 15. כעת נחלק את 15 בראשית הקטן ביותר שיכול לקחת בחשבון. במקרה הזה, זה שוב 3.
בסופו של דבר נקבל תוצאה של 5. כעת חלקו את 5 במספר הראשוני הקטן ביותר שיכול לקחת בחשבון. במקרה הזה, זה 5.
זה משאיר אותנו עם 1, אז סיימנו.
הפירוק הראשוני יהיה כל המספר ב'חוץ' כפול יחד. כאשר מכפילים יחד, התוצאה תהיה 45. (הערה: איננו כוללים את ה-1, כי 1 אינו מספר ראשוני).
הפירוק הראשוני הסופי שלנו של 45 הוא 3*3*5.
פריים מסוג אחר.
להבין את הגורמים של כל מספר
כאשר מבינים גורמים, הדרך המהירה ביותר היא למצוא גורם זוגות כפי שעשינו קודם עבור כל הגורמים של 45. על ידי מציאת הזוגות, אתה חותך את העבודה שלך לשניים, מכיוון שאתה מוצא את הגורמים הקטנים והגדולים ביותר בו-זמנית.
כעת, הדרך המהירה ביותר להבין את כל צמדי הגורמים שתצטרכו כדי לחלק את מספר היעד היא למצוא את השורש הפנוי של מספר היעד (או שורש ריבועי ועיגול מטה למספר השלם הקרוב ביותר) ולהשתמש במספר זה בתור סְתִימָה נקודה למציאת גורמים קטנים.
למה? כי כבר תמצא את כל הגורמים הגדולים מהריבוע על ידי מציאת צמדי הגורמים של גורמים קטנים יותר. ואתה תחזור על הגורמים האלה רק אם תמשיך לנסות למצוא גורמים גדולים מהשורש הריבועי.
אל תדאג אם זה נשמע מבלבל עכשיו! נעבוד עם דוגמה כדי להראות לך איך אתה יכול להימנע מבזבוז זמן בלמצוא שוב את אותם גורמים.
אז בואו נראה את השיטה בפעולה כדי למצוא את כל הגורמים של 64:
ראשית, ניקח את השורש הריבועי של 64.
√64 = 8
עכשיו אנחנו יודעים רק להתמקד במספרים שלמים 1 - 8 כדי למצוא את המחצית הראשונה של כל צמדי הגורמים שלנו.
מס' 1: צמד הגורמים הראשון שלנו יהיה 1 ו-64
מס' 2: 64 הוא מספר זוגי, אז צמד הגורמים הבא שלנו יהיה 2 ו-32.
#3: לא ניתן לחלק את 64 באופן שווה ב-3, כך ש-3 אינו פקטור.
#4: 64/4 = 16, אז צמד הגורמים הבא שלנו יהיה 4 ו-16.
#5: 64 אינו מתחלק באופן שווה ב-5, כך ש-5 אינו פקטור של 64.
#6: 6 לא נכנס באופן שווה ל-64, כך ש-6 אינו פקטור של 64.
מס' 7: 7 לא הולך באופן שווה ב-64, כך ש-7 אינו פקטור של 64.
#8: 8*8 (8 בריבוע) שווה ל-64, כך ש-8 הוא פקטור של 64.
ואנחנו יכולים לעצור כאן, כי 8 הוא השורש הריבועי של 64. אם היינו ממשיכים לנסות למצוא גורמים, היינו חוזרים רק על המספרים הגדולים מזוגות הגורמים הקודמים שלנו (16, 32, 64).
רשימת הגורמים הסופית שלנו של 64 היא 1, 2, 4, 8, 16, 32 ו-64.
גורמים (כמו ברווזונים) תמיד טובים יותר בזוגות.
קיצורי דרך למציאת גורמים
עכשיו בואו נראה איך אנחנו יכולים בִּמְהִירוּת מצא את הגורמים הקטנים ביותר (ולכן את צמדי הגורמים) של מספר יעד. להלן, ציינתי כמה טריקים מועילים כדי לדעת אם המספרים 1-11 הם גורמים של מספר נתון.
1) בכל פעם שאתה רוצה לשלב מספר, אתה תמיד יכול להתחיל מיד עם שני גורמים: 1 ומספר היעד (לדוגמה, 1 ו-45, אם אתה גורם ל-45). כל מספר (חוץ מ-0) תמיד יכול להיות מוכפל ב-1 כדי להשתוות לעצמו, אז 1 צוואה תמיד להיות גורם.
2) אם מספר היעד זוגי, הגורמים הבאים שלך יהיו 2 וחצי ממספר היעד. אם המספר הוא אי זוגי, אתה יודע אוטומטית שלא ניתן לחלק אותו באופן שווה ב-2, ולכן 2 לא יהיה פקטור. (למעשה, אם מספר היעד הוא אי זוגי, לא יהיו לו גורמים של אף מספר זוגי).
3) דרך מהירה להבין אם מספר מתחלק ב-3 היא לחבר את הספרות במספר היעד. אם 3 הוא פקטור של הסכום הספרתי, אז 3 הוא גם פקטור של מספר היעד.
לדוגמה, נניח שמספר היעד שלנו הוא 117 ועלינו לחשב אותו. נוכל להבין אם 3 הוא פקטור על ידי חיבור הספרות של מספר היעד (117) יחד:
1 + 1 + 7 = 9
יסודות סלניום
ניתן להכפיל את 3 ב-3 עד ל-9, כך ש-3 יוכל להיכנס באופן שווה ל-117.
