תנו ל-A, B ו-C להיות קבוצות, ו-R יהיה יחס מ-A ל-B ו-S יהיה יחס מ-B ל-C. כלומר, R היא תת-קבוצה של A × B ו-S היא תת-קבוצה של B × C. אז R ו-S יוצרות יחס מ-A ל-C המצוין על ידי R◦S ומוגדר על ידי:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

היחס R◦S ידוע ההרכב של R ו-S; לפעמים זה מסומן בפשטות על ידי RS.

תן R הוא יחס על קבוצה A, כלומר R הוא יחס מקבוצה A לעצמה. אז R◦R, ההרכב של R עם עצמו, תמיד מיוצג. כמו כן, R◦R מסומן לפעמים על ידי R². באופן דומה, ר³= ר²◦R = R◦R◦R, וכן הלאה. כך ר^נמוגדר עבור כל n חיובי.

דוגמה1: תן X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} ו- Z = {l, m, n}. שקול את הקשר R₁מ-X ל-Y ו-R₂מ-Y עד ת'.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

מצא את הרכב היחס (אני) ר₁ה-R₂ (ii) ר₁ה-R₁^-1

פִּתָרוֹן:

(i) יחס ההרכב R₁ה-R₂כפי שמוצג באיור:

ר₁ה-R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, נ)}

fmovies הודו

(ii) יחס ההרכב R₁ה-R₁^-1כפי שמוצג באיור:

ר₁ה-R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

הרכב יחסים ומטריצות

יש דרך אחרת למצוא R◦S. תן ל-M_רומ_ססמן בהתאמה את הייצוגים המטריציים של היחסים R ו-S. לאחר מכן

דוגמא

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

פִּתָרוֹן: המטריצות של היחס R ו-S מוצגות באיור:

(i) כדי לקבל את הרכב היחס R ו-S. תחילה תכפיל את M_רעם מ_סכדי להשיג את המטריצה ​​M_רx מ_סכפי שמוצג באיור:

הערכים שאינם אפס במטריצה ​​M_רx מ_סמספר את האלמנטים הקשורים ב-RoS. כך,

מכאן שההרכב R o S של היחס R ו-S הוא

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) ראשית, הכפל את המטריצה ​​M_רבפני עצמו, כפי שמוצג באיור

מכאן שההרכב R o R של היחס R ו-S הוא

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) הכפל את המטריצה ​​M_סעם מ_רכדי להשיג את המטריצה ​​M_סx מ_רכפי שמוצג באיור:

הערכים שאינם אפס במטריצה ​​M_סx מ_רמספר את האלמנטים הקשורים ב-S o R.

מכאן שההרכב S o R של היחס S ו-R הוא

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.