117/3 = 39
3 ו-39 הם גורמים של 117.
4) מספר יעד יהיה רק פקטור של 4 אם מספר היעד הזה הוא זוגי . אם כן, אתה יכול להבין אם 4 הוא פקטור על ידי הסתכלות על התוצאה של צמד גורמים קודם. אם, כאשר מחלקים מספר יעד ב-2, התוצאה עדיין זוגית, מספר היעד יהיה מתחלק גם ב-4. אם לא, למספר היעד לא יהיה פקטור של 4.
לדוגמה:
18/2 = 9. 18 אינו מתחלק ב-4 כי 9 הוא מספר אי-זוגי.
56/2 = 28. 56 מתחלק ב-4 כי 28 הוא מספר זוגי.
5) 5 יהיה א גורם של כל מספר ומסתיים בספרות 5 או 0 . אם המטרה מסתיימת במספר אחר, לא יהיה לה פקטור 5.
6) 6 תמיד יהיה פקטור של מספר יעד אם למספר היעד יש גורמים של 2 ו-3 כאחד . אם לא, 6 לא יהיה פקטור.
7) לצערי, אין קיצורי דרך כדי למצוא אם 7 הוא פקטור של מספר מלבד לזכור את הכפולות של 7.
8) אם המטרה למספר אין גורמים של 2 ו-4, גם לא יהיה לו פקטור של 8 . אם יש לו גורמים של 2 ו-4, זה אולי יש פקטור של 8, אבל תצטרך לחלק כדי לראות (למרבה הצער, אין לזה טריק מסודר מעבר לזה ולזכור את הכפולות של 8).
9) אתה יכול להבין אם 9 הוא פקטור לפי הוספת הספרות של מספר היעד ביחד . אם הם מסתכמים לכפולה של 9 אז למספר היעד יש 9 כגורם.
לדוגמה:
42 → 4 + 2 = 6. 6 אינו מתחלק ב-9, כך ש-9 אינו פקטור של 42.
72→ 7 + 2 = 9. 9 מתחלק ב-9 (ברור!), אז 9 הוא פקטור של 72.
10) אם מטרה מספר מסתיים ב-0 , אז תמיד יהיה לו פקטור של 10. אם לא, 10 לא יהיה פקטור.
אחד עשר) אם מספר יעד הוא א מספר דו ספרתי כאשר שתי הספרות חוזרות על עצמן (22, 33, 66, 77...), אז יהיה לו 11 כגורם. אם מדובר במספר תלת ספרתי ומעלה, תצטרך פשוט לבדוק אם הוא מתחלק ב-11 בעצמך.
12+) בשלב זה, סביר להניח שכבר מצאת את המספרים הגדולים יותר שלך כמו 12 ו-13 ו-14 על ידי מציאת הגורמים הקטנים יותר ויצירת צמדי גורמים. אם לא, תצטרך לבדוק אותם באופן ידני על ידי חלוקתם למספר היעד שלך.
לימוד טכניקות העיבוד המהיר שלך יאפשר לכל החלקים המציקים האלה ליפול ישר למקומם.
טיפים לזכור 45 גורמים
אם המטרה שלך היא לזכור את כל הגורמים של 45, אז אתה תמיד יכול להשתמש בטכניקות לעיל כדי למצוא צמדי גורמים.
השורש הריבועי של 45 הוא איפשהו בין 6 ל-7 (6^2 = 36 ו-7^2 = 49). עיגל למטה ל-6, שזה יהיה המספר הקטן הגדול ביותר שאתה צריך לבדוק.
אתה יודע שהזוג הראשון יהיה אוטומטית 1 ו-45. אתה גם יודע ש-2, 4 ו-6 לא יהיו גורמים, כי 45 הוא מספר אי-זוגי.
4 + 5 = 9, אז 3 יהיה פקטור (כמו 15, כי 45/3 = 15).
ולבסוף, 45 מסתיים ב-5, אז 5 יהיה פקטור (כמו שיהיה 9, כי 45/5 = 9).
זה מוכיח את זה אתה יכול תמיד להבין הגורמים של 45 במהירות רבה, גם אם לא שיננת את המספרים המדויקים ברשימה.
או, אם אתה מעדיף לשנן את כל 45 הגורמים באופן ספציפי, אתה יכול לזכור את זה, עד פקטור 45, כל מה שאתה צריך הוא שלושת המספרים האי-זוגיים הקטנים ביותר (1, 3, 5) . עכשיו פשוט צמד אותם לכפולות המתאימות שלהם כדי לקבל 45 (45, 15, 9).
מסקנה: מדוע פקטורינג חשוב
פקטורינג מספק את הבסיס לצורות גבוהות יותר של מחשבה מתמטית, כך שלמידה כיצד לבצע פקטור ישרת אותך היטב במאמצים המתמטיים הנוכחיים והעתידיים שלך.
בין אם אתה לומד בפעם הראשונה או סתם לוקח את הזמן כדי לרענן את הידע שלך בגורמים, נקיטת הצעדים להבנת התהליכים הללו (והכרת הטריקים כיצד להשיג את הגורמים שלך בצורה היעילה ביותר!) יעזור לך להגיע לאן שאתה רוצה להגיע להיות בחיים המתמטיים שלך.
פקטורינג שמח!